稀疏假设下双频功率放大器的建模与预失真

高明明，崔舒扬，房少军，南敬昌

(1.辽宁工程技术大学 电子与信息工程学院，辽宁 葫芦岛 125105；2.大连海事大学 信息科学技术学院, 辽宁 大连 116026)

0 引 言

在功率收发器中，现代无线通信效率的线性与放大器之间的折衷促使人们对高效发送器结构的线性化方案产生兴趣[1]，数字预失真(digital predistortion，DPD)是最流行的技术之一。另一方面，基于宽带码分多址(wideband code division multiple access,WCDMA)和正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)的标准在当前和未来无线领域的使用趋势与数字通信对带宽增加的需求有关。很明显的例子是长期演进(long term evolution,LTE)信号、LTE高级和第2代地面数字视频广播(digital video broadcas，DVB-T2)标准。正交频分复用信号的特点是在10～12 dB范围内的高峰均比(peak-to-average ratio，PAR)，这给用DPD实现线性化带来了挑战。所有这些都促进了对功放行为建模的研究，以对抗非线性记忆效应[2]。近年来,稀疏表示理论在信号处理、图像处理和计算机视觉等领域引起了广泛关注。很多研究人员提出了基于稀疏模型的算法,从不同视角对稀疏表示进行分类。例如，文献[3]针对无线传感器网络的部分采集异常数据问题，提出了2类无线传感器网络的异常数据模型，以及相应的基于分布式压缩感知的异常数据处理方法，通过协同的多个传感器进行数据压缩采样。文献[4]提出将字典学习技术引入到ISAR稀疏成像中,以提升目标成像质量，以解决稀疏ISAR成像方法的成像质量受到待成像场景的稀疏表示不准确的限制。文献[5]把压缩感知与预失真技术结合起来，提出一种高效的基于Dice系数匹配准则的稀疏自适应匹配跟踪算法,用于对卫星通信系统中功率放大器数字预失真模型的冗余项进行删减。本文提出一种利用H元素的稀疏性来获取基带离散时间全Volterra(full Volterra,FV)模型核子集的简单方法，该模型与输入输出波形具有最佳匹配性。这一领域的相关工作涉及通过L1范数最小化来求解模型系数[5]的不同形式的凸优化，例如在文献[6]中将最小绝对收缩和选择算子应用到一个记忆多项式(memory polynomial,MP)模型，在文献[7-8]中扩展到多输入多输出放大器，或采用压缩采样匹配跟踪算法来设计PA预失真器。该方法基于次优方法估计活跃核的支持集，并采用贝叶斯信息准则(bayesian information criterion,BIC)避免过拟合。

最近，BIC规则也在文献[9-10]中得到应用。文献[9]提出的方法基于MP模型，因此，它使用完整Volterra基函数的预定义子集。借助模拟退火算法，计算出MP模型的所有可能变量，并应用BIC方法选择模型阶数和记忆深度。该方法在核相关系数的选择上更为灵活，并且提出一个递归过程，其中候选模型的基函数将自动选择作为后续模型的一部分，从而减少了总计算量。在文献[10]中，BIC方法的初步版本被用于由弱非线性系统和静态非线性系统组成的级联DPD的动态部分中。

本文提出一种简便的双频功放建模与预失真的改进方法。这个方法基于Volterra级数核系数的稀疏性假设，结合最大似然估计和最佳模型确定的信息准则，并且在选择活跃系数时结合了贪婪算法。最后，对此新方法进行了双频功放的测试与仿真，仿真结果良好。

1 Volterra级数

一般的动态非线性可以用Volterra级数表示。在PA或其逆系统中， FV模型与输入复包络x(k)和输出y(k)有关，对于被截断为q样本的记忆深度和2p-1的模型阶数，用归一化为单位功率的回归量表示为

(1)

(2)

(2)式中，E(·)代表期望算子。考虑到Volterra模型的系数是线性的，可以将(1)式改写为矩阵形式

y=X·h+e

(3)

FV模型的一个重要缺点是，随着记忆深度和非线性阶数[3]的增加，系数的数量急剧增加，因此，在数字预失真器的实际实现中并不常见。这个问题的一个解决方案是采用修剪策略来选择回归量的一个子集。基于Volterra的行为模型通常是通过使用一个特别的修剪过程来定义的[4]，但不能保证被忽略的回归量在动态非线性结构中起着微不足道的作用。(3)式的求解通常是通过计算核向量的最小二乘估计来完成的。

(4)

(4)式中，上标H表示厄米提安转置算子。一般来说，可以假设噪声过程是平稳的和高斯的。

2 核的稀疏度

当有关于解的结构的额外信息时，(4)式中所有回归系数的估计量通常不再是最优的。由于核系数(nmax)的几何增长率随记忆深度和模型阶数的增加而增加，假设核解是稀疏的，在h∈C的系数中只有少数(n≪nmax)是活跃的，可以认为是相当合理的。如果活跃系数是先验的，那么最优解仍然具有LS估计的形式，但只适用于活跃系数。然而，一般来说，非零系数是未知的，取决于研究中的具体功放。

在变换域中对观测结果的稀疏表示的恢复一直是压缩感知(compressed sensing,CS)领域的一个活跃研究课题[11]。问题可以表述为

min‖h‖0

s.t. ‖y-Xh‖2≤εM

(5)

已经提出了几种用于获得活跃系数子集估计的CS技术。基追踪[12]最小绝对收敛和选择算子[13]通过L1范数最小化求解(5)式中的L0范数。一些贪婪的方法，能够通过尝试迭代估计活跃系数支撑集，从而大大降低计算的复杂性。这就是正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit,OMP)[14-15]算法，是对匹配追踪方法的改进[16]。

压缩传感中稀疏矢量恢复的鲁棒性与测量矩阵X的有限等轴特性有关[17]。此条件是防止稀疏向量属于空集的最坏情况描述，因此过于极端。

本文采用OMP技术来估计核向量的稀疏元素。由于在文献[14,15,18]提出了OMP方法并且用于真实信号，这里描述了OMP方法对复杂信号的具体实现，OMP算法迭代过程具体见算法1。

算法1 OMP算法迭代过程

要求nmax>0

a)：r(0)←y,S(0)←{}

b)：forn=1 tonmax

d)：S(n)←S(n-1)∪{i(n)}

h)：end for

(6)

在此例子中，X{i}的元素已经被幂归一化，因此，‖X‖{i}是不变的。 因此，可以通过使基矢量的相关性的绝对值与先前迭代的残差最大化来简单地获得使(6)式最小化的指数i(n)，表示为

(7)

将所选择的索引合并到活跃系数S(n)的支持集合中，并且将这些系数的最大似然估计存储在向量h(n)中。通过从观测值y中减去预测y(n)来计算新的残差r(n)。然后，重复该过程，直到达到活跃系数数量的上限n，或直到残差的范数低于噪声容限阈值。

3 模型选择

为了确定合适的回归量，使用贝叶斯信息准则，也就是Schwarz准则[19]。

进行地铁纵向的施工过程中，需要施工人员采用混凝土来给地铁的隧道两侧采取分段的浇筑，分段浇筑的过程会给接缝的位置留有凹槽，若凹槽有水的情况就会造成膨胀，导致有裂缝的发生，严就会造成渗漏水的问题。另外，出现裂缝的还有一个因素就是，地铁隧道混凝土结构中由于钢筋封条质量次或者老化出现了损坏和脱落，进而出现了裂缝，造成渗漏水的问题。与此同时，在地铁建设中会在两侧设置止水带，如果止水带的施工质量没有按照施工的标准也会出现裂缝，导致渗漏水问题。

(8)

该表达式通过最大似然估计(ML)实现最大化

(9)

(10)

参数ML估计的一致性和渐近有效性从概率的角度证明了这一点。然而，选择最大化识别参数训练数据可能性的模型不是最佳模型选择过程。当(8)式中的估计被(9)式和(10)式替换时，得到ML值

(11)

模型中包含的解释变量越多，训练误差b的方差越小。然而，对于看不见的数据而言，最大化可能性的模型的泛化能力将会很差，这种现象被称为过度拟合。为了防止这种情况的发生，采用了BIC规则来筛选过多的参数。在一些通常需要足够大样本或足够高信噪比的规则条件[20]下，BIC准则逐渐逼近最优最大后验概率选择规律

(12)

(13)

(13)式中，BIC(n)表示为

(14)

(15)

为了能够应用(13)式中的选择规则，首先需要重新构造复杂回归问题

(16)

进入等效的真实回归问题

(17)

(18)

(19)

(20)

4 新型欠采样预失真模型结构

传统双频数字预失真系统结构如图1。在传统的预失真结构中，转换器的采样率要求较高，由于功放本身固有的非线性会导致频谱扩展，若互调失真只考虑3阶、5阶，根据Nyquist采样定理，ADC采样速率至少需达到基带输入带宽的6倍、10倍才可以无混叠获得3阶和5阶无失真的完整信号，对于现实A/D模块的硬件实现及电路成本是个挑战。若输入双频信号，采样率与功放输出信号频带宽度、各个波段间隔皆有关系，功放输出端的采样带宽需达到(f2-f1)+5×1.2max(B1,B2) MHz方可得到完整信号，其中，max(B1,B2)表示双频频带的较大值。因此，为提升预失真效果并降低采样率，本文利用一种高精度重构遗失5阶及高阶信号的欠采样数字预失真系统，即在预失真反馈回路利用压缩感知采样。在信号重构过程中采用由于计算复杂度较低而应用最广泛的OMP算法，在应用中发现当信号稀疏性较差或者数据量较大时， OMP算法的重构效果并不理想，运行时间也较长，针对这一问题，本文在OMP重构算法的基础上进行调整，在每次迭代时选取多个最大相关的原子列更新支撑集，减少迭代次数。从仿真结果看出，该算法适用于双频信号欠采样的重构，可提高信道反馈的重构精度，并显著缩短重构时间，整体欠采样双频预失真结构如图2。用这种方法不仅利用压缩感知特性降低采样率，还提高重构信号精度，提升系数估计权值，改善预失真效果。

图1 传统双频数字预失真系统结构Fig.1 Architecture of traditional dual frequency digitalpredistortion system

图2 整体欠采样双频预失真结构图Fig.2 Overall undersampled dual-frequency predistortion structure

整体欠采样双频预失真系统主要组成可分为双频分段线性函数记忆效应补偿器和欠采样重构反馈回路部分。其中，预失真模型为简化的分段线性预失真模型。另一部分主要将基于调制宽带转换器的自适应稀疏重构算法应用于预失真系统反馈回路。即在预失真反馈回路先进行调制宽带转换器双频采样处理，然后利用OMP重构5阶交调信号。结构中功放的输入信号Yn等分为2路。一路信号Xn(1)进入双频功率放大器。另一路利用OMP算法，将并发双频功放的输出信号重建为欠采样前包含遗失带外高阶交调信号的原信号Xn(3)。定义P为高斯矩阵，Yn(2)为欠采样输出矢量，Yn(3)为重建后5阶矢量，该算法主要在稀疏度未知的情况下，自适应估计稀疏度从而实现高精度重构。本文针对双频主信号、5阶及带外高阶交调信号，将信号融合理解为压缩感知问题，在预失真学习结构反馈回路利用调制宽带转换器采样、OMP算法重构出完整信号。不仅降低了预失真中模数转换器的采样率，还提高带外5阶信号的重构精度，降低因遗失5阶等高阶信号对辨识算法中权值最小均方解产生的影响，改善预失真效果。

5 测试结果

鉴于当前发射机架构的多样性和相关PA的非线性特性，以及无线通信标准所使用的信号带宽，波形和调制，DPD方法需要在不同非线性条件的PA和输入信号下进行测试。为了评估将BIC规则应用于OMP算法对于功放预失真的可行性，进行了MATLAB(matrix laboratory)& ADS(advanced design system)联合仿真，功放选取的F类功放(Vds=28 V,Vgs=-5 V)均值输出功率约为32 dBm，效率为44.2%。输入信号为中心频率在2.61 GHz的WCDMA信号和中心频率在2.69 GHz处的LTE信号，信号带宽皆为20 M。自适应算法采用最小二乘(recursive least square，RLS)算法。仿真平台如图3。

图3 欠采样数字预失真仿真平台Fig.3 Under-sampling digital predistortion simulation platform

为了使系数复杂度不过高，并根据记忆衰落假设[21]，将Volterra模型阶数设置为13，线性响应的最大延迟，记忆长度为9阶，高阶无记忆非线性。

图4表示了所提出的CS方法的收敛性，以下简称“2D-CS-DPD”。对于标识数据集，与最大活跃系数相比，根据系数个数与归一化均方误差(normalized mean square error,NMSE)在模型线性化信号输入输出的关系曲线可以看出，当活跃系数的最大数量设置为30以上时，系数从79减少到42[22]，这意味着复杂性显著降低。

图4 2D-CS-DPD的NMSE和最佳系数数量变化曲线Fig.4 Number of NMSE and optimum coefficient of 2D-CS-DPD

5.1 预失真模型对比分析

一旦DPD的内核被识别为模拟DVB-T2发射器的测试信号，就获得了PA输出处完整信号的测量光谱，图5表示了DPD在信号再生方面的作用。在2D-FV，2D-MP和2D-CS这3种方法中，几乎都实现了线性化。DPD输入信号，即通过文献[22]产生的参考信号是直接通过PA测量的，用于对比分析，并绘制在同一图中以证明完成的线性化程度。当应用2D-CS-DPD时，对于下部和上部相邻信道，相邻信道功率比(adjacent channel power ratio,ACPR)水平分别从-34.6 dBc降低到-48.7 dBc，从-35.23 dBc降低到-49.88 dBc。正如预期的那样，2D-FV-DPD也表现出与第1和第2相邻信道相似的性能。为了便于模型性能的对比，对2D-MP模型也同样进行了测试。测试结果如图5，据图5可知，提出的双频数字预失真模型2D-CS优于基于多项式的2D-MP，2D-FV模型，大幅度降低了原功放输出的频谱扩展现象，达到了较优的线性化效果。

图5 f1，f2频率CS算法与传统算法的频谱比较Fig.5 Comparison of the predistortion spectrum of eachmodel at f1, f2 frequency

为了评估所研究的PA的整体性能，表1为预失真模型2D-MP,2D-FV,2D-CS的输出功率,ACPR,NMSE,调制误差率(modulation error rate,MER)以及多项式系数等性能比较。并发双频功放经线性化前ACPR为-35.13 dBc，采用本文提出的双频稀疏重构预失真结构后，ACPR较初始改善了约15 dBc。2D-CS预失真比2D-MP预失真的模型计算多项式系数数量减少了48，与2D-FV预失真相比，2D-CS预失真器的复杂性显著降低，2个频带仅使用2D-FV-DPD所需的79个系数中的42个即可实现线性化。在不同预失真模型中，使用NMSE将接收机中的采样信号与理论参考进行比较，以评估补偿后的残余失真，2D-CS模型的NMSE性能比其他3种模型提高了约2～3 dB。MER也显示了PA的成功线性化，MER是DVB标准中用于评估带内损耗的常用品质因数[23]。综合对比可知，2D-CS的线性化性能优于2D-MP与2D-FV。

表1 不同预失真模型的ACPR和NMSE的性能及参数个数对比Tab.1 Performance and number of parameters of ACPR and NMSE with different predistortion models

为验证所提方法在功放线性化系统中的有效性，在相同信号反馈采样率情况下，对输出信号的AM/AM特性与AM/PM特性进行仿真，结果如图6和图7。这里引入了对比分析，可见传统预失真方法在采样带宽小于信号带宽的情况下具有明显的弥散失真现象。当输入信号幅度较小时，曲线的展宽程度较大，表示记忆效应较明显，即当前信号受之前输入信号的幅度、相位影响较大。

图6 双频功放AM/AM特性Fig.6 AM/AM characteristics of dual-frequency amplifier

图7 双频功放AM/PM特性Fig.7 AM/PM characteristics of dual-frequency amplifier

5.2 与传统预失真效果对比分析

采用本文基于压缩感知的自适应重构预失真结构后，功放在f1频率下，非线性奇数阶的输入输出信号星座如图8，图8b中未引入预失真时输出信号星座图具有严重失真，传统预失真图8c虽对畸变有明显补偿，但与本文提出的欠采样预失真方法图8d相比，由于对5阶信号精确重构，更加精准地描述了功放特性，本文所提方法的输入输出信号星座图达到了很好的一致性。

图8 不同预失真星座图Fig.8 Different pre-distortion constellations

6 结 论

本文提出了一种基于完整Volterra模型的灵活方法，用于改进功率放大器的行为建模和预失真。该方法利用随机样本中的测量矩阵的设计和内核系数的稀疏性假设。在输入信号中心频率为2.61 GHz的WCDMA信号和中心频率为2.69 GHz的LTE信号驱动下，对双频PA进行预失真性能测试，所提出的方法成功地减少了输入信号在系统中的非线性损耗。此外，在不降低FV性能的情况下，对于DPD在复杂性方面的实现有较大难度，CS框架下的欠采样方法获得的系数数量的减少证明是可行的DPD方法。本文已经针对FV模型进行了说明，可以直接扩展到任何行为模型，只要模型结构在核系数中是线性的，就可以用LS估计来识别。文章最后使用双频功放进行的双频带预失真仿真测试实验结果说明，所提出的技术在不牺牲线性化性能的情况下，具有降低数字预失真器复杂度的潜力，成为DPD自动修剪有前途的方法。