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课堂教学中应让学生充分经历“猜想与验证”的过程

2021-08-06李峰

数学学习与研究 2021年18期
关键词:验证猜想经历

李峰

【摘要】数学课程标准指出,数学学习内容应当“有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”,“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”.为了体现新课程理念,我在教学“圆的周长”这一内容时对教材进行了一些校本化处理,也对学生的学习方式、教师的教学方式进行了一些尝试和探索.本文将对这两方面做法进行介绍.

【关键词】 推测;经历;猜想;分析;验证

“圆的周长”这一常规内容,我教过很多遍,有关“圆的周长”的典型课例也看过很多次了.如今,再次执教这一内容,我对这一内容有了进一步的认识.现将“圆的周长”这一课的教学片段展示如下.

教学片段

一、创设情境,提出问题

师:这里有一个用橡胶管做成的圆形呼啦圈,怎样才能知道做这个呼啦圈用了多长的橡胶管呢?

1.测量圆的方法.

(1)围的方法;

(2)滚动的方法(课件演示).

师:我们刚才是利用围的方法或滚动的方法求圆的周长的,如果求一个很大的圆形广场的周长,你还能用这两种方法吗?

2.计算的方法.

师:圆的周长与圆的哪些要素有关?

二、初步推测,形成猜想

猜测一:圆的周长与圆的哪些要素有关?是与圆心有关,与半径有关,还是与直径有关?

直径越长,周长越长;直径越短,周长越短.(教师可结合手中的4个不同大小的圆和学生一起探究)

猜测二:圆的周长与直径有什么关系?

师:对于一个圆来说,周长和直径到底存在什么关系?(教师举起手中的一个圆)

圆的周长与直径存在倍数关系.

猜测三:圆的周长大约是直径的几倍?

师:很明显,任何一个圆的周长都要大于它的直径,研究周长与直径之间的倍数关系,应该用圆的周长除以直径,看看周长是直径的多少倍.那么,请你猜测一下,圆的周长大约是直径的多少倍?说出你猜测的依据.(小组讨论)

三、设计方案,验证猜想

观察讨论:圆的周长大约是直径的几倍?

1.看到图1所示的这幅图,你发现了什么?

通过观察发现,半圆的弧线大于直径.

得出结论:圆的周长比直径的2倍还要多一些.

2.观察图2中的图形,你发现了什么?

通过观察发现,正方形的周长(直径的4倍)大于圆的周长.

得出结论:圆的周长比直径的4倍还要少一些.

3.仔细观察图3中的图形,你能得出什么结论呢?

通过观察发现,圆周上的每一条小弧线都大于正六边形的边长(半径).

得出结论:圆的周长比直径的3倍还要多一些.

小结:一开始,我们认为圆的周长在直径的2倍至4倍之间.后来,我们确定圆的周长比直径的3倍还要多一些.

这个结论是否可靠,我们需要进一步用数据来进行验证.

四、分析数据,得出结论

1.学生计算C÷d,并把结果填入表1中.(课件展示表1)

师:你发现了什么?

得出结论:圆的周长总是直径的3倍多一些.

2.揭示圆周率的意义.

师:圆的周长总是直径的3倍多一些,这个倍数是一个固定的值,叫作圆周率,用字母π表示.(虽然π是一个希腊字母,但它代表的是一个数)

3.介绍有关圆周率的历史.

(介绍过程略)

4.推导圆的周长的公式.

师:我们已经明确了圆的周长与直径的关系——C÷d=π,

若已知直径,怎样求圆的周长呢?

(C=πd)

若已知半徑,怎样求圆的周长呢?

(C=2πr)

说明:在实际计算中,若无特别说明,则π取3.14.

师:要求圆的周长,需要知道哪些条件?(直径或半径)

教学反思

“圆的周长”这一内容是组织学生进行探究性学习的极好素材.我把这节课的课题确立为“探索与发现”.探索什么呢?就是探索圆的周长与直径的关系.发现什么呢?就是发现“圆的周长总是直径的3倍多一些”的规律.在实际教学中,我为学生提供了进行数学活动和交流的机会,让学生经历操作、观察、猜测、验证等探究活动,感知圆的周长,理解圆周率的意义,自主推导出圆周长的计算公式.

那么,教学这一传统内容,怎样才能体现一些创新性的教法呢?为此,我们做了以下几方面的尝试.

(1)在确立重点上有所突破

以往教学这节课时,我们一般把教学重点放在圆周长公式的推导和应用上.而今我们把这节课的教学重点确立为探索圆的周长和直径的关系,其目的在于突出探索的过程.

(2)在处理教材上有所突破

对于教材,我们做了一些校本化处理.以往在教学这一内容时,这节课要从圆周长的意义讲到圆周率的得出,再讲圆周长公式的推导,最后讲公式的应用.而今,为了给学生更多的探索时间和空间,让学生体会圆周率的推算过程,我们将“利用公式解决问题”放在下一节课进行.

(3)让学生亲身经历“发现问题—合理猜测—数据验证”的探索过程

让学生经历探索与发现的过程,是数学课程标准所倡导的理念之一.在引导学生探索圆的周长和直径的关系时,我让学生进行了三次猜测:第一次是让学生猜测“圆的周长与圆的哪些要素有关”,目的是让学生初步明确探索什么(探索圆的周长与直径的关系);第二次是让学生猜测“圆的周长与直径存在什么关系”(如加、减、乘、除,哪一种关系),进一步明确探索的目标;第三次是让学生猜测“圆的周长大约是直径的几倍”.我在处理这一环节时,为学生提供了3幅图:第一幅是一个圆被直径分成两部分,学生通过观察,发现上、下半圆的弧分别大于直径,于是得到第一个结论——圆的周长比直径的2倍还要多一些;第二幅是圆外切正方形,学生通过观察发现,圆的周长小于正方形的周长,而正方形的周长恰好等于圆直径的4倍,于是得到第二个结论——圆的周长比直径的4倍还要少一些;第三幅是圆内接正六边形,学生通过观察发现,圆的周长大于内接正六边形的周长,而圆内接正六边形的周长恰好等于直径的3倍,于是得到第三个结论——圆的周长比直径的3倍还要多一些.从第一幅图的“2倍多”到第二幅图的“4倍少”,圆的周长除以直径的结果是2点几倍还是3点几倍,是没有定论的.但是通过第三幅图,我们锁定“圆的周长比直径的3倍还要多一些”这一结论,从而确定了圆的周长与直径的倍数关系的区间,为后来的数据计算验证提供了理论依据,最后得出圆周率的意义.

事实上,我们从有关圆周率的研究史料中也能了解到,今天我们研究圆周率的过程与古人的研究过程是相似的.古希腊的阿基米德从圆内接正多边形和外切正多边形两个方向推导,获得了圆周率介于22371和227之间的结论.后来,我国的刘徽和祖冲之利用“割圆术”对圆周率进行更精确的计算.虽然我们没有像古人那样精确地探索圆周率问题,但学生亲身经历了类似古人的探索过程,发现规律,得出与科学家基本一致的研究结果.学生因此获得了成功体验,增强了热爱数学的情感.

(4)在介绍有关圆周率的史料方面对学生进行国际理解教育

以往,我们在介绍有关圆周率的史料时,只介绍刘徽、祖冲之的成就,而忽略了古希腊数学家阿基米德的成就.因此,我们在对学生进行爱祖国、爱科学教育的同时,应对学生进行国际理解教育.

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