基于铁路客流分配的旅客列车开行方案调整方法

蒲 松，夏 嫦

（1.成都工业学院 经济与管理学院，四川 成都 611730；2.成都文理学院 经济与管理学院，四川成都 610401)

0 引言

随着我国高速铁路成网运营，运输通道内的不同客运产品之间竞争越来越激烈。为了更好地适应市场的需求，铁路运输企业需要动态调整列车开行方案，提高铁路运输能力与客流需求量的精确匹配程度。客流分配能够为编制更加契合旅客需求的列车开行方案提供技术支持，进一步提升高速铁路运输企业的服务水平。

国内外学者对铁路客流分配问题进行了比较深入的研究，总结为3个方面。①系统分离(SS)。Borndorfer等[1]运用系统分离法将路网预先分解成IC，IR和AR路网，并将客流按照乘客的广义最短路径分配到不同等级的子路网上；②系统最优(SO)。Qi等[2]综合考虑多种等级列车，把不同OD (起点站到终点站)的旅客看作不同种类的商品，将旅客的路径选择行为描述为多商品流问题；③多类用户平衡(UE)。多数学者考虑了不同层次旅客对服务水平要求的差异性等因素，将用户平衡原则(User Equilibrium，UE)运用到铁路客流分配上，建立了多类用户平衡模型的极小值数学模型，设计基于凸规划的求解算法[3-6]。综上分析，现有的铁路客流分配研究多是在给定开行方案的条件下，研究旅客的乘车行为，鲜有研究考虑基于客流分配反馈的开行方案调整问题，难以为开行方案的及时调整提供依据，因而有必要对受客流变化影响条件下的列车开行方案调整方法进行研究。

1 客流分配网络构建及广义旅行成本确定

1.1 客流分配网络构建

高速铁路客流分配是将铁路网络中的OD客流分配到客流分配网络上的过程，即在给定的客流分配网络上，乘客根据广义出行费用选择乘车路段，从而确定从OD起点到讫点的一条乘车路径的过程(客流径路)，其中，客流分配网络如图1所示。客流分配网络是列车的开行方案与客流乘车径路构成的增广网络[3-4]。

图1 客流分配网络Fig.1 Passenger assignment network

设G= (V，E)为高速铁路线路构成的网络，其中V为节点集合，v∈V代表车站，E为边集合，e∈E代表相邻车站间的路段或者轨道。L为列车集合，r(l)为列车l(l∈L)的运行路径，由始发站、停站及终到站序列构成，与列车l一一对应。为了更加细致描述乘客的乘车行为，在V中，按照下列方式增加虚拟节点，扩充集合V为V*。①如果有m列列车均以a站为起点(或终点)，则在节点a附近增加m个虚拟节点，分别作为每列列车的起点(或终点)。②如果列车l在途中a站停站，则在节点a附近增加2个节点，分别作为列车停站点与重新发车点，构造乘客上下车弧与停站弧，以此分别描述旅客上下车的广义旅行成本，以及车上在途旅客停车时的广义旅行成本。

设V1为虚拟节点中所有列车的起讫点集合，V2为虚拟节点中所有列车的途中停站点与重新发车点集合，则V*=V∪V1∪V2。相应的 ，边集合E扩充为弧集合AL，扩充后的客流分配网络为G*= (V*，AL)。设|AL|表示AL中弧段的数量，= {(i，j) |i∈V，j∈V1∪V2}表示客流进站上车弧集合，= {(i，j) |i，j∈V2} 表 示 列 车 停 站 弧 ，= {(i，j) ∉|i，j∈V1∪V2} 表示乘客乘车弧，= {(i，j) |i∈V1∪V2，j∈V} 表示客流下车出站弧，则AL=A1L∪∪∪。由于高速铁路换乘会给乘客带来更多的不方便，直达列车仍然是乘客的首选，因而，假定乘客只选择直达列车，模型中不考虑换乘弧。

1.2 客流广义旅行成本确定

客流的广义旅行成本主要包括时间、票价、拥挤和排队等方面，在不同的阶段，其成本不同[3-4]，按照乘客人均年收入标准将客流分为N类，一般N= 3，包括高等级客流、中等级客流与普通客流。

设为第g(g≤N)类客流在弧段a的广义旅行成本，元，则对的取值进行讨论分析。

（1） 当a∈为 上 车 弧 时，=λg(σa xa/fla+Tper/fla v1)。其中，λg为第g类客流的时间价值，元；σa Tper/fla表示候车时间，min，由乘客候车参数σa、列车有效运行时间Tper，h/d，以及过弧段a的列车la的开行对数fla，列/d，共同决定，σa取决于乘客到达时刻分布和车辆到达时刻分布，如果车辆到达间隔固定，且乘客到达服从均匀分布，则σa= 2[6]；xa/fla v1表示乘客平均排队上车时间，min；xa为弧段a的分配客流量，人；其中为弧段a上第g类客流量，人；v1为客流上车的平均速率，人/min。

（2）当a∈为停站弧时，其中，为列车l∈L的停站时间，为拥挤函数，w，θ为参数，为弧段a相对最大容量，人。通常拥挤、舒适等定性因素对乘客的路径选择有很大影响，而拥挤程度与区段上的客流量以及列车能力相关，当列车上乘客数不大于座位数时，由拥挤引起的额外费用为零；当乘客数大于座位数时，由于部分乘客必须站立甚至过度拥挤，由此造成的因拥挤而产生的额外费用[3]，采用拥挤函数描述。

（3）当a∈为乘车弧时，ρa da。其中，为列车l∈L在弧段a的运行时间，min；ρa表示过弧段a的列车票价率，元/km；da表示弧段a的长度，km。

（4）当a∈下车出站弧时，=λg(σa Tper/fla+xa/fla v2)。其中，v2为客流下车速率，人/min。

2 基于铁路客流分配的列车开行方案调整优化

列车开行方案是在给定路网设施的条件下，根据起讫站间的客流量确定某个周期内列车的运行路径、开行对数、等级与停站方案等要素。随着运营阶段的变化，客流需求也将发生变化，客流需求量与铁路运输能力的匹配度变差，易导致部分车次客流饱满而运能紧张，同时部分车次因客流量下降而运能虚靡。因而，开行方案的调整是指根据新的客流需求量调整列车的运行路径、开行对数、等级与停站方案等要素，精确匹配铁路运输能力与客流需求量。

2.1 基于变分不等式的客流分配模型

开行方案调整的目标是铁路运输能力与客流需求量精确匹配，为此，可首先模拟客流OD在既有开行方案下的客流分配量。根据UE均衡条件，假定每位乘客都是从利己的角度考虑，选择旅行成本最小的乘车路径，以此作为客流分配的主要原则。则客流分配模型的目标是为所有客流OD选择成本最小乘车路径，约束条件为路段客流与路径客流关系，UE均衡条件等价于变分不等式模型，可以通过转化建立变分不等式模型描述[5-7]。

设为客流分配网络中弧段a(乘车弧、停站弧)在既有开行方案下的相对最大容量，人，由既有开行方案中通过弧段a的列车的最大载客量确定，计算公式为其中为通过弧段a的列车开行对数，列/d；φla为列车la的定员，人；设ca为客流分配网络中弧段a的绝对最大容量，人，计算公式为为弧段a的最大通过能力，列/d。为充分挖掘铁路资源的潜力，运用绝对最大容量ca代替相对容量。设客流OD从o站出发到达目的站d站，o，d∈V，客流OD的乘车路径集合为Pod。为OD间第g(g≤N)类客流在乘车路径p的广义旅行成本，元，p∈Pod，其中，p由上下车弧、乘车弧与停站弧构成，即则乘车路径p的广义旅行成本为设 OD 间第g类客流在乘车路径p的客流分配量，人；f odg为OD间第g类客流总量，人；为OD间客流的乘车路径p与弧段a的关联矩阵；为弧段a上的第g类客流量，人，则UE平衡条件如公式 ⑴ 所示[5，7]。

式中：Dg为第g类客流的路径客流分配量集合。

式中：为达到均衡时的广义旅行成本，元，即最小旅行成本，满足公式 ⑶ 约束条件。

根据公式 ⑴ 和公式 ⑶ 构建变分不等式模型，则客流分配问题转化为寻找最优路径客流分配量

由公式 ⑷，当且仅当任意OD间的任意路径p∈Pod，其广义旅行成本为最小旅行成本时，路径客流分配量等于最优路径客流分配量。变分不等式模型可以用对角算法进行迭代求解[8]。

2.2 开行方案调整算法

开行方案调整算法的目标是在运营成本最小的条件下，使得运输能力匹配客流需求，主要技术手段是运用启发式的方式根据新客流分配量增加或缩减列车的运输能力。客座率是衡量铁路运输能力与客流需求量匹配的关键指标[9]，根据客流分配模型，计算新客流需求量下的客座率。开行方案的调整需要综合考虑客座率限制、客流等级与列车等级的匹配，以及列车的停站次数、通过能力等限制因素[10]，依次调整列车的运行路径、开行对数、等级与停站方案等要素，并根据调整后的开行方案，重新进行客流分配。根据上述思路，设计列车开行方案的启发式调整算法，具体步骤如下。

步骤2：根据客座率限制条件调整列车的开行方案。分以下3步完成。

（1）调整列车等级。将客流分为3个等级：高等级客流、中等级客流与普通客流。列车等级分为高速列车和中速列车2个等级。对于弧a，a∈∪A3L，若高等级客流与中等级客流之和大于普通客流，即其中，g= 1，2，3，分别代表高等级客流、中等级客流与普通客流，且a为中速列车所对应的弧，则将a对应的列车调整为高速列车；若高等级客流与中等级客流之和小于普通客流，且a为高速列车对应的弧，则将a对应的列车调整为中速列车；其他情况下，各弧段列车等级保持不变。

（2）调整列车的停站方案。若max{|ηa-ηb|，|ηb-ηc|} ≤ε0， 其 中a∩b≠ ∅，b∩c≠ ∅，a，c∈，b∈，I∈L，ηa，ηb，ηc分别表示弧a，b，c的客座率，则删除停站弧b。即若停站弧与相连接的乘车弧之间的客座率相差不超过ε0时，删除停站弧b。

（3）调整列车的运行区段和开行对数。对于弧段a∈，若ηa＞ηupper，则将弧段a的条数增加为若ηa＜ηlow，则将弧段a的条数减少为若ηlow≤ηa≤ηupper，保持不变。其中，ηupper，ηlow分别表示运输企业规定的最高客座率和最低客座率。

步骤3：根据公式 ⑴ 至公式 ⑷，以调整后的开行方案为依据，重新进行客流分配。

3 案例分析

3.1 线路数据及参数设定

以京沪高速铁路(北京南—上海虹桥)为例进行测算，该线路主要途径23个车站，全长1 318 km。京沪高速铁路途经车站及站间距如图2所示。

图2 京沪高速铁路途经车站及站间距Fig.2 Stations and station spacing of Beijing-Shanghai high speed railway

京沪高速铁路线路上运行2种等级的列车[10]，其中，高速列车运行速度为300 km/h，中速列车运行速度为200 km/h，则能够根据站间距与速度计算列车的运行时间，定员φl分别取1 000人和1 200人，对于票价率ρa，高速列车参考一等座和二等座的平均票价，并考虑远期物价上涨，取0.7元/km；中速列车参考二等座和卧铺的平均票价，并考虑远期物价上涨，取0.5元/km[3]。停站时间ta d均为5 min，列车有效运行时间Tper取10 h/d，弧段最大通过能力为200列/d，高速列车的总停站次数不超过所通过车站的40%，动车组列车不超过70%。设运输企业容许的列车最低客座率ηlow= 0.25，最高客座率ηupper= 1.2[11]。上下车时间v1=v2= 50人/min，候车参数σa= 0.5，拥挤参数w= 4，θ= 0.15[4，9]，假设高等级、中等级及普通客流(分别用g= 1，2，3表示)比例约为2 : 3 : 5，时间价值矩阵λ= [3，2，1]，单位为元/min，最低客座率ηlow= 0.25，s= 2，ε0= 0.01，假定某个运营周期的京沪高速铁路各区段间日均客流量如图3所示。

图3 京沪高速铁路各区段间日均客流量Fig.3 Average daily passenger volume in each section of Beijing-Shanghai high speed railway

3.2 结果分析

根据2.1节进行客流分配，计算弧段a∈A3l的客座率ηa及弧段a上高等级客流、中等级客流与普通客流的分配量，其中列车的客座率主要由乘车弧确定。调整前后客座率比较如图4所示。由图4可知，调整前，30条乘车弧的客座率不足0.25，11条乘车弧的客座率超过1.2，最低客座率为0，最高客座率为1.724 9，平均客座率为0.539 5。因而，需要对开行方案进行调整，利用2.2节方法对开行方案进行调整，调整后，3条乘车弧的客座率不足0.25，没有乘车弧的客座率超过1.2，最高客座率为1.190 1，最低客座率为0.229 7，平均客座率为0.621 3。

图4 调整前后客座率比较Fig.4 Comparison between load factors before and after adjustment

调整前客流等级与列车等级的匹配性能如图5所示。由图5可知，调整前，10条高速列车的乘车弧的高等级客流与中等级客流之和与普通客流的比例低于1，10条中速列车的乘车弧的比例高于1；调整后客流等级与列车等级的匹配性能如图6所示。由图6可知，调整后，2条高速列车的乘车弧的高等级客流、中等级客流与普通客流比例低于1，4条中速列车的乘车弧的高中等级客流与普通客流比例高于1，调整算法能有效提高客流等级与列车等级的匹配性能。

图5 调整前客流等级与列车等级的匹配性能Fig.5 Matching performance between passenger flow and train classes before adjustment

图6 调整后客流等级与列车等级的匹配性能Fig.6 Matching performance between passenger flow and train classes after adjustment

4 结束语

在旅客列车运营组织中，如何根据变化的客流需求，动态调整列车开行方案，提高铁路运输能力与客流需求量的精确匹配度是当前铁路运输企业亟需解决的问题。研究提出的基于铁路客流分配的列车开行方案调整优化模型及算法弥补了传统方法忽略客流需求动态变化，难以达到铁路运输能力与客流需求量精准匹配的问题。该方案在进行优化的同时，也会由于开行方案的频繁调整，而增加运输企业内部组织工作的复杂性，对开行方案服务的一致性不利，今后将继续研究基于不确定性客流需求的开行方案，增加方案的鲁棒性。