在规律探究中学会数学思维

钱慧

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程。”从中我们可以知道，在数学学习中要让学生最大可能地去经历数学知识的发现、发展和掌握的过程，经历数学思维活动过程，逐步揭示数学知识的本质属性及内在联系，并产生新颖的想法，提出创造性的见解。探究就是当学生在具体的学习情境中，选取一些问题作为突破点，在内心燃起“愤”“悱”之想时，教师为学生提供充裕的时间和适当的空间，让学生独立或合作积极参与观察比较、猜想验证、交流反思等数学活动，进行感知、体验和发现知识的过程。在探究中，学生充分掌握数学知识的规律和本质，形成数学学习的方法和技能，发展学生的数学思维能力。下面以“探索规律”为例，谈淡如何在探索规律的过程中发展学生的思维。

一、观察比较，经历抽象过程

学生思维能力的发展是从感性知识开始的，而观察、比较、归纳、概括是学生感悟、发现知识的有效途径。探究规律的教学就是引导学生从形形色色具体形象的观察比较中抽取共同的本质特征，通过一系列的比较与区分、舍弃与概括的思维操作活动，发现共性，将共性的特点抽象成数学规律。在教学中，教师要引导学生经历抽象的过程，可以从具体的例子中抽象出本质，也可以从关联的数据中抽象出共性，帮助学生进一步积累抽象的经验，锻炼抽象的能力，逐步形成数学抽象思维。

例如，在苏教版数学五年级上册《钉子板上的多边形》一课的教学中，在探究规律时，教师引导学生观察多边形边上的钉子数越多，围成的平面图形的面积就越大。学生联系已有的知识经验提出问题：“钉子板上的多边形的面积与边上的钉子数有怎样的关系呢？”接着让学生观察、计算几个钉子板上的多边形的相关数据填人表格中。

在此基础上，教师引导学生观察、比较表中数据，并适当启发：“多边形的面积”与“边上钉子数”有什么关系？如果用S表示面积，n表示边上的钉子数，您能用一个数量关系表示它们之间的关系吗？像这样，学生不仅能够从变化的数据中抽象出不变的共性，即钉子板上的多边形边上的钉子数变了，围成的多边形的面积也变了，但是“S=n÷2”这一核心关系是不变的。

数学规律是数学抽象的产物，规律总是隐藏在现象之中，探究规律时要关注现象中隐含的特征和变化中不变的共性。学生通过观察、比较、分析，经历抽象的一般过程，感受抽象的主要特点，形成抽象思维。

二、猜想验证，发展推理能力

在生动具体的学习情境中，学生会围绕探究的问题，根据自己的数学经验，凭借自己的直觉，进行合情推理（或演绎推理），提出自己的猜想，并加以验证，又快又准地找到问题的答案。学生探究规律的过程离不开猜想和验证，而猜想、验证的过程又与类比、归纳、演绎等推理形式密不可分。学生通过对典型例子和具体数据的观察、比较、分析，建立某种猜想，就是经历由特殊到一般、由具体到抽象的归纳推理过程，再通过举例验证或分析验证做进一步的推想，促进思维水平的进一步提高。在此过程中，逐步增强学生的推理意识、发展推理能力，进一步感受数学推理的严密性，形成辩证思维。

例如，在苏教版数学五年级下册《和与积的奇偶性》一课的教学中，在探究“和的奇偶性”的规律时，教师引导学生“任意选两个不是0的自然数，求出它们的和，再看看和是奇数还是偶数”，并将列举的算式及其结果填入表格中。

在学生填表之后，教师先让学生列举和是偶数的加法算式，仔细观察，说说这些算式有什么共同之处，引导学生讨论交流初步建立猜想：偶数+偶数=偶数;奇数+奇数=偶数。接着，让学生继续列举和是奇数的加法算式，说说这些算式有什么共同之处，引导学生在讨论交流中再次建立猜想：偶数+奇数=奇数。学生建立猜想的过程其实就是简单的归纳过程，通过列举的一些加法算式，基于它们之间的共同特点推出一类算式也应具有这样的特点。

学生通过列举的几个例子归纳ILIJ猜想之后，教师实时提问：你能再举一些例子验证这些猜想吗？你能找到不符合这些猜想的反例吗？为什么两个偶数相加的和一定是偶数，两个奇数相加的和也一定是偶数，而一个奇数与一个偶数相加的和却一定是奇数？通过举例验证或分析验证，使相关猜想的可靠性得到增强，而且有助于学生感受由一般到特殊的演绎过程，发展学生的推理能力。

学生根据已有的知识经验建立起知识之间的内在联系，并根据显现的数据或现象经过独立思考后，做出一個合理的猜想，初步感知数学猜想中所隐含的数学规律。根据规律建构的一般原则，任何猜想必须进行严格的验证，可以让学生做出基于自己视角的证明或解释，让自己的猜想走向合理;也可以让学生列举更多的实例来完善自己的猜想，让自己的猜想走向实证。在猜想验证规律的探究推理过程中，学生的辩证思维不断得到完善。

三、交流反思，感悟模型思想

在探究规律的学习中，学生发现规律后需要对规律进行交流与反思。交流规律既是把发现的规律与别人分享，又是对发现的规律做进一步的抽象与概括。对发现的规律进行数学化表达的过程，可以看成把数学规律抽象成数学本质的过程，也可以看成简单的初步建模过程，在交流数学规律的过程中，让学生初步感悟模型思想。反思规律是在学生抽象jLIJ数学规律模型之后回顾一下规律探究的整个流程：我们是怎样发现并探究出这个规律的？让学生进一步检验探究规律过程的合理性，进一步理解规律的正确性，并大胆地说出自己发现的规律，理解规律的意义，让学生完整地感悟数学规律建立的模型思想。

例如，在苏教版数学四年级下册《多边形的内角和》一课的教学中，教师先组织学生讨论几种常见多边形的内角和的求法，并让学生在讨论中逐步认识到：可以先将一个多边形分成几个三角形，分得的几个三角形的内角和正好等于相应多边形的内角和。在此基础上，将得到的数据有序地呈现出来，并引导学生进一步观察、比较、分析，讨论如果四边形得内角和表示为“180°×2”，那怎样表示五边形、六边形的内角和？七边形、八边形呢？继而让学生讨论“多边形的边数”“分成的三角形的个数”“内角和”之间有什么关系？你能发现什么规律？学生讨论后交流规律，初步形成规律模型：任意一个多边形的内角和都是“边数减2的差”与180。的乘积。如果一个多边形的边数用字母n表示，那么你会用含有字母的式子表示多边形的内角和吗？引导学生用含有字母的式子将发现的数学规律用简洁的形式表示出来，深刻感悟规律模型。

学生探究出多边形内角和的计算规律之后，教师并没有进行巩固练习，而是进一步让学生回顾、交流、反思。一方面，让学生回顾一下这个多边形的内角和的计算规律我们是怎样探究出来的，理解“从简单的问题想起，有序思考”的探究规律的有效方法。另一方面，教师追问“n -2”所表示的含义，让学生更深入地理解“边数减2的差”就是一个多边形从一个顶点出发至少可以分成的三角形的个数，每个三角形的内角和是180°，分成几个三角形，相对应的多边形的内角和就有几个180°。学生在交流反思中更深刻地理解了多边形内角和计算规律的合理性。

在规律探究的数学活动中，教师根据学生不同的知识水平和思维特点，让学生将猜想验证发现的规律用合适的数学形式表达出来，并进一步回顾反思规律的学习探究过程，是对规律模型更高层次的数学概括，也是更加完整地为数学模型分析和解决问题打好基础。

在小学数学“探索规律”的教学中，教师要引导学生在探究情境中以积极的心态参与数学规律的探究过程，在观察比较中学会用数学的眼光抽象化问题，在猜想验证中学会用数学的头脑推理分析，在交流反思中学会用数学的语言表达数学模型。学生在一系列的探究活动中，数学思维从具体直观思维提升为富有经验的抽象思维，最终形成科学严密的辩证思维。教师要重视研究学生数学思维的特点，在教学中积极引导学生学会用数学思维解决问题，获得数学素养。

【参考文献】

[1]潘小福.学会思维：架起小学数学学科育人的桥梁[J].教育视界：智慧教学版（南京），2020（2）.

[2]张祖润.小学数学“探索规律”的意义、编排与教学策略[J]中小学教师培训，2017 （10）.

[3]谢凯.基于学生核心素养发展的数学思维培养策略分析[J].数学教学通讯，2020（7）.