数列求和面面观

王瑞丁

[摘   要]数列求和是数列部分的一个重要内容，数列求和的方法虽然各有特色，但只要了解相关数列通项的特征，并合理地化归，灵活运用数列求和的常用方法进行数列求和，数列求和问题就能迎刃而解.

[关键词]数列求和;公式法;分组拆分法;错位相减法

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20 -0027-03

数列求和是数列部分的一个重要内容，它是数列知识的综合体现.在解决数列求和问题时，需要熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式与方法.对此.深入研究数列求和的方法十分重要.常见的数列求和方法主要有以下几种.

一、公式法

如果可以明确所求的数列是等差数列或等比数列，就可以直接利用公式法来处理.等差数列的求和公式为[Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2];等比数列的求和公式为[Sn=a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q]（[q≠1]）或[Sn=na1（q=1）].

[例1]（2017·江苏，7）等比数列[an]的各项均为实数，其前n项和为[Sn].已知[S3=74]，[S6=634]，则[a8=]                     .

分析：根据题目条件确定公比[q≠1]，利用等比数列的前n项和公式列出两式，利用两式对应相除来求解公比q，代入其中一个式子求解首项[a1]，再利用等比数列的通项公式求解即可.

解析：由题可知公比[q≠1]（否则条件不成立），

而[S3=a1（1-q3）1-q=74]，[S6=a1（1-q6）1-q=634]，两式对应相除并整理有[q3=8]，解得[q=2]，

代入[a1（1-23）1-2=74]可得[a1=14]，则[a8=a1q7=14×27=32]，故答案为32.

点评：利用公式法求解数列求和问题时，一般都是明确数列的属性，直接利用等差数列或等比数列的求和公式来处理.利用等比数列的求和公式时，一定要注意公比是否为1的条件，进而选择相应的公式来求解.

二、分组拆分法

当数列的通项是等差数列或等比数列的和的形式时，则可进行分组拆分，分别利用基本数列的求和公式求和.注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和[1].

[例2]已知等比数列[an]中，若[a1=3]，公比[q>1]，且[3（an+2+an）-10an+1=0（n∈N*）].

（1）求數列[an]的通项公式;

（2）设数列[bn+13an]是首项为1，公差为2的等差数列，求数列[bn]的通项公式和前n项和[Sn].

分析：（1）结合数列递推关系式并利用等比数列的通项公式加以转化，进而确定公比q的值，得以确定相应的通项公式;（2）根据等差数列的定义确定相应数列的通项，并求解[bn]的通项，通过分组拆分，分别结合等差数列和等比数列的求和公式来处理.

解析：（1）由于[3（an+2+an）-10an+1=0]，可得[3（anq2+an）-10anq=0]，即[3q2-10q+3=0]，

而公比[q>1]，可得[q=3]，又首项[a1=3]，所以数列[an]的通项公式为[an=3n];

（2）由于[bn+13an]是首项为1，公差为2的等差数列，则有[bn+13an=1+2（n-1）]，

可得[bn=2n-1-13an=2n-1-3n-1]，

所以[Sn=1+3+…+（2n-1）-1+3+32+…+3n-1=n2-123n-1].

点评：对于复杂的数列，若直接利用数列的通项公式无法进行求和，则可考虑分解为几个容易求和的基本数列（等差数列或等比数列），对数列通项中的和式进行重新分组与拆分，分组拆分后各自组成常见的基本数列，再分别利用公式进行求和.

三、错位相减法

对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前n项和问题，常用错位相减法求和.这种方法主要用于求数列[an·bn]的前n项和，其中[an]、[bn]分别是等差数列和等比数列，等式两端同时乘以公比后进行错位相减，再利用等比数列的求和公式加以转化即可[2].

[例3]（2017·天津理，18）已知[an]为等差数列，前n项和为[Sn（n∈N*）]，[bn]是首项为2的等比数列，且公比大于0，[b2+b3=12]，[b3=a4-2a1]，[S11=11b4].

（Ⅰ）求[an]和[bn]的通项公式;

（Ⅱ）求数列[a2nb2n-1]的前n项和[（n∈N*）].

分析：（Ⅰ） 运用基本量法先求出等比数列的公比，从而求出[bn]的通项公式，再求出等差数列[an]的公差和首项，从而求出其通项公式;（Ⅱ）数列[a2nb2n-1]是由等差数列与等比数列对应项相乘而得到的，运用错位相减法求出数列[a2nb2n-1]的前n项和.

解析：（Ⅰ）设等差数列[an]的公差为d，等比数列[bn]的公比为q，

由已知[b2+b3=12]，得[b1（q+q2）=12]，而[b1=2]，所以[q2+q-6=0]，

又因为[q>0]，解得[q=2]，所以[bn=2n];

由[b3=a4-2a1]，可得[3d-a1=8]，由[S11=11b4]，可得[a1+5d=16]，

联立以上两式，解得[a1=1]，[d=3]，由此可得[an=3n-2];

所以数列[an]的通项公式为[an=3n-2]，数列[bn]的通项公式为[bn=2n];

（Ⅱ）设数列[a2nb2n-1]的前n项和为Tn，

由[a2n=6n-2]，[b2n-1=2×4n-1]，有[a2nb2n-1=（3n-1）×4n]，

故[Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n-4）×4n-1+（3n-1）×4n]，

[4Tn=2×42+5×43+…+（3n-7）×4n-1+（3n-4）×4n+（3n-1）×4n+1]，

上述两式相减，得[-3Tn=2×4+3×（42+43+…+4n）-（3n-1）×4n+1=3×4×（1-4n）1-4-4-（3n-1）×4n+1=-（3n-2）×4n+1-8]，

得[Tn=3n-23×4n+1+83]，

所以數列[a2nb2n-1]的前n项和为[3n-23×4n+1+83].

点评：应用错位相减法求和写出[Sn]与[qSn]的表达式时，应特别注意将两式同项对齐，以便于下一步准确写出[Sn-qSn]的表达式.当等比数列的公比[q]为未知数时，应对该公比是否为1进行讨论;而当将[Sn]与[qSn]相减合并同类项时，注意错位及未合并项的符号.

四、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.如果数列的通项公式可转化为[an=f（n+1）-f（n）]形式，可尝试采用此法，使用此法时必须注意哪些项被消去，哪些项被保留.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项，如[1n（n+1）=1n-1n+1]等.

[例4]（2017·全国Ⅲ卷文，17）设数列[an]满足[a1+3a2+…+（2n-1）an=2n].

（Ⅰ）求数列[an]的通项公式;

（Ⅱ）求数列[an2n+1]的前n项和.

分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系式得到[n≥2]时的表达式，通过两式相减并整理得到[an]的表达式，验证[a1]的情况即得数列[an]的通项公式;（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论得到[an2n+1]的表达式，并通过裂项处理后再求和即可达到目的.

解析：（Ⅰ）因为[a1+3a2+…+（2n-1）an=2n]，

故当[n≥2]时，[a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）]，

两式相减得[（2n-1）an=2]，所以[an=22n-1]（[n≥2]），

又由题可得[a1=2]，从而数列[an]的通项公式为[an=22n-1];

（Ⅱ） 记数列[an2n+1]的前n项和为[Sn]，

由（Ⅰ） 知[an2n+1=2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1]，

[则 Sn=1-13+13-15+…+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1].

点评：对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常采用裂项相消求和法.分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.

五、并项求和法

把数列的一些项合并成熟悉的等差数列或等比数列后再来进行求和处理.

[例5]数列[an]满足[an+1=2sinnπ2-1an+2n]，[n∈N*]，则数列[an]的前100项和为（）.

A. 5 050B. 5 100C. 9 800D. 9 850

分析：根据三角函数的特征，对[n]进行分类讨论，再利用并项求和法求出数列[an]的前100项和.

解析：设[k∈N*]，当[n=2k]时，[a2k+1=-a2k+4k]，即[a2k+1+a2k=4k] ①，

当[n=2k-1]时，[a2k=a2k-1+4k-2] ②，

联立①②可得，[a2k+1+a2k-1=2]，

所以数列[an]的前100项和为

[S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100]

[=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）]

[=（a1+a3+…+a99）+（-a3+4）+（-a5+4×2）+…+（-a101+4×50）]

[=25×2+-（a3+a5+…+a101）+4×（1+2+…+50）=25×2-25×2+4×50×（1+50）2=5 100]，故答案选B.

点评：将一个数列分成若干段，然后各段分别利用等差数列或等比数列的求和公式或其他求和方法来处理.利用并项求和法求解数列问题的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号;二是数列的通项公式中含有符号因子“[（-1）n]”等.

总之，数列求和的方法虽然各有特色，但只要了解相关数列通项的特征，合理地化归，掌握数列求和的常用方法，数列求和问题就能迎刃而解.

[   参   考   文   献   ]

[1]  张娴，韩文美.剖析数列命题陷阱，挖掘失分原因[J].高中生之友，2019（10）：40-41.

[2]  田淑玲.数列求和方法归类谈[J].理科考试研究，2020（3）：33-34.

（责任编辑 黄春香）