例析函数值域的求法
2021-08-17陈小玺
陈小玺
[摘 要]研究求函数值域的方法能提高学生的解题能力.求函数值域的方法有观察法、配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图像法、利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数等.
[关键词]函数;值域;求法
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）20-0032-02
函数是中学数学最重要的内容之一，作为函数三要素之一的值域，是这一内容的重要组成部分.求函数值域是历年高考的必考内容.求函数值域的方法有观察法、配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图像法、利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数等.
一、观察法
[例1]求下列函数值域.
（1）[y=-3x+2（-1≤x≤3）];
（2）[y=1-x2]，[x∈-2，-1， 0， 1， 2];
（3）[y=2x-1];
（4）[y=1， x>0，0， x=0，-1， x<0.]
答案：（1）[-7， 5]，（2）[-3， 0， 1]，（3）[（-∞，-1）?] [（-1，+∞）]，（4）[-1， 0， 1].解题过程略.
二、配方法
利用二次函数的配方法，是求二次函数类值域的最基本的方法.一般地，像[g（x）=af（x）2+bf（x）+c]的函数的值域问题，可以用配方法.
[例2]求函数 [y=2x+2-3×4x（-1≤x≤0）]的值域.
解：[y=2x+2-3×4x=4×2x-3×22x，]
令[2x=t，∵-1≤x≤0，∴12≤t≤1，]
[y=-3t2+4t=-3t2-43t+49-49=][-3t-232+43]，[∴ymax=43]，[ymin=1]，[∴1≤y≤43].
[例3][求函数y=x-3+5-x的值域].
解：[由x-3≥0，5-x≥0， ]得[3≤x≤5]，
∴函数定义域为[3， 5].
[又∵y2=2+2（x-3）（5-x）=2+21-（x-4）2]，[∴2≤y2≤4]，[∵y>0]，[∴2≤y≤2]，∴函数的值域为[2， 2].
三、判别式法
利用二次函数的判别式求函数的值域，一定要注意定义域.一般情况下，把已知函数转化成关于[x]的二次方程[f（x， y）=0]，通过二次方程有实根，则判别式[Δ≥0]，从而求得原函数的值域.形如[y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2]（[a1]，[a2]不同时为0）的函数的值域常用此法.
[例4]求函数[y=x2-x+12x2-2x+3]的值域.
解：由已知得
[（2y-1）x2-（2y-1）x+（3y-1）=0] （*）
（1）若[2y-1=0]，则[y=12]，代入（*）式得[32-1≠0]，[∴y≠12].
（2）若[2y-1≠0]，则[∵x∈R]，∴Δ[=（2y-1）2-4x（2y-1）（10y-3）≥0]，即 [（2y-1）（10y-3）≤0]，[∴310≤y≤12]，
∴值域[310≤y<12.]
[例5][求函數 y=x2+4x+3x2+x-6 的值域].
解：由已知得
[（y-1）x2+（y-4）x-（6y+3）=0] （**）
（1）若[y=1]，代入（**）式得[-3x-9=0]， ∴[x=-3]，此时原函数分母[x2+x-6]的值为0，∴[y≠1].
（2）若[y≠1]，则∵[x∈R]，∴[Δ=（y-4）2+4（y-1）] [（6y+3）≥0]，化简可得（[5y-2）2≥0]，则[y∈R]，
但当[y=25]时，代入（**）式得[x=-3]，[∴y≠25]，∴值域[yy∈R 且y≠1且 y≠25].
四、换元法
对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.形如：[y=ax+b+cx+d]（a、b、c、d均为常数，且[ac≠0]）的函数常用此法求值域.
[例6]求函数[y=x-x（x≥0）]的值域.
解：令[t=x]，则[t≥0]，
则[y=t-t2=-t-122+14]，[y∈-∞，14]，
所以原函数的值域为[-∞，14].
[例7]求函数[y=3x2-12x+184x-x2-23]的值域.
解：[y=-3（4x-x2）+184x-x2-23]，[令4x-x2=t]，则[4x-x2=t2]，[∴y=-3t2+18t-23=-3（t-3）2+4]，由[4x-x2=-（x-2）2+4≤4]，知[0≤t≤2].
∴[ymax=1]，[ymin=-23]，∴原函数的值域为[-23， 1 ].
五、利用函数的单调性求值域
先确定函数的单调性，再由单调性求出函数的最值.
[例8]求函数[y=x+2x+1]的值域.
解：[∵y1=x]，[y2=2x+1]均在定义域内单调递增，[∴y=x+2x+1]在公共定义域范围内单调递增，而[y=x+2x+1]的定义域是[x≥-1]，∴[ymin=-1]（当[x=-1]时），∴原函数的值域为[y≥-1].
六、基本不等式法
这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域.
（1）[a+b≥2ab]，[ab≤a+b22]（这里a、b为正数，当且仅当[a=b]时取等号）;
（2）[a+b+c≥3abc3]，[abc≤a+b+c33]（这里a、b、c为正数，当且仅当[a=b=c]时取等号）;
（3）[z1-z2≤z1±z2≤z1+z2 ].
[例9]求函数[y=3x2+2x2-1]的值域.
解：由[3x2+2x2≥23x2?2x2=26]，∴[y=3x2+2x2-1≥26-1].又由[3x2=2x2]得[x4=32]，得[x2=62]，∴有[x=±2442]，∴值域是[yy≥26-1].
七、利用原函数的反函数求值域
如果一个函数存在反函数，那么反函数的定义域就是原函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域.
[例10]求函数的[y=10x-10-x10x+10-x]值域.
解：[y·10x+y·10-x=10x-10-x]，即[y·102x+y=102x-1]， ∴[1+y=（1-y）·102x]，
∴[2x=lg1+y1-y]，即[x=12lg1+y1-y]，定义域[1+y1-y>0].
∴[-1 即原函数[y=10x-10-x10x+10-x]的值域是[-1 八、利用已知函数的值域求值域 [例11]求函数[y=1+sin x3+cos x 的值域]. 解：利用三角函数的值域来求值域.把函数式去分母变形得[ycosx-sinx=1-3y]， 即[1+y2y1+y2cosx-11+y2sinx=1-3y]，令[tanφ=y]，[sin（φ-x）=1-3y1+y2]， 因为[sin（φ-x）≤1]，所以[1-3y1+y2≤1]，解得[0≤y≤34]，所以函数的值域为[0 ， 34]. 九、数形结合法 利用函数所表示的几何意义，借助几何方法求函数的值域. [例12]求[y=x+1+（x-2）2 的值域]. 解：[y=x+1+x-2=-2x+1 （x<-1），3 （-1≤x≤2），2x-1 （x>2）.] 由图1知，值域为[y≥3]. 图1 十、利用导数求值域 [例13]求函數[f（x）=ln（1+x）-14x2+1]在[0， 2]上的值域. 解：[f'（x）=11+x-12x，]令[11+x-12x=0]，化简为[x2+x-2=0]，解得[x1=-2]（舍去），[x2=1].当[0≤x<1]时，[f'（x）>0]，[f（x）]单调递增;当[1 （责任编辑 黄桂坚）
