考虑关节摩擦的3-PRS并联机构动力学建模研究

2021-08-27陈国强周红鹏黄俊杰白秉欣刘梦超

农业机械学报 2021年8期

陈国强周红鹏黄俊杰代军白秉欣刘梦超

(河南理工大学机械与动力工程学院，焦作 454000)

0 引言

并联机构具有结构紧凑稳定、承载能力强、精度高、功能强等优点[1-2]。目前，关于并联机构的研究大多集中在结构、控制策略以及运动学和动力学的模块化等方面[3-7]。并联机构包括闭环结构的约束，并且并联机构因考虑关节之间的摩擦而增加了非线性和耦合性[8]，因此，并联机构动力学分析是难点。对机构进行动力学分析需要建立计算简单的动力学模型。常用的动力学模型包括拉格朗日法[9-10]、牛顿-欧拉法[11-12]、虚功原理法[13-14]和凯恩法[15-16]。拉格朗日法表现形式简单，但计算量较大，适用于不考虑摩擦力的动力学分析。虚功原理法和拉格朗日法同样具有整齐的表达形式，但在机构较多时计算量较大。凯恩法计算方法简捷，但对力与力矩的分析相对匮乏。由于关节之间存在各种力，因此采用牛顿-欧拉法分析较为复杂，但牛顿-欧拉法在构建动力学模型时容易表示内部的约束力和反约束力，适合用于分析机构关节摩擦问题[17]。

并联机构末端运动精度是衡量其性能的指标之一。并联机构中部件之间的关节对末端运动轨迹有很大影响。关节之间存在着诸多不确定因素，如重力、惯性力以及摩擦力等。机构关节之间通常采用静摩擦模型、库仑摩擦模型、粘性摩擦模型以及相互组合的一些摩擦模型等[18-23]。段书用等[24]对串联机构建立了牛顿-欧拉法动力学模型，分析了关节间不同摩擦模型对末端运动轨迹造成的影响，并研究了各关节之间的相互影响。付建宁等[25]研究了库仑摩擦与粘性摩擦对末端运动轨迹的影响，提出一种表示关节间摩擦力的非线性摩擦补偿方法。REYNOSO-MORA等[26]同时考虑库伦摩擦与粘性摩擦对轨迹和前馈控制产生的影响，并提出采用凸松弛的方法解决机械臂的非凸问题。

本文采用牛顿-欧拉法对3-PRS并联机构进行动力学分析。规划3-PRS并联机构末端运动轨迹，采用矢量法对机构进行运动学分析，分析关节间3种不同的摩擦模型，在考虑关节摩擦力的情况下，采用牛顿-欧拉法对3-PRS并联机构的每个构件及整体进行动力学建模分析。利用逆动力学分析负载对摩擦力的影响，利用正动力学分析不同摩擦模型对末端运动轨迹的影响。

1 3-PRS并联机构矢量运动学分析

1.1 机构分析

3-PRS并联机构的三维模型和结构示意图如图1、2所示，分别包括3个立柱、3个滑块、3根连杆、1个动平台以及1个定平台。滑动导轨以120°均匀分布在固定平台上，球面副以120°均匀分布在并联机构的动平台上。该并联机构由3个分支链组成，每个分支链由运动副(P)、旋转副(R)和球面副(S)组成，称为3-PRS并联机构。

图2中，Ni(i=1,2,3)表示动平台的3个顶点，Mi(i=1,2,3)表示定平台的3个顶点，QiMi(i=1,2,3)表示3根立柱导轨、QiNi(i=1,2,3)表示3根连杆，AiBi(i=1,2,3)表示均分布在固定平台上的3个水平导轨。在定平台上设置定坐标系O1x1y1z1，其外接圆半径为R，在动平台上设置移动坐标系O2x2y2z2，其外接圆半径为r。连杆长度设置为Li，滑块到固定平台的距离设置为Hi(i=1,2,3)，QiMi和QiNi之间的夹角设置为θi(i=1,2,3)。设动坐标系绕着定坐标系在x轴上的旋转角为α，同理绕着定坐标系在y和z轴上旋转角分别表示为β和γ。经过分析3-PRS并联机构有3个自由度，分别是动平台沿z轴方向上的移动自由度，以及分别绕x和y轴方向的转动自由度。

1.2 运动学规划

对建立的3-PRS并联机构进行运动轨迹的规划，即设置该机构的末端理想驱动轨迹。由于该机构只有3个方向的自由度，其中包括动坐标系绕着定坐标系在x轴方向上的旋转角α，y轴方向上的旋转角β以及z轴方向上的平移，设置3个方向规则运动轨迹表达式为

(1)

基于式(1)设定的运动轨迹反求出3个滑块的驱动力，以驱动力驱动机构得到理想轨迹如图3所示。

1.3 位置反解

(2)

在机构运动过程中动坐标系相对于定坐标系原点的位置参数设为O2(xt,yt,zt)，姿态参数为(α,β,γ)。该机构共有3个自由度，因此位置参数xt和yt等于0，姿态参数γ等于0°。动平台到定平台的坐标旋转矩阵可以表示为

(3)

式中s表示正弦函数，c表示余弦函数。

(4)

(5)

其中

(6)

(7)

连杆长度Li(i=1,2,3)可以表示为

(8)

整理可以得到滑块的输入位移Hi(i=1,2,3)为

(9)

由式(5)、(9)可得机构反解联立求出的滑块高度Hi(i=1,2,3)，根据1.2节中设置的机构末端运动轨迹可以得到相应的运动行程。

1.4 速度分析

(10)

其中

(11)

动平台上各端点速度可以表示为

(12)

式中vHi——滑块速度O——零矩阵

eHi——滑块输入速度方向单位矢量

ωLi——连杆角速度

δLi——连杆长度单位矢量

vHi=JvV

(13)

其中

(14)

式(12)两端同时叉乘δLi得到连杆角速度为

(15)

(16)

连杆质心的速度可以表示为

(17)

(18)

1.5 加速度分析

通过式(10)可得动平台加速度为

(19)

根据式(12)可得动平台上各端点处的加速度为

aHieHi+εLiδLiL+ωLi(ωLiδLi)L

(20)

aHi=HiA+VTJiV

(21)

其中

(22)

(23)

在式(20)两端叉乘δLi，可得连杆角加速度为

(24)

(25)

(26)

对式(17)求导，连杆质心加速度可以表示为

(27)

其中

(28)

(29)

2 摩擦模型

2.1 库仑摩擦模型

库仑摩擦力方向与物体运动方向相反，其模型表达式为

f(v)=fcsgn(v)

(30)

其中

fc=μ|fn|

(31)

式中v——两物体之间的相对运动速度

sgn(·)——符号函数(随速度改变方向)

fc——库仑摩擦力μ——库仑摩擦因数

fn——两物体之间的法向力

库伦摩擦模型如图5所示。

2.2 库伦-粘性摩擦模型

粘性摩擦力大小与速度成正比，方向与物体运动的方向相反，粘性摩擦模型表示为

f(v)=fvv

(32)

式中fv——粘性摩擦因数

为了更好地体现物体之间的摩擦力模型，常常将不同的摩擦力相互联合表达，从而组成了库伦-粘性摩擦模型，该模型可表示为

f(v)=fcsgn(v)+fvv

(33)

库伦-粘性摩擦模型如图6所示。

2.3 库伦-粘性-静摩擦模型

静摩擦模型可以表示为

(34)

式中fe——物体所受的外界力

fs——物体所受的最大静摩擦力

由于速度等于零时没有相对滑移，因此静摩擦力与速度没有关系。为了描述物体整个过程所受的摩擦力，将静摩擦力与库伦-粘性摩擦模型相结合形成了库伦-粘性-静摩擦力模型，该模型可以表示为

(35)

库伦-粘性-静摩擦模型如图7所示。

3 动力学建模

运用牛顿-欧拉法对3-PRS并联机构建立动力学模型。牛顿方程表示对部件建立力的平衡，欧拉方程表示对部件建立转矩的平衡，分别对3-PRS并联机构的各个部件建立牛顿-欧拉动力学方程。通过消除部件之间的内力，对整体建立牛顿-欧拉动力学模型，根据整体动力学模型得到整个并联机构的驱动力以及机构运动与外力之间的关系。

3.1 动平台动力学模型

3-PRS并联机构的动平台受力如图8所示，其中分别包括动平台重力mDg，3根连杆的约束力FNi(i=1,2,3)以及球面副所受的摩擦力矩MNi，另外设动平台所受外部的力为Fw和外力矩为Mw。

由图8可得动平台动力学方程为

(36)

O1IO2εO2+ωO2(O1IO2ωO2)

(37)

式中O1IO2——动平台相对于定坐标系的转动惯量矩阵

IO2——动平台相对于动坐标系的转动惯量矩阵

3.2 连杆动力学模型

3-PRS并联机构的连杆受力如图9所示，分别包括连杆重力mLig,动平台约束反力-FNi和摩擦力矩-MNi，以及转动副关节约束力FQi和摩擦力矩MQi。

由图9可得连杆动力学方程为

-FNi+mLig+FQi=mLiaLi

(38)

(39)

式中O1ILi——连杆相对于定坐标系的惯量矩阵

ILi——连杆相对于支链坐标系的惯量矩阵

O1RLi——支链到定坐标系的旋转矩阵

3.3 滑块动力学模型

3-PRS并联机构滑块受力分析如图10所示，其中受到自身重力mHg、连杆转动副关节约束反力-FQi和摩擦力矩-MQi、立柱对滑块的作用力FHi以及滑块受到的摩擦力Ffi。

由图10可得滑块动力学方程为

FHi-FQi+mHg+Ffi=mHaHi

(40)

3.4 3-PRS并联机构动力学模型

(41)

根据式(41)可得作用在滑块上的驱动力表达式为

(42)

将连杆的牛顿方程(38)代入式(42)可得

(43)

对连杆的欧拉方程(39)进行推导可得

LδLiFNi=Ci

(44)

其中

(45)

式(44)两边同时叉乘eHi可以表示为

LeHi×δi×FNi=eHi×Ci

(46)

式(46)进行变换可以表示为

(47)

式(43)进行形式的变化可以表示为

(48)

联立式(47)、(48)可以表示为

(49)

联立与推导上述公式可得动力学方程为

(50)

式中M(q)——惯量矩阵q——机构位姿

Ff(q)——并联机构中3种不同关节的摩擦力

F——并联机构所受外力(负载等)

τ——并联机构中滑块上的驱动力

3.5 动力学方程中的摩擦力

3-PRS并联机构在运动过程中关节处产生摩擦，设移动副关节、转动副关节和球面副关节所受的摩擦模型分别为ff(v)、fN(v)和fQ(v)。滑块受到的摩擦力Ffi为摩擦模型ff(v)。设球面副与转动副中的摩擦力矩分别为MNi和MQi，表达式为

MNi=rNfN(v)

(51)

MQi=rQfQ(v)

(52)

式中rN——球面副半径

rQ——转动副半径

联立式(38)、(39)计算可得FNi与FQi，将计算结果代入摩擦模型fN(v)和fQ(v)，最终得到的结果即为机构动力学方程中的Ff(q)。

4 实验

设3-PRS并联机构的各个部件为质地均匀的刚体，各部分参数如表1所示，将表中的各部分参数作为已知条件，采用基于ADAMS的GSTIFF数值方法进行计算。

表1 3-PRS并联机构结构参数

4.1 逆动力学实例

4.1.1不同载荷对摩擦力、摩擦力矩的影响

(1)移动副摩擦力

在立柱与滑块之间为移动副关节，因此两实体之间产生摩擦力。在动平台中心施加负载30、40、50、60 kg，图11为在驱动力作用下移动副与立柱之间所受库伦摩擦力的变化曲线。

移动副在z轴方向上移动，因此只在一个方向上产生摩擦力。在动平台上分别施加不同的力，动平台与连杆之间的作用力增加，连杆对移动副的作用力增加，因此移动副与立柱之间在x轴与y轴方向上的正压力增大。当摩擦因数不变，正压力增加，摩擦力逐渐增大，但是摩擦力变化的趋势不变。理论分析与图11中的变化相符，因此移动副摩擦添加正确。

(2)转动副摩擦力矩

由于滑块与连杆为转动副约束，因此两实体之间产生摩擦力矩。在动平台中心施加负载30、40、50、60 kg，图12为连杆与滑块之间所受库伦摩擦力矩的变化曲线。

转动副绕着z轴转动，因此只在一个方向上产生摩擦力矩。在动平台中间施加向下的作用力，动平台与连杆之间的作用力增大，因此连杆与滑块之间的作用力增大。当摩擦因数和摩擦半径不变，正压力变大，摩擦力矩逐渐增大。实体之间作用力的方向没有改变，摩擦力的变化趋势没有改变。转动副的摩擦力矩理论分析与图12中的变化相符，此处摩擦添加正确。

(3)球面副摩擦力矩

连杆与动平台之间为球面副的约束，两实体之间产生摩擦力矩。在动平台中心施加负载30、40、50、60 kg，图13为连杆与动平台之间所受库伦摩擦力矩的变化曲线。

连杆与动平台之间的关节为球面副，球面副有3个方向上的转动自由度，因此在x、y、z轴方向上都有对应的摩擦力矩。在机构动平台中心垂直向下的力作用下，动平台与连杆之间的作用力增大，导致正压力变大，而摩擦因数和摩擦半径不变，因此3个方向上的库伦摩擦力矩都增大。由于实体之间的作用力方向没有改变，因此摩擦力矩的变化趋势没有改变，只是大小发生了变化。3个方向上的摩擦力矩变化符合理论的分析，因此球面副的摩擦模型添加正确。

从图11～13可知，关节间的摩擦力随着负载的增加也在不断地变大，表明摩擦力对驱动力的施加以及机构的运动轨迹都有很大的影响。

4.1.2关节摩擦对驱动力的影响

在机构动平台中心负载60 kg的情况下，利用牛顿-欧拉法得到的动力学方程计算3个滑块的驱动力τ1、τ2、τ3。首先计算3-PRS并联机构移动副、转动副和球面副3个关节在没有关节摩擦下驱动力，再计算将所有的关节都施加库仑-粘性-静摩擦模型时驱动力。滑块驱动力及其误差如图14所示。

由图14a、14c、14e可得，在加摩擦力与未加摩擦力两种情况下驱动力变化较大，说明关节摩擦力对驱动力具有较大的影响。在图14b、14d、14f中，加摩擦力与未加摩擦力2种情况下相对比3个滑块驱动力的最大误差分别为1.40%、1.51%、1.49%。

4.2 正动力学实例

将逆动力学得到的力作为驱动，通过以下方式添加摩擦力：一类是关节采用库仑-粘性摩擦模型，另一类是关节采用库伦-粘性-静摩擦模型。各关节摩擦模型的具体施加方式分别为：模型1：所有的关节都为库仑-粘性-静摩擦模型。模型2：所有的关节都为库伦-粘性摩擦模型。模型3：只有移动副的关节为库仑-粘性摩擦模型，其余为库伦-粘性-静摩擦模型。模型4：只有转动副的关节为库仑-粘性摩擦模型，其余为库伦-粘性-静摩擦模型。模型5：只有球面副的关节为库仑-粘性摩擦模型，其余为库伦-粘性-静摩擦模型。

由图15可知静摩擦力的添加对末端的运动轨迹有明显的影响。对于末端运动轨迹在x和y方向上的旋转角α和β差异很小，对于z轴方向的位移有着较明显的变化。当关节全部为库伦-粘性摩擦模型时对于末端的运动轨迹没有明显的变化，只有相对位置发生了一些变化。只在移动副关节处施加库伦-粘性摩擦模型与施加库伦-粘性-静摩擦模型相比，末端运动轨迹有较大的差异。只在转动副处施加库伦-粘性摩擦模型与施加库伦-粘性-静摩擦模型相比，运动轨迹只有较小的变化。只在球面副处施加库伦-粘性摩擦模型相比基本没有变化。由此可见移动副关节对摩擦力较为敏感，转动副关节次之，球面副最小。

以逆动力学得到的力作为驱动力，改变在关节上添加摩擦模型的方式为：一类是关节采用库仑摩擦模型，另一类是关节采用库伦-粘性-静摩擦模型。各关节摩擦模型的具体施加方式分别为：模型1：所有的关节都为库仑-粘性-静摩擦模型。模型2：所有的关节都为库伦摩擦模型。模型3：只有移动副的关节为库仑摩擦模型，其余为库伦-粘性-静摩擦模型。模型4：只有转动副的关节为库仑摩擦模型，其余为库伦-粘性-静摩擦模型。模型5：只有球面副的关节为库仑摩擦模型，其余为库伦-粘性-静摩擦模型。

从图16可以看出，在旋转以及移动的3个方向上都有明显的末端运动轨迹变化。关节全部为库仑摩擦模型时，关节的运动轨迹发生了较大的变化。当只有移动副的关节为库仑摩擦模型时，机构末端的运动轨迹产生了极大的变化，移动副对粘性摩擦的敏感程度极高。当转动副关节只有库仑摩擦模型时机构末端运动轨迹变化相对较小，球面副关节处的末端变化次之。由此可见各个关节对粘性摩擦都有一定程度的敏感，从高到低依次为：移动副、转动副和球面副。