侧向载荷作用下的T型加筋板梁柱屈曲载荷-端缩曲线修正

陈雨哲，王德禹

(1.上海交通大学 海洋工程国家重点实验室，上海 200240；2.上海交通大学 高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海 200240)

0 引 言

船体梁极限强度是船体结构抵抗整体崩溃的最大能力，准确评估船体梁极限强度对于船体设计有着重要意义。目前，船体梁极限强度的计算方法主要有3 类：非线性有限元法、逐步崩溃法以及理想结构单元法。其中，逐步崩溃法（Smith 法）的核心思想是将船体舱段横剖面分为板单元、加筋板单元和硬角单元，根据各类单元的载荷-端缩曲线，通过力平衡准则迭代找到每一曲率下的中和轴位置，计算得到整个舱段的弯矩-曲率曲线，从而得出船体梁的极限弯矩[1]。Smith 法具有操作简单、耗时短、准确性较高的优点，被多种规范采纳，作为计算船体梁极限强度的重要方法之一。

符合实际情况的单元载荷-端缩曲线是确定剖面中和轴准确位置的基础，对Smith 法的计算精度有着重要的影响。确定载荷-端缩曲线的方式通常有3 种[2]：解析求解；数值计算；模型试验。目前的HCSR 规范中规定的载荷-端缩曲线并未考虑侧向载荷的作用，而侧向载荷是船体结构所受的常见载荷之一，比如货物、设备的重力以及水压力，且侧向载荷与轴向载荷的联合作用，会对加筋板的载荷-端缩曲线产生明显影响[3]，因此对载荷-端缩曲线进行修正有着重要意义。

Paik 等[4]研究了加筋板在轴向载荷、面内弯矩以及侧向载荷联合作用下的极限强度，并将计算结果和试验结果进行了对比，证实了提出公式的有效性。Shanmugam[5]对受单轴压缩和侧向载荷联合作用下的加筋板极限强度进行了模型试验研究和数值计算，得出对于此联合作用下的加筋板，板柔度系数 β的增大会引起加筋板极限承载能力下降的结论。

对于仅受轴向压缩的加筋板的极限强度，Zhang和Khan[6]提出一种半解析的经验公式形式（见式（1）），并给出了梁柱柔度系数λ<2时的钢制加筋板轴向压缩临界应力公式（见式（2））。

式中，r为梁柱惯性半径，I为加筋板横剖面的惯性矩，Z0为加筋板横剖面的形心高度，定义式分别如下式：

对于受轴向压缩和侧向载荷的钢制加筋板，Xu[7]提出一种经验公式形式（见式（8）），设定3 种侧向压力，即0 MPa（对应0 m 水压），0.1 MPa（对应10 m水压）和0.2 MPa（对应20 m 水压），计算了1 296 个加筋板算例，拟合得到了不同种类加筋板对应的X0,X1,···,X10随水深h变化的表达式。

目前学者采用的有限元模型大部分为加筋板板架，考虑了相邻结构对加筋板的影响，而Smith 法中基本假设之一是各单元无相互作用且变形独立[8]，因此，本文采用单个加筋板作为研究对象，减少相邻单元对加筋板载荷-端缩曲线的影响，使得到的载荷-端缩曲线修正公式更适用于Smith 法。另一方面，目前学者得到的载荷-端缩修正公式大多仅针对临界应力进行修正，而侧向载荷还会同时影响临界应变，本文将从临界应力和临界应变2 个方面入手，对HCSR 规定的T型加筋板梁柱屈曲状态下的载荷-端缩曲线进行修正。

1 计算模型介绍

1.1 模型参数

本文选择T 型加筋板作为研究对象，共建立192个T 型加筋板模型，材料采用理想弹塑性模型，加强筋建立在短边中心处，加筋板参数如表1 所示（若无特别说明，其余章节中参数符号含义均与表1 相同）。

表1 加筋板模型各参数含义以及算例参数值汇总Tab.1 Parameter meaning and value of stiffened plate model

等效屈服强度σYeq定义式如下式：

Do[9]统计出船体加筋板的长宽比通常在5～6 之间，因此在设计模型参数时，取加筋板长宽比为5。Zhang[6]统计了12 个油船和10 个散货船的设计数据，总结出典型船体板柔度系数及梁柱柔度系数的分布范围，其中板柔度系数多分布在1～2.5 之间，而梁柱柔度系数多分布在0.25～0.95 之间。本文通过调整加筋板几何参数，得到4 种不同的板柔度系数：1.173 1，1.466 4，1.955 2，2.323 4，以及分布在[0.306 7，1.024 0]之间的一系列梁柱柔度系数，与船体加筋板统计得到的分布范围基本一致。

1.2 载荷与边界条件

边界条件是影响加筋板载荷-端缩曲线的重要因素，实际情况中，加筋板的边界条件介于简支与固支之间，类似弹性支座，计算时采用简支边界更为保守[10]。

综合考虑Smith 法的基本假设和船体板的实际情况，对加筋板施加边界条件（见表2），加筋板各点编号如图1 所示。其中Ui代表沿i方向的平动自由度，Ri代表绕i轴的转动自由度，‘0’代表对应自由度被约束。

表2 加筋板边界条件Tab.2 The boundary condition of stiffened plate model

图1 加筋板节点编号示意图Fig.1 Diagram of stiffened plate node number

考虑Smith 法中各单元应保持相互独立，以及船体加筋板具有连续性，在加筋板的A1-B1，A2-B2边上应保持Rx=Rz=0。由于加筋板为轴向压缩，应约束y方向上的位移，因此在A1-B1，A2-B2边施加对称边界条件（Uy=0，Rx=Rz=0）。在短边（A1-A2，A3-A4，A5-A6，B1-B2，B3-B4，B5-B6）上施加轴向压缩位移载荷，并约束y方向与z方向的位移，以及x方向的转角。

为对比不同侧向载荷对加筋板载荷-端缩规律的影响，对每一个模型，依次施加大小为0，0.05 MPa，0.1 MPa，0.15 MPa，0.2 MPa 的均布侧向载荷，分别对应0 m，5 m，10 m，15 m，20 m 深度的水压，侧向载荷方向由无加强筋一侧指向有加强筋一侧，施加范围为整个带板面。

1.3 初始缺陷

初始缺陷会对加筋板的破坏模式和临界载荷产生显著影响，在梁柱屈曲破坏模式中，通常采用3 种初始缺陷[4]：对带板单元节点施加式（10）所示的带板屈曲和梁柱屈曲型初始变形，对加强筋单元节点施加式（11）所示的梁柱屈曲型初始变形，以及如式（12）所示的侧倾初始变形。

式中，A0=0.1β2t，B0=0.001 5a，C0=0.001 5a，m为板屈曲半波数，定义为满足a/b≤的最小正整数。

采用MSC Patran 软件对加筋板模型添加初始缺陷，初始变形示意图如图2 所示。

图2 加筋板初始变形示意图（变形放大10 倍）Fig.2 Diagram of initial distortion of stiffened plate model（Deformation magnified 10 times）

2 载荷-端缩曲线修正

2.1 有限元法计算结果

采用参数化建模方法，利用MSC Patran 建立加筋板模型，施加初始变形场；利用Abaqus 设置边界条件，计算模型在不同侧向载荷作用下的支反力-位移曲线，从而得到不同侧向载荷作用下模型的载荷-端缩曲线。将非线性有限元法计算得到的临界载荷和临界端缩量换算为临界应力和临界相对应变，并以无侧向载荷时的临界应力和临界相对应变作为标准值，进行无因次化处理，计算结果如图3 和图4 所示。

图4 不同侧向载荷作用下无因次化临界应变有限元法计算结果Fig.4 Dimensionless critical strain results of stiffened plate model under different lateral loads by finite element method

2.2 拟合公式

固定板柔度系数 β和侧向载荷LP 后，各加筋板模型无因次化临界应力σu/σu0和无因次化临界相对应变εu/εu0与梁柱柔度系数λ呈现高度相关性，以β=2.323 4的48 个模型的无因次化临界应力为例，选用三次多项式进行拟合，拟合结果如图5 和图6 所示。

图5 σu/σu0 关于λ 拟合公式示意图Fig.5 Diagram of the fitting formula about σu/σu0 and λ

图6 εu/εu0 关于λ 拟合公式示意图Fig.6 Diagram of the fitting formula about εu/εu0 and λ

对临界应力和临界应变分别采用式（13）和式（14）进行拟合。不同 β和LP 对应的拟合修正公式系数如表3 和表4 所示。其中，表3 数据为临界应力修正公式系数p1−p4，表4 对应临界应变修正公式系数p5～p8，R2为各拟合公式与数据点的相关系数。可以看出，加筋板的临界应力及临界应变与梁柱柔度系数呈高度相关性。

表3 不同板柔度系数和侧向载荷对应的临界应力拟合修正公式系数Tab.3 Coefficients of critical stress fitting correction formula corresponding to different plate slenderness ratio and lateral loads

表4 不同板柔度系数和侧向载荷对应的临界应变拟合修正公式系数Tab.4 Coefficients of critical strain fitting correction formula corresponding to different plate slenderness ratio and lateral loads

将板柔度系数 β和侧向载荷LP 视为自变量，系数p1～p8视为因变量，采用式（15）所示的拟合公式形式对样本点进行拟合，拟合示意图如图7 和图8 所示。拟合公式的参数p00,p10,p01,···,p03数值如表5 所示，表中R2为拟合公式与数据点的相关系数。

图7 临界应力修正公式系数p1～p4 关于β 和LP 拟合结果Fig.7 The fitting results of coefficients of the critical stress correction formula about β and LP

图8 临界应变修正公式系数p5～p8 关于β 和LP 拟合结果Fig.8 The fitting results of coefficients of the critical strain correction formula about β and LP

2.3 T 型加筋板梁柱屈曲载荷-端缩曲线修正公式

对于组成船体梁横剖面的普通加筋板单元的梁柱屈曲，HCSR 中描述其的载荷-端缩曲线方程如下式[2]：

εE为单元应变，根据单元自身中和轴位置、船体横剖面中和轴位置和曲率计算得到；εY为单元达到屈服应力时的应变：

式中：σC1为临界应力，N/mm2，计算式如下式：

式中：σE1为欧拉柱子应力，N/mm2，计算式如下式：

式中：IE和AE分别为带板宽度为bE1的扶强材惯性矩和净剖面积，cm4/cm2；bE1为根据相对应变修正后的有效带板宽度，m，计算式如下式：

式中：bE为扶强材连接的有效带板宽度，m；b为扶强材间距（本文中与板宽相同），m；bE1计算式如下式：

根据此载荷-端缩曲线方程，可以通过相对应变ε求得对应的应力σCR1，从而求出加筋板单元在梁柱屈曲状态下的载荷-端缩曲线。

按照给出的修正公式形式和修正公式系数，对HCSR 规定的加筋板梁柱屈曲载荷-端缩曲线进行修正，修正公式如下式：

式中：f1(LP,β,λ)=p1λ3+p2λ2+p3λ+p4；将加筋板载荷-端缩曲线各计算公式中的相对应变ε均替换为ε′，ε′=ε/(p5λ3+p6λ2+p7λ+p8)。其中p1～p8为β和LP的函数，计算式如式（25），对应的参数p00,p10,p01,···,p03按照表5 选取。

表5 p1～p8 关于β 和LP 的拟合公式参数表Tab.5 Coefficients of fitting formula about p1～p8 corresponding to β and LP

2.4 算例验证

为验证修正公式的有效性，分别采用修正公式和非线性有限元法计算8 个加筋板模型，加筋板几何参数如表6 所示。材料采用理想弹塑性模型，屈服极限为315 MPa，弹性模量为206 000 MPa，加强筋设立在短边中心处，初始缺陷、边界条件和载荷按照2.2 节与2.3 节设置。

表6 加筋板算例几何参数（mm）Tab.6 Geometric parameter values of stiffened plate model

将修正公式和非线性有限元法的计算结果进行比较，如表7 所示。表中数据为无因次化临界应力和无因次化临界应变，LP1～LP4依次代表施加0.05 MPa，0.1 MPa，0.15 MPa，0.2 MPa 的侧向载荷。从表中可以看出，按照修正公式得到的计算结果与按照非线性有限元法计算结果的相对误差在10%以内，说明本文得到 的修正公式有效。

表7 修正公式与有限元法计算结果对比Tab.7 Comparison of the results by the modified formula and the finite element method

3 结 语

为计入侧向载荷对Smith 法中加筋板单元载荷-端缩规律的影响，采用数值仿真方法，计算192 块T 型加筋板模型在不同侧向载荷和纵向压缩载荷作用下的载荷-端缩曲线，根据计算结果拟合得到临界应力和临界应变的修正公式，对HCSR 规定的T 型加筋板梁柱屈曲状态下的载荷-端缩曲线进行了修正，得到以下结论：

1）侧向载荷对T 型加筋板梁柱屈曲状态下的载荷-端缩曲线具有显著影响，较大的侧向载荷（LP<0.15 MPa）可使柔度系数较大（β>1.95,λ>0.6）的加筋板极限承载能力下降40%以上。

2）对于柔度系数较小（β<1.45,λ<0.5）的T 型加筋板，由于无侧向载荷时加筋板的弯曲方向和侧向载荷的方向相反，加筋板的临界端缩量随侧向载荷的增加呈现先增大后减小的趋势，拐点通常出现在LP=0.05 MPa～0.1 MPa 范围内；当β与λ增大时，拐点对应的侧向载荷值减小。

3）当β≤1.45,λ≤0.4,LP≤0.1MPa时，侧向载荷对T 型加筋板梁柱屈曲状态下的临界应力影响较小，在5%以内。