例谈弦切角定理的应用

兰巧

[摘   要]弦切角定理是每年中考必考的一个基本知识点，其在解决平面几何中的长度与角度的求值、判断、证明等相关的问题都有着广泛的应用.探讨弦切角定理的应用，对指导教师的数学教学，提高学生的解题能力有实际意义.

[关键词]弦切角定理;圆;线段;角度

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0025-02

弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）是《圆的进一步认识》的重点内容之一，在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有着非常重要的作用.下面就应用弦切角定理求值问题、判断问题及证明问题等方面加以实例剖析.

一、求长度问题

利用弦切角定理中角度相等，把相应三角形中的对应角的相等关系加以等量转化，可以用于求解相应线段的长度等问题.

[例1]如图1，在△ABC中，∠CAB及它的外角的平分线与BC及其延长线分别交于点D、E，若[△ABC]的外接圆⊙O过点A的切线AF与CE的交点为点F，若AF=2，则ED的长度为________.

图1

分析：要求解ED的长度问题，可以结合图形中的几何性质，结合推理与论证，综合应用弦切角定理、角平分线定理以及[∠EAD=90°]的性质，转化为直角三角形来分析，从而得以求解线段的长度问题.

解：由于AF与⊙O切于点A，而∠FAB、∠C分别为弧AB上的弦切角与圆周角，

则由弦切角定理，可得[∠FAB=∠C]，又AD是∠CAB的角平分线，则[∠BAD=∠CAD]，

而[∠FDA=∠CAD+∠C]，[∠FAD=∠BAD+∠FAB]，∴[∠FDA=∠FAD]，则[DF=AF=2 ].

又∠CAB及它的外角的平分线与BC及其延长线分别交于点D、E，那么[∠EAD=90°].

而[∠E+∠FDA=∠EAF+∠FAD=90°]，[∠FDA=∠FAD]，则有[∠E=∠EAF].

∴[EF=AF=2]，故[ED=EF+FD=2+2=4].

点评：平面几何中的长度求值问题，通常结合弦切角定理加以过渡，通过角度相等的关系来处理有关的角度、长度等的求值问题.

二、求角度问题

利用弦切角定理中角度的相等的转化，把相应三角形中的对应角的相等关系加以等量转化，可以用于求解相应角的角度等问题.

[例2]如图2，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于C，延长PO交⊙O于点B，[PA=AB]，PD平分∠APB交AB于点D，则[∠ADP=] .

图2

分析：引入辅助线AC，结合切线利用弦切角定理加以过渡，结合线段相等利用等腰三角形的性质来转化角之间的关系，利用三角形的外角以及圆的性质确定相应角度问题，再综合角平分线的性质加以分析与求解.

解：连接AC，由于PA是⊙O的切线，由弦切角定理可得∠CAP=∠ABP，

又[PA=AB]，可得[∠APC=∠ABP]，则有[∠APC=∠CAP]，

又[∠ACB=∠CAP+∠APC=2∠ABC]，BC是[⊙O]的直径，

那么有[∠ACB+∠ABC=90°]，可得[∠ABC=30°]，

而PD平分∠APB，可得[∠BPD=15°]，即[∠ADP=∠ABC+∠BPD=45°].

点评：在处理平面几何中的角度求值问题时，要引入适当的辅助线，结合弦切角定理，转化为对应的角相等或相应的三角形相似等問题来分析与证明.

三、解判断问题

利用弦切角定理把相应三角形中的对应角的相等关系加以等量转化，可以用于判断图形的形状、三角形的全等或相似等问题.

[例3]如图3，AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使[BC=12AB]，自点C作CD切⊙O于点D，连接AD.试判断△DAC的形状.

图3

分析：要判断△DAC的形状，初步可以结合图形判断其为等腰三角形，通过弦切角定理把相应三角形中的对应角的相等关系加以等量转化，从而得以证明对应的角度相等.

解：如图4，连接DO、DB，由于CD与⊙O切于点D，而∠BDC、∠A分别为弧BD上的弦切角与圆周角，则由弦切角定理，可得[∠BDC=∠A]，又[BC=12AB]，则[OB=BC]，而在[Rt△DOC]，中线[DB=12OC=BC]，则[∠BDC=∠C]，则有[∠C=∠A]，故[△DAC]的形状为等腰三角形.

图4

点评：在判断一些三角形的形状等相关问题中，可以通过弦切角定理中相应角度相等的等量转化，再结合条件，通过角度的关系来判断三角形的形状.

四、解证明问题

利用弦切角定理把相应三角形中的对应角的相等关系加以等量转化，可以用于证明直线的位置关系、线段间的比例关系等问题.

[例4]如图5，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：（1）[EF∥BC];

（2）若AD与EF交于点G，求证：[AF·FC=GF·DC];

（3）若FD、AB延长线交于M.求证：[DM2=BM·AM].

图5

分析：要证明两直线平行，可以通过两直线平行的相应判定定理加以证明，通过弦切角定理，从对应的角相等加以分析.通过对应角的相等来证明相应的三角形相似，从而证明问题.

证明：如图6，连接ED、DF，

（1）由于经过点A的⊙O与BC切于点D，而∠FDC、∠DAF分别为弧DF上的弦切角与圆周角，则由弦切角定理，可得[∠FDC=∠DAF]，而由圆周角定理定理及其推论，可得[∠EFD=∠EAD]，又由于AD是[△ABC]中∠BAC的平分线，则有[∠EAD=∠DAF]，[∴∠FDC=∠EFD]，故[EF∥BC];

图6

（2）由（1）知∠FDC=∠DAF，而在（1）中证得[EF∥BC]，则∠C=∠AFG，∴△DCF∽△AFG，则有[DCFC=AFGF]，故有[AF·FC=GF·DC];

（3）如图7，由（1）知∠FDC=∠DAF=∠EAD，而由对顶角知∠FDC=∠BDM，∴∠EAD=∠EAD，又∠M为公共角，∴△DBM∽△ADM，则有[DMBM=AMDM]，故有[DM2=BM·AM].

图7

点评：在处理几何中的证明问题时，要通过适当的辅助线引入，结合弦切角定理，转化为对应的角相等或相应的三角形相似等问题来分析与证明.

弦切角定理是得出角相等的很好的工具.在应用弦切角定理时，首先应会识别弦切角，确定其所夹弧.一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联系起来的.因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切線的性质解决问题.

[   参   考   文   献   ]

[1]  杨晟和.弦切角定理的逆定理及其应用[J].中学数学杂志，2009（4）：28-29.

[2]  王文智.探析一道中考压轴题的多种解法[J].理科考试研究，2019（16）：6-8.

[3]  桂思强.一道中考题的解析与思考[J].中学数学教学参考，2018（36）：63-64.

[4]  陈春涛.弦切角图形在广东省中考综合题中的应用与教学建议[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（12）：46-48+38.

[5]  袁绍建.正难则反 逆向思维[J].中学数学教学参考，2018（15）：40-41.

（责任编辑 黄桂坚）