二倍角的应对策略

吴琼

化倍角为半角，扩半角为倍角，可构造等腰三角形，从而顺利求解与二倍角相关的线段和差问题.

[问题探究]

例 在△ABC中，AD⊥BC，∠ABC = 2∠C，求证：AB + BD = CD.

解法1：如图1，在DC上截取DE = BD，连接AE.

易证△ABD ≌ △AED，∴∠B = ∠AED.

∵∠B = 2∠C，∴∠AED = 2∠C.

∵∠C + ∠CAE = ∠AED，∴∠C = ∠EAC，∴AE = CE.

∵AB = AE，∴AB = CE，∴AB + BD = CE + DE = CD.

应对策略：作半角为底角的等腰三角形，由三角形的外角可得倍角.

解法2：如图2，反向延长BD，截取BE = AB，连接AE.

∵∠E + ∠EAB = ∠ABD，∠ABC = 2∠C，∴∠C = ∠E，

∵AD⊥BC，∴∠ADE = ∠ADC = 90°，

易证△AED ≌ △ACD，

∴DE = CD，∴AB + BD = BE + BD = DE = CD.

应对策略：反向延长倍角的一边，构造等腰三角形后可得半角，再证两三角形全等.

解法3：如图3，延长AB，截取BE = BD，连接DE，在AC上取点F，使DF = AD.

∴∠E = ∠BDE，∵∠E + ∠BDE = ∠ABD，∠ABC = 2∠C，∴∠C = ∠E.

设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠DAC = 90° - α，

∴∠DAF = ∠DFA = 90° - α，∠DFC = 90° + α，

∴∠ADE = 90° + ∠BDE = 90° + α = ∠DFC，易證△ADE ≌ △DFC，

∴AE = DC，∴AB + BD = CD.

应对策略：构造以倍角为外角的等腰三角形，转化出半角.

解法4：如图4，在DC上截取DF = AB，过点D作DE = AD，交AC于点E，连接EF.

设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠DAC = 90° - α，

∴∠DAC = ∠DEA = 90° - α，∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠DEA = 2α，

∴∠EDF = 90° - 2α.

∵∠BAD = 90° - 2α，∴∠BAD = ∠EDF，

∴△ADB ≌ △DEF（SAS），∴∠EFD = ∠B = 2α，EF = BD.

∵∠C + ∠CEF = ∠EFD，∴∠C = ∠CEF = α，∴EF = CF.

∴CF = BD，∴AB + BD = DF + CF = CD.

应对策略：将AB边转移到DC边上，构造等腰三角形，于是产生了倍角. 也可在截取DF = AB后作∠EDF = ∠BAD，交AC于点E，连接EF，构造全等三角形.

解法5：如图5，过点B作BH平分∠ABD，交AD于点H，

在AC上截取EC = BH，在CD上截取CF = AB，连接EF，

延长EF，交AD 的延长线于点G，易证△ABH ≌ △FCE.

设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠BAD = 90° - 2α，

∴∠BAD = ∠EFC = 90° - 2α，

∴∠FEA = ∠CFE + ∠C = 90° - α.

∵∠DAC = 90° - α，∴∠GAC = ∠GEA，∴AG = GE.

∵在△AGE中，∠GAE + ∠G + ∠GEA = 180°，∴∠G = 2α，

∵AH = EF，∴GH = GF，∴∠GHF = 90° - α.

∵∠BHD = 90° - ∠HBD = 90° - α，可证△BHD ≌ △FHD，∴BD = DF，∴AB + BD = CF + DF = CD.

应对策略：作倍角的角平分线得到半角，再构造全等三角形易求解.

[跟踪检测]

如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC = 2∠C. 求证：AC = AB + BD.

[模型呈现]

求解与二倍角相关的数学问题时，通常可构造如下基本模型.

模型1：如图7，作∠EDC = ∠C，交AC于点E.

模型2：如图8，延长AB，在延长线上截取BF = BD，连接DF.

模型3：如图9，延长CB，在延长线上截取BE = AB，连接AE.

模型4：如图10，作∠ABC的平分线，交AD于点G，交AC于点E，作∠FGB = ∠ABE，交AB于点F.

（作者单位：大连市第37中学）