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对第33届全国中学生物理竞赛复赛第6题的解答的质疑

2021-08-25范雪娇

物理通报 2021年9期
关键词:光电子有误级数

李 惠 范雪娇

(株洲市第二中学 湖南 株洲 412007)

【原题】(节选)光电倍增管是用来将光信号转化为电信号并加以放大的装置,其结构如图1所示.它主要由一个光阴极、n个倍增极和一个阳极构成;光阴极与第1倍增极、各相邻倍增极及第n倍增极与阳极之间均有电势差V;从光阴极逸出的电子称为光电子,其中大部分(百分比η)被收集到第1倍增极上,余下的被直接收集到阳极上;每个被收集到第i倍增极(i=1,…,n)的电子在该电极上又使得δ个电子(δ>1)逸出;第i倍增极上逸出的电子有大部分(百分比σ)被第i+1倍增极收集,其他被阳极收集;直至所有电子被阳极收集,实现信号放大.已知电子电荷量绝对值为e.求:光电倍增管放大一个光电子的平均耗能,已知δσ>1,n>1.

图1 光电倍增管结构图

原题一共有2小问,笔者只节选了参考解答有误的第1小问,附上其解答结果.

光电倍增管放大一个光电子的平均耗能为

式中np是从光阴极逸出的电子个数,E是消耗的总电能.

1 对结果的质疑及验证

我们把n=0代入原解答得

(1)

显然不正确.

进一步验证n=1的情形.当n=1时,其物理意义是光电倍增管中有np个光电子从光阴极逸出,有ηnp个光电子被收集到第1倍增极上,(1-η)np个光电子被直接收集到阳极上,最后有δηnp个光电子从第1倍增极上逸出,被收集到阳极上.我们分成两步来计算光电倍增管放大以上这些光电子所消耗的电能.第一步,先计算从光阴极直接被阳极收集的光电子所消耗的电能.从光阴极到阳极的电势差为

Vpa=(n+1)V=2V

(2)

一共有(1-η)np个光电子从光阴极到阳极,一共消耗的电能为E1,有

E1=2(1-η)npeV

(3)

第二步,计算从光阴极逸出被第1倍增极收集再从第1倍增极被阳极收集的光电子消耗的电能E2,显然

E2=(η+ηδ)npeV

(4)

最后,把两部分消耗的电能加起来,求得

E=E1+E2

(5)

(6)

那么,把n=1代入原参考解答,会是这个结果吗?

(7)

显然,代入之后的结果式(7)与真实物理意义对应下的结果式(6)不符.

结论:原解答有误.

2 笔者所做的详细解答及验证

为了能让读者清晰地看到加速各部分光电子所消耗的电能,笔者先进行简单的罗列如下:

放大从光阴极到第1倍增极,和光阴极到阳极的光电子消耗的电能为E0,有

E0=[η+(1-η)(n+1)]npeV

(8)

放大从第1倍增极到第2倍增极,和第1倍增极到阳极的光电子消耗的电能为E1,有

E1=[ηδσ+ηδ(1-σ)n]npeV

(9)

放大从第2倍增极到第3倍增极,和第2倍增极到阳极的光电子消耗的电能为E2,有

E2=[ηδ2σ2+ηδ2σ(1-σ)(n-1)]npeV

(10)

放大从第3倍增极到第4倍增极,和第3倍增极到阳极的光电子消耗的电能为E3,有

E3=[ηδ3σ3+ηδ3σ2(1-σ)(n-2)]npeV

(11)

放大从第(n-1)倍增极到第n倍增极,和第(n-1)倍增极到阳极的光电子消耗的电能为En-1,有

En-1=[ηδn-1σn-1+2ηδn-1σn-2(1-σ)]npeV

(12)

放大从第n倍增极到阳极的光电子消耗的电能为En,有

En=(ηδnσn-1)npeV

(13)

接下来,把式(8)~(13)相加得

E=E0+E1+E2+…+En-1+En

(14)

在式(14)等号右边含有两个等比数列,其一是ηnpeV,ηδσnpeV,ηδ2σ2npeV,…,ηδn-1σn-1npeV,我们用级数S1来表示上述等比数列的和;其二是ηδ·(1-σ)nnpeV,ηδ2σ(1-σ)(n-1)npeV,ηδ3σ2(1-σ)·(n-2)npeV,…, 2ηδn-1σn-2(1-σ)npeV,我们用级数S2来表示上述等比数列的和;还剩下两项(1-η)·(n+1)npeV+ηδnσn-1npeV作为第3部分.现在我们来求以上3部分的和.

显然

(15)

S2=ηδ(1-σ)npeV[n+δσ(n-1)+δ2σ2n-2+…+δn-2σn-2·2)]

(16)

构建级数S3=δσS2来错位求和

S3=ηδ(1-σ)npeV[δσn++δ2σ2(n-1)+…+δn-2σn-2·3+δn-1σn-1·2)]

(17)

式(16)、(17)相减得

(18)

把以上3部分相加得

E=E1+E1+E2+…+En-1+En=

S1+S2+(1-η)(n+1)npeV+ηδnσn-1npeV=

(1-η)(n+1)+ηδnσn-1}npeV

(19)

于是光电倍增管放大一个光电子的平均能耗为

(1-η)(n+1)+ηδnσn-1}eV

(20)

我们将n=1代入式(20)中,进行验证

(1-η)(1+1)+ηδ1σ0}eV=

(21)

与式(6)比较,完全吻合.

我们再把文首的n=0的情况代入式(20)中得

(1-η)+ησ-1}eV=

结果与实际的物理意义完全吻合.

综上所述,式(20)才是本题的正确解答,原解答确实有误.

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