由一次函数增减性获取最佳方案

刘家良

商人们总是希望投资少利润大. 其实，与利润最大值、投资最小值有关的方案设计问题，都可以借助一次函数知识来解决.

例1（2020·湖南·怀化）某商场计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价为1600元，售价为2000元;乙型平板电脑进价为2500元，售价为3000元.

（1）设该商场购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间的函数表达式.

（2）若该商场采购两种平板电脑的总费用不超过39 200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润.

分析：（1）由题意可求甲、乙型平板电脑售出后每台各自获利，欲求20台平板电脑全部售出后的获利，需由甲型平板电脑的售出量求得乙型平板电脑的售出量;（2）由甲、乙型平板电脑每台的进价、数量并结合题意得采购费用的不等式，由获利函数式并结合题意得利润的不等式，组成不等式组，求得解集，并结合x为正整数，得到x的整数值，即得采购方案，再由一次函数的增减性得到最大利润.

解：（1）由题意得y = （2000 - 1600）x + （3000 - 2500）（20 - x） = - 100x + 10 000.

即全部售出后该商场获利y与x之间的函数表达式为y = - 100x + 10 000.

（2）由题意得[1600x+2500（20-x）≤39 200，-100x+10 000≥8500.]解得12 ≤ x ≤ 15. ∵x为正整数，∴x = 12，13，14，15.

共有四种采购方案：①甲型平板电脑12台，乙型平板电脑8台;②甲型平板电脑13台，乙型平板电脑7台;③甲型平板电脑14台，乙型平板电脑6台;④甲型平板电脑15台，乙型平板电脑5台.

∵y = - 100x + 10 000，且 - 100<0，∴y随x的增大而减小.

当x = 12时，y有最大值，y最大值 = - 100 × 12 + 10 000 = 8800.

即采購甲型平板电脑12台、乙型平板电脑8台时商场获得最大利润，最大利润是8800元.

例2（2020·云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动. 某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情. 每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资. 已知两种货车的运费如表1，现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车x辆，这20辆货车总运费为y元.

（1）20辆货车中大货车、小货车各几辆？

（2）求y与x的函数解析式，写出x的取值范围.

（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.

分析：（1）由大、小货车的数量，每辆车的载重量及货物总量可得方程，解方程求得大、小货车的数量.

（2）总运费为大、小货车的运费和，可用列表格的方式将大、小货车去往A，B两地各自的车辆数量、运费展现出来，如表2.

表2

[车型 目的地 A地运费/元 B地运费/元 大货车 900x 1000 × （12 - x） 小货车 500（10 - x） 700 × [10 - （12 - x）] ]

（3）由运往A地物资的大、小货车的数量，每辆车的载重量结合题意列出不等式，求得解集，结合x为正整数求得x的整数值，再根据一次函数的增减性可得运费的最小值.

解：（1）设大货车有a辆，则小货车有（20 - a）辆，

根据题意得15a + 10（20 - a） = 260，解得a = 12. ∴20 - a = 8.

即大货车有12辆，小货车有8辆.

（2）由题意得y = 900x + 1000（12 - x） + 500（10 - x） + 700[10 - （12 - x）] = 100x + 15 600.

由题意得[x≥0，12-x≥0，10-x≥0，10-（12-x）≥0.]解得2 ≤ x ≤ 10，且x为整数.

（3）由15x + 10（10 - x） ≥ 140，解得x ≥ 8.

∵x ≤ 10，∴ 8 ≤ x ≤ 10，且x为整数. ∵y = 100x + 15 600，k = 100>0，∴y随x的增大而增大.

当x = 8时，y取最小值，最小值为y = 100 × 8 + 15 600 = 16 400.

使总运费最少的调配方案是：8辆大货车、2辆小货车前往A地，4辆大货车、6辆小货车前往B地.最少运费为16 400元.

以上两例，着实让我们感悟到求一次函数的最值是获取各类问题的最佳方案的切入点.

同步演练

某商场准备购进A，B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500元，用40 000元购进A型号电脑的数量与用30 000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题：（1）A，B型号电脑每台进价各是多少元？（2）若每台A型号电脑售价为2 500元，每台B型号电脑售价为1 800元，商场决定同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获利润y（单位：元）与A型号电脑x（单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36 000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？（3）在（2）问的条件下，用不超过所获得的最大利润的资金再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台.

答案：（1）A型电脑每台进价2000元，B型电脑每台进价1500元.（2）y = 200x + 6000，三种购买方案：甲10台，乙10台;甲11台，乙9台;甲12台，乙8台.（3）最多5台.