Kirchhoff型波方程的时间依赖全局吸引子

汪 璇，苏 洁

(西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

在边界充分光滑的有界域Ω ⊂RN(N≥3)中，考虑如下带有强阻尼和非线性扰动的Kirchhoff 型波方程

其中 δ∈[0,1]，h(ut)是非线性阻尼项，g(u)是非线性项，f(x) 是外力项.

在一维情形，当方程（1）没有耗散项-Δut，非线性扰动项h(ut)以及非线性项g(u) 时，方程（1）变为该方程起初是由Kirchhoff 提出的，用以描述物理学中可伸缩绳横向振动所引起的长度变化的现象，推广了著名的D’Alembert 波方程.其中a表示绳子内子的性质，b表示绳子初始的张力，u表示横向的位移，g(x,u)表示给予伸缩绳横向的力.对于方程（1）当 ε(t)≡1 时，文献[1]建立了适定性以及全局和指数吸引子的存在性，文献[2]考虑了长时间性态对更广义的刚度和阻尼系数，并且涵盖了超临界情形.文献[3]研究了更为高阶的Kirchhoff 型方程，获得了解的存在唯一性、整体吸引子族的存在性及其Hausdorff 维数.文献[4]研究了当系统出现非线性弱阻尼时解的爆破性.

当 ε(t)为关于t的函数时，以往用于刻画自治动力系统的全局吸引子以及用于刻画非自治动力系统的一致吸引子和拉回吸引子等经典概念一般不能用来刻画时间依赖耗散动力系统.为了解决这个问题，Conti 等[5]描述了作用于时间依赖空间族的解算子等概念，修正了拉回吸引子的经典定义和理论，给出了时间依赖吸引子的定义.在此基础上，文献[6]研究了时间依赖空间上吸引子的渐近结构.文献[7]讨论了带有非线性阻尼的波方程时间依赖吸引子的存在性.文献[8]研究了Plate 方程时间依赖吸引子的渐近性.文献[9]研究了抽象发展方程的时间依赖全局吸引子.

受参考文献[1-12]的启发，本文运用收缩函数的方法讨论了带有强阻尼和非线性扰动的Kirchhoff 波方程，并且在能量空间上获得了时间依赖吸引子.

设ε∈C1(R)是一个递减有界函数，满足

1 预备知识

2 主要结果

3 时间依赖吸引子的存在性