黄河流域参考作物蒸散发量的混沌特性研究

张 勇

（甘肃省临泽县平川水利管理所，甘肃临泽 734200）

蒸散发量是水文循环的重要环节，准确的预算流域蒸散发量能深入了解流域内陆—气之间水热交换和水分循环过程，对于流域水资源规划管理和利用极为重要。通过了解流域参考作物蒸散发量的非线性变化特征及其特征的变化规律，对预测黄河流域参考作物蒸散发量未来几年可能的非线性变化、指导黄河流域绿色农业参考作物种植区域生态结构的变化进行科学良性调整、合理开发和利用可调配的种植地区水土资源、促进种植区域绿色农业和种植地区经济与生态环境的良性平衡发展均有重要意义[1]。

1 研究背景

近年来，在我国的水文科学中已经开始了广泛应用混沌理论。在我国，丁晶最先深入研究混沌理论，他论述了将混沌运动特性分析的理论和方法，并把它广泛应用于暴雨和洪水的时间序列，证明了在洪水过程中的混沌现象[2]。本次研究以黄河流域为研究对象，利用相关气象数据，通过Penman-Monteith公式计算出参考作物蒸散发量，进而分析得出黄河流域参考作物蒸散发量的时间和空间变化特征，最后运用量化方法描述出不同时空黄河流域参考作物蒸散发量的混沌特性。

2 研究区域概况

黄河流域总面积752 443 km2，涉及9个省（区），黄河流域自然和生态条件复杂多样，东西走向的跨越构成我国地形的三大阶梯，由于区域内地形以及气候条件的复杂多样性，造成了水资源的时空分布不均匀，洪涝灾害频发，水资源的供需不平衡，人和自然的矛盾日益突出，严重影响了流域内经济的可持续发展。

3 研究的方法

3.1 Penman-Monteith公式法

采用FAO1998年推荐的Penman-Monteith公式法计算逐日参考作物蒸散发量[3]：

式中，ET0参考作物蒸散发量为逐日参考作物蒸散发量（mm/d）；Rn为冠层表面净辐射[MJ/（m2·d）]；G为土壤热通量[MJ/（m2·d）]，一般情况下为0；T为平均温度（℃）；Δ为饱和水汽压温度曲线的斜率（KPa/℃）；μ2为高度2.0 m处风速（m/s）；es为饱和水汽压（KPa）；ea为实际水汽压（KPa）；γ为湿度常数（KPa/℃）。

3.2 相空间重构理论

一般时间序列主要是在时间域中进行模型研究，混沌时间序列必须在相空间中模型研究，因此说相空间重构是分析时间序列的关键环节[4]。

自相关函数法：x(t)的时间序列x1，x2，…，xn，自相关函数表达式为：

G-P算法（饱和关联维数法）：本文选择饱和关联维数法来确定相空间的嵌入维数，其原理如下：对应于嵌入维数M的相空间，关联积分C(r)定义为重构相空间点对{Yi，Yj}中，距离||Yi-Yj||小于给定正数r的数目在所有相点中占的比例：

其中，M=N-(m-1)τ，为总的相点数；f为Heaviside函数，表达式如下：

r的选取满足下式：

对式（5）进行变换:

在实际应用中，经常给定一组M值，选取适当的r，绘出lnC(r)-lnr曲线，求曲线当中直线段的斜率，即为关联维数D。通过观察关联维数D随嵌入维数M变化的过程图，找到图中变化趋于饱和的点，此时对应的M为最佳嵌入维数，对应的D为饱和关联维数。有无饱和关联维数的存在是判断系统是否具有混沌特性的一个指标，也是定量描述混沌特性的重要指标。在同一区域，同一个时间段内，时间序列的饱和关联维数越大，混沌特性越明显。

3.3 最大Lya punov指数

采取小数据量法计算最大Lyapunov指数，首先对时间序列进行快速傅里叶变换（FFT），求出平均周期P。重构相空间{Yj，j=1，2，…，M}，在重构相空间的基础上，寻找给定轨道上每个点的最近邻近点，即

对于每一个离散步长i，求出所有j的lndj(i)的平均y(i)，即

在y（i）与i的关系图中用最小二乘法拟合，直线的斜率即为最大Lyapunov指数[5]。如果系统具有混沌特性，则Lyapunov指数大于零。

4 实例应用及结果分析

4.1 参考作物蒸散发量的时间序列变化特征

利用相关气象数据通过Penman-Monteith公式计算出参考作物蒸散发量，以此作为混沌识别的基础序列。以玛曲站为代表站绘制时序图，从图1可以看出，参考作物蒸散发量的时间序列的过程图表现出强烈的季节周期性和波动性，但是仅从图像并不能判断出此序列是否为混沌序列，需要借助于其他方法来判断参考作物蒸散发量的时间序列中是否存在混沌现象[6]。

图1 玛曲站参考作物蒸散发量的时间序列变化过程

4.2 参考作物蒸散发量混沌特性识别

由于混沌理论在水文领域的发展历程较短，没有任何一位学者明确提出某一种混沌特性识别的方法，因此使用单一的方法进行时间序列的识别可靠性不高[7]。本文对序列的识别主要采用的是定量分析中的饱和关联维数法和最大Lyapunov指数法进行对比识别。

4.2.1 饱和关联维数法混沌特性识别 由公式（2），计算出黄河流域玛曲站点1970—2009年的参考作物蒸散发量年月均值的自相关函数值，并且作出自相关函数值随延迟时间变化的图像，选择自相关函数值第一次经过零点的时间作为延迟时间。如图2所示。

图2 玛曲站参考作物蒸散发量时间序列的自相关函数图

从图3中可以看出，自相关函数值第1次经过零点的延迟时间为3，即玛曲站的延迟时间τ=3。

图3 玛曲站lnC(r)-lnr关系图

由自相关函数的计算结果延迟时间τ=3，设维数M=2，3，4，…，16，在MATLAB软件中运行G-P算法的相关程序，输出lnC（r）-lnr的曲线图，如图3所示，从上向下的曲线分别是维数M=2，3，4，…，16，从lnC（r）-lnr关系图中确定出直线段的斜率，即为关联维数D，并作出关联维数D随嵌入维数M的变化的过程图，如图4所示。

图4 玛曲站m-D关系图

由图4可知，当M≥6时达到饱和，增长趋势变为平缓，所以嵌入维数M=6时对应的饱和关联维数D2=2.15；这种关联维数随着嵌入维数的增大而达到饱和的这个状态可以说明参考作物蒸散发的时间序列存在确定性动力系统，判断出此时间序列为混沌序列，反之，为随机序列[8]。

4.2.2 最大Lyapunov指数法混沌特性识别 由于本文数据量很小，所以选择了易于操作且计算精度相对较高的小数据量法。首先利用快速傅里叶变换估算出时间序列的平均周期P，取最高谱线所对应的下标求出平均周期。运用MATLAB中的相关程序计算最大Lyapunov指数，计算结果见图5。最后利用最小二乘法拟合得到的直线的斜率就是参考作物蒸散发量时间序列的最大Lyapunov指数λ。玛曲站的最大Lyapunov指数λ为0.007。

图5 玛曲站时间序列y（i）和i的关系图

4.3 参考作物蒸散发量混沌特性分析

黄河流域玛曲站点的混沌特性的分析方法采取以下两种方法，一是饱和关联维数法，二是最大Lyapunov指数法，计算成果如表1所示。

分析表1可知，黄河流域玛曲站均存在饱和关联维数且都为分数维，并且有最大Lyapunov指数λ＞0，充分说明黄河流域参考作物蒸散发量时间序列存在混沌现象。

5 结论

本文选取了黄河流域内的玛曲气象站点1970—2009年的逐日气象资料，采用Penman-Monteith公式计算出参考作物蒸散发量的时间序列。对参考作物蒸散发量时间序列的混沌识别，主要在相空间重构的基础上，通过饱和关联维数法和最大Lyapunov指数法两种量化方法，得出了时间序列的关联维数随着嵌入维数的增加而达到饱和状态且为分数维，并且均有最大Lyapunov指数λ＞0，计算结果均表明了黄河流域参考作物蒸散发量时间序列存在混沌特征。这不仅可以了解黄河流域参考作物蒸散发量的非线性变化规律，而且为预测流域内参考作物蒸散发量的未来变化趋势提供依据。