用几何画板培养学生几何直观核心素养——以“成对出现的特殊三角形”片段教学为例

◎ 熊家灿

一、直观是抽象的基础

我们知道,直观想象是发现问题的基础,也是逻辑推理、数学抽象的思维基础。高水平的几何直观的养成,主要依赖于学生参与的几何活动,包括观察、操作(例如折纸、展开、折叠、切截、拼摆等)、判断、推理等。此外教师培养学生几何直观能力的自觉意识不足,在题目讲解过程中失去了很多宝贵的培养契机,哪些类型题目的学习适合培养学生的几何直观能力? 如何利用解题教学培养学生的几何直观能力? 学生的接受能力如何? 用什么方式进行几何直观?

几何画板无疑在几何直观教学中成了最出色的软件之一,可以为教师提供便捷的平台,能够动态展示对象的位置关系,变化规律,也能快速额验证数学猜想,有利于促进学生通过数学实验发现问题与提出问题,有利于提升学生的直观想象素养。

二、数学问题几何直观化

1.再现问题.已知:如图(1) △ABC是等边三角形,∠AOC=∠AOB=60°求证:OA=OB+OC

2.知识解读.在八年级学习完三角形的证明以及图形的旋转与平移后,关于三角形的运动问题随处可见,这个问题,看似“不动”,但要证明这三条线段的数量关系,必须要改变至少一条线段的位置,因此本题中体现了“动”。同时题目条件中蕴含了一个等边三角形以及两个60°角。如何去变换,显得尤为重要。那么此时几何直观的核心素养在该类问题中就得以充分的体现,因此选取该题培养初中生的数学核心素养。

三、教学片段设计

1.教学目标制定

(1)探索并掌握成对出现的等边三角形共顶点时所带来的结论;(2)能够总结出成对出现的等边三角形共顶点时,产生全等三角形及相等线段、相等夹角的本质原因;(3)经历探索——发现——猜想——证明的过程,丰富数学活动经验,发展相应的能力,并回顾起本章所学的知识内容;(4)通过问题的探究,能够举一反三,解决相关问题,发展数学应用意识;(5)借助几何画板,通过几何直观,把复杂的问题变得简明、形象,培养数学核心素养。

2.教学过程设计

第一环节:成对出现的等边三角形

先观察图形(2)特点,让学生总结出图形具备的特点,可能变化的情况,并连接AE,BD.

当等边三角形ABC与等边三角形CDE共顶点C时,总结出相 关 结论:(1) △ACE≅△BCD;BD=AE;(3) ∠AFB=60°;

设计意图:让学生观察图形,在得出结论过程中,让学生自主发挥,给予学生一定的发展空间,同时更能充分观察图形特点,得出相关结论。

以先猜想后证明,再应用的思路进行。借助几何画板可以精准作图,帮助学生能够正确猜想,同时要求学生精准作图。其次,通过几何画板可以帮助同学们感受图形在变化过程中的不变关系,进而探索出解决问题的思路。

第二环节:问题解决。已知:如上图(1) △ABC是等边三角形,∠AOC=∠AOB=60°,求证:OA=OB+OC

证法一:构造等边三角形△BOD

将线段OA绕点A顺时针旋转60,与线段OB相较于点D,因为△ABC是等边三角形,所以AB=AC,∠BAC为60°,因为△BOD是等边三角形,所以AD=AO,∠DAO为60°,因为∠BAD=60°-∠DAP,∠CAO=60°-∠DAP,所以∠BAD=∠CAO,所以△BAD≅△CAO,所以BD=OC,因为OD=OA,所以OB=OD+DA=OA+OC.

证法二:构造等边三角形△COD

将线段OC绕点C逆时针旋转60°,与线段OB相较于点D,因为△ABC是等边三角形,所以CB=CA,∠ACB为60°,因为△COD是等边三角形,所以CD=CO,∠DCO为60°,因为∠BCD=60°-∠DCA,∠ACO=60°-∠DCA,所以∠BCD=∠ACO,所以△BDC≅△ACO,所以BD=OA,因为OC=OD,所以OB=OD+DB=OA+OC.

方法三:构造等边三角形△CDD

将线段OC绕点O逆时针旋转60°得线段OD,连接CD,因为△ABC是等边三角形所以CB=CA,∠ACB为60°,因为△COD是等边三角形,所以CD=CO,∠OCD为 60°,因 为∠BCO=60°+∠ACO,∠ACD=60°+∠ACO,所以∠BCO=∠ACD,所以△BDO≅△ACD,所以OB=AD,因为OC=OD,所以OB=AD=OA+OD=OA+OC.

设计意图:通过本题,培养学生的几何直观素养以及先观察、猜想再证明的几何直观能力。

四、抽象是直观的升华

该问题的研究还可深入至两个等腰直角三角形共顶点、两个等腰三角形共顶点、两个正方形共顶点,同时两个正方形共顶点,若夹角为90°,那么该图形还可用于证明勾股定理。充分体现一图多变,一题多解,几何图形相互联系的特点。直观想象核心素养,所为初中数学学科核心素养之一,能否有效提升,在一定程度上直接影响着数学抽象、逻辑推理、运算能力等核心素养的培养和发展。换句话说,其他核心素养在一定程度上受限于直观想象。提升核心素养,需要激发学生好奇心。合理利用信息技术,为学生深度学习提供了可能,为学生理解数学问题本质奠定了基础,为提高课堂效率提供了可能,为提升几何直观核心素养奠定了基础。