平行四边形的折叠问题

2021-08-11刘顿

初中生学习指导·提升版 2021年5期

刘顿

平行四边形的折叠问题与其他图形的折叠问题一样，都是轴对称的应用，涵盖了三角形全等、勾股定理、图形变换、垂直、平行等诸多知识，其求解的关键是抓住折叠前后折痕两边的图形完全重合，即对应线段相等、对应角相等.下面，对平行四边形的折叠问题简单归类并解析，供同学们参考.

一、沿平行四边形的对角线折叠

例1 如图1，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC = 15°，求∠BOD.

分析：考虑到四边形ABCD是平行四边形，则有AD[⫽]BC，于是∠ODB = ∠DBC，由翻折可得∠OBD = ∠DBC = 15°，从而可求得∠BOD的大小.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD[⫽]BC，∴∠ODB = ∠DBC.

由折叠可得∠OBD = ∠DBC = 15°，∴∠ODB = ∠OBD = 15°，

∴∠BOD = 180° - 2∠OBD = 150°.

二、沿平行四边形的一个顶点与其对边上一点的连线折疊

例2 如图2，在[▱]ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B = 52°，∠DAE = 20°，求∠FED′.

分析：由平行四边形的性质得到∠D的度数，再利用三角形内角和定理和外角性质求得∠AEF，进而由翻折求得∠AED′，最后利用角的和差进行计算.

解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D = ∠B = 52°.

∵∠DAE = 20°，∴∠AED = 180°-52°-20° = 108°，∠AEF = 72°.

由翻折知∠AED′ = ∠AED = 108°，

∴∠FED′ = ∠AED′ - ∠AEF = 108°-72° = 36°.

三、沿一组对边上各一点的连线折叠

例3 如图3，折叠[▱]ABCD，使C与A重合，D落在D1处，折痕为EF，若∠BAE = 55°，求∠D1AD.

分析：由平行四边形和折叠的性质可得∠BAD = ∠EAD1，再利用角的和差求解.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD = ∠BCD，

由折叠的性质得∠EAD1 = ∠BCD，∴∠BAD = ∠EAD1，

∴∠BAD-∠EAD = ∠EAD1-∠EAD，

即∠D1AD = ∠BAE = 55°.

四、沿过平行四边形的一个顶点所在的直线折叠

例4 如图4，将[▱]ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点[D']处，折痕l交CD边于点E，连接BE.

（1）求证：四边形[BCED']是平行四边形.

（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2 = AE2 + BE2.

分析：（1）由折叠得到对应角相等，再转化为同位角相等，∠D = ∠A[D']E = ∠ABC，进而得到E[D'][⫽]CB，根据两组对边分别平行，可知四边形[BCED']是平行四边形.（2）要证明AB2 = AE2 + BE2，只需证明∠AEB = 90°，利用互补的邻补角的平分线互相垂直易证得结论.

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB[⫽]CD，∠D = ∠ABC，

由折叠知∠D = ∠A[D']E，∴∠A[D']E = ∠ABC，∴[D']E [⫽] BC.

∵AB[⫽]CD，∴四边形[BCED']是平行四边形.

（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE = ∠D'BE.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD[⫽]BC，∴∠DAB + ∠CBD' = 180°.

∴∠EAB + ∠EBD' = [12]（∠DAB + ∠CBD'） = 90°，∴∠AEB = 90°，

∴△AEB是直角三角形，∴AB2 = AE2 + BE2.

五、沿平行四边形一个顶点与其对边的连线折叠，同时沿一组邻边上各一点的连线折叠

例5 如图5，将平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使E，B′，C′在同一直线上，求∠AEF.

分析：利用翻折和平角定义易得组成∠AEF的两个角的和等于平角的一半，可得所求角的度数.

解：根据折叠的性质，可知△ABE ≌△AB′E，△CEF ≌△C′EF，

∴∠AEB = ∠AEB′，∠CEF = ∠C′EF.