二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度

脱倩娟 吕纪荣

【摘要】二维连续型随机变量（X，Y）的边缘分布函数与边缘概率密度，能够全面地描述二维连续型随机变量（X，Y）的分布规律，是概率论与数理统计的重要组成部分.若不理解相关概念和性质就盲目求解边缘概率密度与边缘分布函数，对于学习者而言具有一定的难度.因此，本文按照题型，从求解边缘概率密度与边缘分布函数两个方面，分别归纳和总结了不同条件下的解题思路和方法.

【关键词】二维连续型随机变量;边缘分布函数;边缘概率密度

二维连续型随机变量（X，Y）作为一个整体，比一维的情况更复杂一些，它不仅与两个随机变量有关，还依赖于它们之间的相互关系[1].求解边缘分布函数与边缘概率密度的题目时，总是预先给定联合概率度f（X，Y）或者联合分布函数F（X，Y）.其中，联合分布函数F（X，Y）有三种不同的含义：概率中，表示联合概率密度为f（X，Y）的二维随机变量在区域Dxy=（-∞，x]·（-∞，y]上的概率;几何中，表示以曲面f（X，Y）为顶，以Dxy为底的曲顶柱体的体积;物理中，表示面密度为f（X，Y）的平面薄片在区域Dxy上的质量.总之，边缘分布函数与边缘概率密度均是函数，它们是高等数学和概率论与数理统计之间的桥梁，可以利用积分和导数等数学工具研究二维连续型随机变量（X，Y）的分布规律.

1 求解边缘分布函数问题

1.1 已知联合分布函数求边缘分布函数

一般地，当联合分布函数或者联合概率密度已知求边缘概率密度时，涉及固定二元函数中的一个变量，對另外一个变量积分.此时，视固定的变量为常量，二元函数积分为特殊的一元函数.若已知条件以分段函数的形式给定，则应先确定积分区间，再分段积分，最终给出综合表达式.

小 结

一般地，求解二维连续型随机变量边缘分布函数和边缘概率密度的相关题目时，会预先给定联合分布函数或者联合概率密度，涉及二元函数固定其中一个变量求另外一个变量的极限、二元函数固定其中一个变量对另外一个变量积分、二阶偏导数、二重积分等相关知识，要求学习者具有扎实的高等数学基础和计算能力.尤其是已知条件以分段函数给定时，应先画出其相应的非零区域，这对于正确计算是非常重要的.

【参考文献】

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第4版）[M].北京： 高等教育出版社，2008.

[2]张国华.概率论与数理统计[M].陕西： 西安交通大学出版社，2014.

[3]同济大学数学系.概率论与数理统计[M].北京： 人民邮电出版社，2017.