SVPWM教学研究之空间矢量冲量等效原理

佘 焱， 王 勇， 孙 佳， 徐青菁

(上海交通大学 电力传输与功率变换控制教育部重点实验室，上海200240)

0 引言

空间电压矢量脉宽调制SVPWM将电压型逆变器输出的基本空间电压矢量合成需要的空间电压矢量，是逆变器控制的重要技术[1]，在电机控制和并网技术等领域中有重要应用。但是，我们在SVPWM教学中，发现有些难点目前很少有资料进行讨论，特别是SVPWM的理论基础，本文进行了一些探讨和澄清，在此求教于大家。

1 冲量等效原理

空间矢量脉宽调制将逆变器输出的基本空间矢量合成参考空间矢量，合成的理论基础目前很少有资料提及或者讨论。本节首先证明冲量等效原理，再推广到三相三线制电路的线电压冲量等效原理。

定理1(冲量等效原理)：设开关周期Ts足够小，幅值为vi的电压脉冲的宽度分别为Ti，Ti≤Ts，i=1,2。且

v1·T1=v2·T2

(1)

则，v1和v2是通过惯性环节的响应等效。

证明：设惯性环节如图1所示：

显然：

图1 惯性环节

容易证明，上述电路的冲激响应为：

(2)

输入幅值为vi，宽度为Ti的电压脉冲，则响应为：

(3)

(4)

由式(1)，v1·T1=v2·T2，所以，由式(4)，当t>Ti，响应完全相同，考虑到Ti足够小，可以近似认该惯性环节具有相同响应。

推论1：设开关周期Ts足够小，幅值为vi(i=1,2,3)的电压脉冲的宽度分别为Ti，其中T1+T2≤Ts，T3≤Ts。且

v1·T1+v2·T2=v3·T3

(5)

则，v1和v2在一个开关周期内相继通过惯性环节的响应与v3通过该惯性环节的响应等效。

证明：由定理1的证明，特别是式(4)，如果单独输入信号vi(i=1,2,3)，则当t>Ts>Ti时，响应的值与脉冲的面积成正比。当v1和v2在一个开关周期内相继输入线性系统时，系统的响应为分别输入v1和v2的响应之和，由式(5)，该响应等于v3的响应。

推论2：设开关周期Ts足够小，三个线电压脉冲，幅值分别为vUVi,vVWi,vWUi(i=1,2)，宽度分别为Ti，Ti≤Ts。且

vUV1·T1=vUV2·T2

vVW1·T1=vVW2·T2

vWU1·T1=vWU2·T2

则，vUV1,vVW1,vWU1和vUV2,vVW2,vWU2通过三线三相电路对称惯性环节的响应等效。

证明：设三线三相电路对称惯性环节如图2所示。其中

R1=R2=R3=R

C1=C2=C3=C

图2 三线三相电路对称惯性环节

考虑图示三个回路，由基尔霍夫电压定律：

vUV=vC1-vC2+R1iU-R2iV

vVW=vC2-vC3+R2iV-R2iW

vWU=vC3-vC1+R3iW-R2iU

注意到：

将上式代入式()，

记输出线电压:

v12=vC1-vC2

v23=vC2-vC3

v31=vC3-vC1

得：

注意到输入线电压和输出线电压满足和定理1中输入输出电压完全相同的微分方程，所以，完全类似的方法可以证明推论2.

推论3：设开关周期Ts足够小，三个线电压脉冲，幅值分别为vUVi,vVWi,vWUi(i=1,2,3)，宽度分别为Ti，其中T1+T2≤Ts，T3≤Ts。且

vUV1·T1+vUV2·T2=vUV3·T3

vVW1·T1+vVW2·T2=vVW3·T3

vWU1·T1+vWU2·T2=vWU3·T3

则，vUV1,vVW1,vWU1和vUV2,vVW2,vWU2在一个开关周期内相继通过三线三相对称电路惯性环节的响应与vUV3,vVW3,vWU3通过该惯性环节的响应等效。

证明:根据推论2的建模，类似推论1可以证明。

2 空间矢量的冲量等效原理

2.1 空间矢量

图3 三相电压的空间矢量

定义[2]对于给定的三相电压vU、vV、vW，称

(6)

为三相电压vU、vV、vW的空间矢量，其中k为常数。上述求和为矢量求和运算。

容易证明，式(6)等价于：

(7)

2.2 空间矢量的冲量等效原理

定理2(空间矢量冲量等效原理):设开关周期Ts足够小，三相相电压vUi、vVi、vWi(i=1,2,3)的空间矢量分别为Vi(i=1,2)，Vi的输出时间分别为Ti，其中Ti≤Ts。且

证明:由式(7)：

(9)

式(9)代入式(8)，得

适当简化：

进一步简化：

由上式可得：

vU1T1-vU2T2=vV1T1-vV2T23=vW1T1-vW2T2

由上式可推出：

(vU1-vV1)T1=(vU2-vV2)T2

(vV1-vW1)T1=(vV2-vW2)T2

(vW1-vU1)T1=(vW2-vU2)T2

记vUVi-vUi-vVi，vWVi-vVi-vWi，vWUi-vWi-vUi，由推论2得证。

推论4:设开关周期Ts足够小，三相相电压vUi、vVi、vWi(i=1,2,3)的空间矢量分别为Vi(i=1,2,3)，Vi的输出时间分别为Ti，其中T1+T2≤Ts，T3≤Ts。且

V1·T1+V2·T2=V3·T3

(10)

则，V1和V2在一个开关周期内相继通过三线制对称电路惯性环节的响应与V3通过该惯性环节的响应等效。

证明:由式(7)：

(11)

式(11)代入式(10)，得

适当简化：

进一步简化：

由上式可得：

vU1T1+vU2T2-vU3T3=vV1T1+vV2T2-vV3T3=vW1T1+vW2T2-vW3T3

由上式可推出：

(vU1-vV1)T1+(vU2-vV2)T2=(vU3-vV3)T3

(vV1-vW1)T1+(vV2-vW2)T2=(vV3-vW3)T3

(vW1-vU1)T1+(vW2-vU2)T2=(vW3-vU3)T3

记vUVi=vUi-vVi，vVWi=vVi-vWi，vWUi=vWi-vUi，则推论3得证。

3 结语

本文提出并证明了SVPWM的理论基础空间矢量的冲量等效原理，对于学生透彻理解掌握SVPWM有重要意义。