对称性在高中数学解题中的应用

孙林

[摘   要]利用对称性解题是一种重要的解题策略.高中数学引入了诸多实践案例验证对称性对提高解题速度的作用，教师应鼓励学生掌握对称性解题思路.

[关键词]对称性;高中数学;解题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0023-02

利用对称性解题，不仅能快速梳理解题思路，还可增强学生的解题能力.

一、对称美的表现

（一）杨辉三角的对称美

1   1

1   2   1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

1   5   10  10   5  1

1   6   15  20  15  6   1

…………

（二）公式的对称美

很多数学公式中的字母具有对称关系.例如完全平方公式、立方和公式：

[a+b2=a2+2ab+b2]，

[a3+b3=a+ba2-ab+b2].

在公式中，交换字母[a]和[b]，公式本身没有发生变化.

（三）图形的对称美

对称的几何图形有很多，比如平面中的等腰三角形、等腰梯形、圆、椭圆等，它们有些是轴对称图形，有些是中心对称图形.在空间中，球就是一个高度对称的几何体，还有正多面体，如圆台、圆锥等.

二、对称性在高中数学中的应用

（一）对称性在几何中的应用

如果我们能将球、圆、双曲线、椭圆、抛物线等的直观对称性应用到待解决的问题中去，就可以把陌生的、困难的问题转化为熟悉的、容易的问题，从而实现化难为易.

1.解决平面几何问题

[例1]如图1，A、B两点是双曲线[y=kx（k<0）]和直线[y=kx（k<0）]相互交汇的点，过A点，在y轴上作一条垂直线AC，并设交点为C，求[△ABC]的面积.

解：画出反比例函数图像，得到以原点为中心对称曲线，再画直线[y=kx]，使之过原点并与双曲线相交，得到A、B两点.基于反比例函数的对称性，A、B两点必然对称，故得到[OA=OB]，此时[S△AOC=S△BOC].

假设A的坐标是（a，b），则直线[AC=a] ，[OC=b]，

则[S△AOC= AC×OC÷2=ab2]，所以[S△ABC=ab].

求解该题时，若只关注交点，求解过程便会变得复杂.若能从双曲线的中心对称性出发寻找突破口，答案便显而易见了.

2.解决交点坐标问题

[例 2]取反比例函数[y=bx（b≠0）（ab>0）]与正比例函数[y=ax（a≠0）]，画出其函数图像.设交汇点为A、B，其中A点的坐标是（[6]，-2），求B点坐标值.

分析：求B点坐标时，不少学生都会选择将A点坐标（[6]，-2）直接代入正反函数解析式，得到a、b值，再创建方程组计算B点坐标值，但这种方法需进行大量的计算.若根据函数对称性，则B点坐标值可较快得出.

解：在坐标轴上画出正比例函数[y=ax]图像、反比例函数[y=bx]图像，得到两图像均具有原点对称特征，故而其交汇点A、B亦是原点对称.由此得B点坐标值为（-[6]，2）.

3.解决最值问题

[例3]已知M（3，5），在y轴取点Q，再在直线[l]：[x-2y+2=0]上取点P，三点连线形成[△MPQ]，求该三角形的最小周长.

分析：先按题意作图，找到点M，以直线l为中线，找到对称点[M1].同理，以y轴为中线，找到M的对称点[M2]，连线[M1M2]，与直线l交汇于P点，与y轴交汇于Q点.根据轴对称特性，结合平面几何形成条件可知此时[△MPQ]周长处于最小值.

解：如图2，以直线l为中线，找到[M（3， 5）]的对称点[M1（5， 1）].同理，以y轴为中线，找到对称点[M2（-3， 5）].连接M1M2，得到x+2y-7=0.

令[x=0]，直线 M1M2恰好和y轴交汇于点[Q0， 72 ].

联立方程组[x+2y-7=0，x-2y+2=0，]得到P坐标[52， 94 ].

点[P52， 94]、[Q0， 72]即为所求.

4.解决参数范围问题

从图像对称性切入，找到輔助变数，即参数，再将待求解或者待证明的关系式转变成参数关系式，计算各数，去除参数得解.

[例4]如果抛物线[y=ax2-1]和直线[x+y=0]相互交汇的点恰好对称，求解实数[a]的取值范围.

解：关于直线对称，则得到该点的对称点[A（-y0，] [-x0） ].由对称性可知，该点亦位于[y=ax2-1].

则[y0=ax02-1， ①-x0=a（-y0）2-1， ②]一定存在两组解，

①-②得

[y0+x0=a（x02-y02）]  一定有两个相异的解，

∵[y0+x0≠0]，

∴[a（x0-y0）=1]有解，

從而有[a[x0-（ax02-1）]=1]有两个不等的实数解，

即[a2x02-ax0-a+1=0]有两个不等的实数解，

∴[Δ=（-a）2-4a2（-a+1）>0]，

∵ [a≠0]，

∴ [a>34].

运用对称性来分析，避免了复杂的分析，从而使解题的思路更清晰，同时也简化了解题步骤，提高解题速度.

（二）对称在基本不等式中的运用

[例5]（1）若[x， y>0]，且[x+y=1]，则[x+1xy+1y]的最小值为            .

（2）已知正数[a， b， c]满足[a+b+c=1]，则[2a+1+2b+1+2c+1]的最大值为            .

分析：第（1）小题，如果直接用基本不等式，得到

[x+1xy+1y≥2x?1x?2y?1y=4].

答案是错误的.细心的学生会发现不等式成立的条件是[x=y=1].显然与已知条件[x+y=1]矛盾.那本题应该如何解答呢？

解：（1）利用基本不等式、对勾函数解题.

[x+1xy+1y=xy+1xy+yx+xy=xy+1xy+y2+x2xy=xy+1xy+（x+y）2-2xyxy=xy+2xy-2.]

又[∵xy≤x+y22=14]，由对勾函数性质知，当[xy=14]时，

[x+1xy+1y=xy+1xy-2≥14+214-2=254].

此处，用到基本不等式，当且仅当[x=y=12]时，等号成立.即当[x=y=12]时，[x+1xy+1y]有最小值[254].但是，如果一道填空题就花费大量的时间像做解答题一样来解，得不偿失.考虑到本题中交换[x]，[y]两个字母，题目并没有任何变化，从而它们是对称的，故当[x=y=12]时，[x+1xy+1y]有最小值[254].

第（2）小题，同样，当[a=b=c=13]时，[2a+1+2b+1+2c+1]有最大值[33].

（三）对称在概率中的运用

[例6]某企业放假3天，由员工甲、乙、丙轮流值班，各值班1天.甲值班时间早于乙的概率为            .

解析：此题为古典概型.求解前，可对员工甲、乙、丙进行排序，得到等可能的6种排序.其中，甲值班时间早于乙的排序有3种，所以得到概率为[36=12].从甲和乙的事件地位来看，可知甲在乙前、乙在甲前的概率一致，所以就值班排序整体而言，两者情形的概率均是[12].

（责任编辑 黄桂坚）