在合适的数学现实基础上打通“学路”

张玉华

一、填补断层，在自然衔接中打通“学路”

1.学生认知经验中的断层填补

奥苏伯尔认为：影响学习最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。教师要探明这一点，并应据此进行教学。例如，在学习《平行四边形的面积》之前，学生通过摆小正方形、数小方格的方式探究出了长方形的面积，而这样的学习经验将伴随着他们继续探究新的图形，所以教师应当关注学生学习经验前后的衔接，在探究平行四边形面积时，将方格图移入平行四边形，学生因为熟悉，所以会欣喜。此时未知的问题与以往的经验有了很好的衔接，认知的通道就此打通。接着学生的直观经验告诉他们：数小方格的方法适用于规则的长方形和正方形，面对不规则的平行四边形该怎么办？这是学生经验中的断层，填补这个断层教师只需要提供学习的素材和足够开放的思考空间，引导学生将平行四边形通过“割补”转化成长方形，这个过程是学生学习经验的发展和完善，也可以为其提供深层次建构的体验。这种以变化促进思考、以思考培育能力的学习机制，可以让学生真正产生有价值的探究。杜威曾说过：“教育，即经验连续不断的改造。”我们教师需要填补学生经验中的断层，关注学生经验，聚焦问题，引导学生进行深层次探究。

2.教师教学设计中的断层填补

教学设计是教师对教学内容、教学过程以及教学资源等方面所作出的统筹规划，经过协调安排后所形成的教学预设。一个优秀的教学设计关键在于是否能触发教与学之间的衔接点，瞄准学生学习的生长点。以《一一列举》的教学为例，为了激发学生原有的生活经验，达到对“一一列举”的初步感知，教师设计了以学生喜欢的投镖游戏作为导入：如果每人投一次（有10环、8环、6环以及投不中的），可能会得多少环？因为简单，学生轻轻松松列举出了所有可能。在学生还没“玩”够时，教师引出了例题：王大叔用22根l米长的木条围一个长方形花圃，有几种围法？教学时为突显有序思考，分三个层次展开：第一层，整理信息;第二层，有序列举。第三层，展示交流，体验有序列举的重要性。接下来，在验证交流环节时又设计了投镖游戏，如果“投中两次”，可能得到多少环？相比上课伊始的投镖情况相对复杂些，因为涉及了投中的两次可能是两次相同的环也可能是两次不同的环。学生虽然能用自己喜欢的方式列举所有可能。但是在两次投镖游戏中间插入一个例题，给人一种断层的感觉。笔者认为较好的做法是：游戏由简单到复杂连续“玩”下去，而且放手让学生去“玩”，也许他们会玩出别样的精彩，甚至能多视角、多形式地选择策略，解决问题，发展数学思维，从而对策略的认识更加科学化、深刻化。这样的课堂既有层次感，结构也完整，同时能帮助学生巧妙地打通学习之路。

二、深入体验，在合适情境中打通“学路”

儿童的潜能和经验是要通过他们自身的活动，在持續交互的动态情境和互惠、生长的“生态环境”中实现的。教师要关注学生的感受，尊重他们的独特体验。正如日本著名数学家米山国藏所说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在各阶段学习的数学知识在离校后不到两年，便会很快忘光了。然而，无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法……却随时地发生作用，使他们受益终身。”笔者以《图形的平移》一课的情境体验为例进行探究。

1.在认知冲突情境中激发探究欲望

上课伊始，笔者引出“蓝色点”在方格纸中的移动，学生在观察动画后准确地描述了点向左、向有、向上、向下等平移不同的格数，这个设计在轻松的对话中，拉近了教师和学生的距离，唤醒了他们原有的认知经验：只有把方向、距离两个要素说清楚，才能把点的平移表述完整，这为后面线段、图形的平移埋下了伏笔，找准了学习的方法。然后“红色点”加入，两点手拉手组成了一条线段，这时线段又变魔术般地平移了，“蓝色点”对“红色点”说“我在你前面，所以我比你平移的距离要远”，“红色点”不服气，可是又说不上理由。一段有趣的动画情境体验激起了学生的认知冲突，点燃了思维火花，还没等“两个点”争论完，学生急坏了，他们也争论起来了。

2.在思维碰撞情境中指导探究策略

郑毓信教授提出：从数学教学或数学教育过程来看，应更加强调通过数学帮助学生学会思维。这里的数学思维不是我们平常所说的一般的思考，它是一种更加上位、更加统整、更有超能的品性和习惯。学生的思维修养不仅仅表现在他所知道的数学结论上，更表现在他对数学思想的领会和潜意识的使用上。“可是两点带着线段平移了几格？”学生纷纷猜测。实践是证明结论的最好方法，学生根据线段随着两点也平移同样格数，逐渐探究得出：线段的平移只要看线段上对应的点，点会随着线段一起平移，这是难能可贵的发现。他们在思维碰撞情境中享受着数学探究的乐趣，体验着数学特有的魅力和内在的理性精神，这需要教者精铺巧设与智慧引领。

3.在问题解决情境中提升探究能力

“可是为什么要找这两个点而不找线段上其他点呢？”在问题情境的驱动下，教师顺势出示了小房子的平移，学生有的说向右平移了6格、有的说向右平移了7格。出于解决问题的需要，教师示意学生拿出准备好的小房子图用平移的方法检验：他们发现房子向右平移了5格，房子上的点也随着房子移动，而且找到了房子上的对应点以及对应线。学生思维在不断地交流与对话中趋于完整，思考力不断走向深层次：不管是房子上的点、线还是面，只要是小房子的一部分，它们都向右平移了5格。在问题解决的情境中学生很好地诠释了整体面的平移、局部面的平移、线的平移以及点的平移之间的关系，在合适的情境中巧妙地打开了学生智慧的大门。

三、整体感受，在迁移过程中打通“学路”

在课堂教学中，凡是学生能探索得出的，绝不替代。教师之为教，不在于全盘授予，而在于相机诱导。这个诱导需要教师在教学时多一些“系统”的眼光，多一些整体的考虑，把学科知识结构与学生的思维结构整合起来，形成一堂有结构的课，“教给”学生一种宏观视野，一种整体感受，一种思维本质，一种建构启示。如在《认识小数》一课前，学生知道了整数部分的计数单位依次往左拓展，10个一是1个十，10个十是1个百，10个百是1个千……反过来整数部分的计数单位往右延伸，比l小的数会是怎样的数？巧妙的迁移打通了学生对小数学习的需要，而且把10个0.1等于1的进率顺利推导出来，从而产生了10个0.01是0.1，10个0.001是0.01……然后把小数计数法中“满十进一”的规则也揭示了出来。这种整体感受的线性脉络将整数部分和小数部分之间的一个个关系串联起来，形成结构体系。

弗赖登塔尔说：“泄露一个可以由学生自己发现的秘密，那是坏的教学法，甚至是罪恶。”例如，在《直线、射线、线段、角》的教学中，我们充分承认学生“有限”的空间学习经验，着重在端点的认识和端点的作用处人手。然而“有限”的认知反而阻碍了新知的探究，学生对于“无限”的认识，还停留在有限思维的范围之内。这时教师需要将学生的认识引入有意义的现实中去，例如，汽车的前灯光、太阳射出的光线等让他们去发现射线，感知无限。而后，产生对线段一端无限延伸的需要，完成对“无限”的认知。并再次推进“无限”的进一步理解，通过让学生想象“假如线段中间的直线，突破了两个端点，向不同的方向延伸，这条线将会是一个什么状态？延伸到哪里？”这个关于“想象”的要求正是突破了“有限空间”的思维，迁移到了“无限空间”的领域。

上善若水，随物赋形。教学活动应顺应学生天性，在合适的数学现实基础上整合出学生“带得走”的知识结构和思维结构，由此产生情感和智慧的共鸣，打开一条优质化的学习之路。