常用逻辑用语常考题型与解题策略

2021-08-19廖永福

数理化解题研究 2021年22期

关键词：充分条件增函数真假

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

在近几年的高考中，常用逻辑用语试题的题型、难度、分值保持相对稳定，试题的主要形式是选择题和填空题，难度以基础题和中档题为主，常考题型有：命题的否定、命题真假的判断、充分条件和必要条件的判断等.

一、命题的否定

简单命题“若p，则q”的否定是“若p，则q”.

复合命题“p∧q”的否定是“p∨q”；“p∨q”的否定是“p∧q”.

全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，p(x)”；特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”.

在写一个命题的否定时，应先分清命题的类型，再按照相应的规则写出它的否定，否则容易出错.

例1 (2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ).

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n

分析这是一个全称命题，其中p(x)是“∃n∈N*，使得n≥x2”，p(x)是“∀n∈N*，使得n

解答命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n

点评本题考查全称命题的否定，解答本题的关键是：①将全称量词改为存在量词；②将结论加以否定，属于基础题.一般地，对于含有两个量词的命题的否定，应将两个量词同时改变，并否定结论.

变式1 (2015·全国卷Ⅰ)设命题p:∃n∈N，n2>2n，则p为( ).

A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2=2n

变式2 (2015·浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ).

A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

答案：1.C；2.D.

二、判断命题的真假

简单命题真假的判断：要判断它是真命题，需要进行推理证明；要判断它是假命题，举出一个反例即可.

复合命题“p∧q”的真假可以根据“有假即假，都真才真”来判断；“p∨q”的真假可以根据“有真即真，都假才假”来判断.

全称命题“∀x∈M，p(x)”真假的判断：要判断它是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)都成立；要判断它是假命题，只要举出集合M中的一个元素x0，使得p(x0)不成立即可.

特称命题“∃x∈M，p(x)”真假的判断：要判断它是真命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；要判断它是假命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)都不成立.

当一个命题的真假不易判断时，可以转化为判断它的逆否命题的真假，因为它们同真同假；也可以转化为判断它的否定的真假，因为它们的真假正好相反.

例2 (2016·上海卷)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( ).

A.①和②均为真命题

B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题

D.①为假命题，②为真命题

分析①举反例说明命题不成立；②根据定义得f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T)，f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T)，g(x)+h(x)=g(x+T)+h(x+T)，由此得出：g(x)=g(x+T)，h(x)=h(x+T)，f(x)=f(x+T)，即可判断真假．

解答对于①，举反例如下：设f(x)=2x，g(x)=-x，h(x)=3x，则f(x)+g(x)=x，f(x)+h(x)=5x，g(x)+h(x)=2x都是定义域R上的增函数，但g(x)=-x不是增函数，所以①是假命题；

对于②，根据周期函数的定义，f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T)，f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T)，g(x)+h(x)=g(x+T)+h(x+T)，前两式作差可得：g(x)-h(x)=g(x+T)-h(x+T)，结合第三式可得：g(x)=g(x+T)，h(x)=h(x+T)，同理可得f(x)=f(x+T)，所以②是真命题．故选D.

点评本题考查了简单命题真假的判断、函数的单调性与周期性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．