课堂教学中应让学生充分经历“猜想与验证”的过程

李峰

【摘要】数学课程标准指出，数学学习内容应当“有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”，“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”.为了体现新课程理念，我在教学“圆的周长”这一内容时对教材进行了一些校本化处理，也对学生的学习方式、教师的教学方式进行了一些尝试和探索.本文将对这两方面做法进行介绍.

【关键词】 推测;经历;猜想;分析;验证

“圆的周长”这一常规内容，我教过很多遍，有关“圆的周长”的典型课例也看过很多次了.如今，再次执教这一内容，我对这一内容有了进一步的认识.现将“圆的周长”这一课的教学片段展示如下.

教学片段

一、创设情境，提出问题

师：这里有一个用橡胶管做成的圆形呼啦圈，怎样才能知道做这个呼啦圈用了多长的橡胶管呢？

1.测量圆的方法.

（1）围的方法;

（2）滚动的方法（课件演示）.

师：我们刚才是利用围的方法或滚动的方法求圆的周长的，如果求一个很大的圆形广场的周长，你还能用这两种方法吗？

2.计算的方法.

师：圆的周长与圆的哪些要素有关？

二、初步推测，形成猜想

猜测一：圆的周长与圆的哪些要素有关？是与圆心有关，与半径有关，还是与直径有关？

直径越长，周长越长;直径越短，周长越短.（教师可结合手中的4个不同大小的圆和学生一起探究）

猜测二：圆的周长与直径有什么关系？

师：对于一个圆来说，周长和直径到底存在什么关系？（教师举起手中的一个圆）

圆的周长与直径存在倍数关系.

猜测三：圆的周长大约是直径的几倍？

师：很明显，任何一个圆的周长都要大于它的直径，研究周长与直径之间的倍数关系，应该用圆的周长除以直径，看看周长是直径的多少倍.那么，请你猜测一下，圆的周长大约是直径的多少倍？说出你猜测的依据.（小组讨论）

三、设计方案，验证猜想

观察讨论：圆的周长大约是直径的几倍？

1.看到图1所示的这幅图，你发现了什么？

通过观察发现，半圆的弧线大于直径.

得出结论：圆的周长比直径的2倍还要多一些.

2.观察图2中的图形，你发现了什么？

通过观察发现，正方形的周长（直径的4倍）大于圆的周长.

得出结论：圆的周长比直径的4倍还要少一些.

3.仔细观察图3中的图形，你能得出什么结论呢？

通过观察发现，圆周上的每一条小弧线都大于正六边形的边长（半径）.

得出结论：圆的周长比直径的3倍还要多一些.

小结：一开始，我们认为圆的周长在直径的2倍至4倍之间.后来，我们确定圆的周长比直径的3倍还要多一些.

这个结论是否可靠，我们需要进一步用数据来进行验证.

四、分析数据，得出结论

1.学生计算C÷d，并把结果填入表1中.（课件展示表1）

师：你发现了什么？

得出结论：圆的周长总是直径的3倍多一些.

2.揭示圆周率的意义.

师：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个倍数是一个固定的值，叫作圆周率，用字母π表示.（虽然π是一个希腊字母，但它代表的是一个数）

3.介绍有关圆周率的历史.

（介绍过程略）

4.推导圆的周长的公式.

师：我们已经明确了圆的周长与直径的关系——C÷d=π，

若已知直径，怎样求圆的周长呢？

（C=πd）

若已知半徑，怎样求圆的周长呢？

（C=2πr）

说明：在实际计算中，若无特别说明，则π取3.14.

师：要求圆的周长，需要知道哪些条件？（直径或半径）

教学反思

“圆的周长”这一内容是组织学生进行探究性学习的极好素材.我把这节课的课题确立为“探索与发现”.探索什么呢？就是探索圆的周长与直径的关系.发现什么呢？就是发现“圆的周长总是直径的3倍多一些”的规律.在实际教学中，我为学生提供了进行数学活动和交流的机会，让学生经历操作、观察、猜测、验证等探究活动，感知圆的周长，理解圆周率的意义，自主推导出圆周长的计算公式.

那么，教学这一传统内容，怎样才能体现一些创新性的教法呢？为此，我们做了以下几方面的尝试.

（1）在确立重点上有所突破

以往教学这节课时，我们一般把教学重点放在圆周长公式的推导和应用上.而今我们把这节课的教学重点确立为探索圆的周长和直径的关系，其目的在于突出探索的过程.

（2）在处理教材上有所突破

对于教材，我们做了一些校本化处理.以往在教学这一内容时，这节课要从圆周长的意义讲到圆周率的得出，再讲圆周长公式的推导，最后讲公式的应用.而今，为了给学生更多的探索时间和空间，让学生体会圆周率的推算过程，我们将“利用公式解决问题”放在下一节课进行.

（3）让学生亲身经历“发现问题—合理猜测—数据验证”的探索过程

让学生经历探索与发现的过程，是数学课程标准所倡导的理念之一.在引导学生探索圆的周长和直径的关系时，我让学生进行了三次猜测：第一次是让学生猜测“圆的周长与圆的哪些要素有关”，目的是让学生初步明确探索什么（探索圆的周长与直径的关系）;第二次是让学生猜测“圆的周长与直径存在什么关系”（如加、减、乘、除，哪一种关系），进一步明确探索的目标;第三次是让学生猜测“圆的周长大约是直径的几倍”.我在处理这一环节时，为学生提供了3幅图：第一幅是一个圆被直径分成两部分，学生通过观察，发现上、下半圆的弧分别大于直径，于是得到第一个结论——圆的周长比直径的2倍还要多一些;第二幅是圆外切正方形，学生通过观察发现，圆的周长小于正方形的周长，而正方形的周长恰好等于圆直径的4倍，于是得到第二个结论——圆的周长比直径的4倍还要少一些;第三幅是圆内接正六边形，学生通过观察发现，圆的周长大于内接正六边形的周长，而圆内接正六边形的周长恰好等于直径的3倍，于是得到第三个结论——圆的周长比直径的3倍还要多一些.从第一幅图的“2倍多”到第二幅图的“4倍少”，圆的周长除以直径的结果是2点几倍还是3点几倍，是没有定论的.但是通过第三幅图，我们锁定“圆的周长比直径的3倍还要多一些”这一结论，从而确定了圆的周长与直径的倍数关系的区间，为后来的数据计算验证提供了理论依据，最后得出圆周率的意义.

事实上，我们从有关圆周率的研究史料中也能了解到，今天我们研究圆周率的过程与古人的研究过程是相似的.古希腊的阿基米德从圆内接正多边形和外切正多边形两个方向推导，获得了圆周率介于22371和227之间的结论.后来，我国的刘徽和祖冲之利用“割圆术”对圆周率进行更精确的计算.虽然我们没有像古人那样精确地探索圆周率问题，但学生亲身经历了类似古人的探索过程，发现规律，得出与科学家基本一致的研究结果.学生因此获得了成功体验，增强了热爱数学的情感.

（4）在介绍有关圆周率的史料方面对学生进行国际理解教育

以往，我们在介绍有关圆周率的史料时，只介绍刘徽、祖冲之的成就，而忽略了古希腊数学家阿基米德的成就.因此，我们在对学生进行爱祖国、爱科学教育的同时，应对学生进行国际理解教育.