能耗约束优化工业机器人作业轨迹

贾文友，江 磊，曹紫阳，梁利东

安徽工程大学 机械工程学院 人机自然交互和高效协同技术研究中心，安徽 芜湖 241000

工业机器人作业过程中普遍需要较高能耗，故能耗策略研究成为许多工业机器人制造商和学术研究团体的共同关注课题。降低工业机器人能耗的主要方法包括设计节能的作业规划算法，优化工业机器人运行参数和运行计划等[1]；Llopis-Albert等人提出了一种解决机器人手臂轨迹规划多目标优化问题的有效算法，研究了机器人系统动力学和避免与障碍物发生碰撞的问题[2]；Bailon 等人针对参数表示的给定路径使用遗传算法最大限度地减少了具有力矩限制的机器人所消耗的能量[3]；Serralheiro提出一种基于轮式移动机器人时间能量优化的轨迹规划方法，通过自调整算法对引入惩罚系数的多目标优化模型进行优化[4]；Hansen以工业机器人能耗最小为指标进行轨迹规划，经过对比研究表明所提出的方法优于现有的基于扭矩的研究方法[5]；沈悦等人提出一种基于粒子群优化算法的轨迹规划方案[6]；唐佳提出了一种改进差分进化算法在关节空间中对轨迹进行优化[7]；岳晴晴提出改进遗传算法对机器人轨迹时间进行优化，并在时间最优的基础上对冲击进行二次优化[8]；张世杰运用四级Runge-Kutta和多重打靶法求解基于能耗最优的机器人轨迹规划问题，提出了一种基于状态反馈的模糊滑模变结构控制算法，提高了系统的稳定性[9]。浦玉学研究工业机器人时间最优、能耗最优的多目标轨迹优化问题，提出了一种基于改进引力搜索算法的最优轨迹规划方法[10]；丁小天提出了一种无序点排序算法，通过使用B 样条曲线拟合复杂点云模型简化为的有序点，并利用包容盒算法完成轨迹规划[11]；朱世强等人采用七次B样条曲线构造机器人关节轨迹，实现了对启动和停止时刻速度、加速度和二次加速度的控制[12]。

国内外学者进行多种方法的研究，但仍存在优化算法容易陷入局部最小值和收敛速度较慢，能耗策略中机器人考虑动力学影响欠充分等，为此提出了一种基于量子行为和差分进化的改进蜻蜓算法（Quantumbehaved and Differential Evolution Dragonfly Algorithm，QDEDA）[13]，基于QDEDA 算法对工业机器人能耗策略下综合速度、加速度和二次加速度优化工业机器人作业轨迹，最终获得最优轨迹。

1 工业机器人能耗约束模型构建

1.1 基于五次B样条函数的关节轨迹构造

针对所求得工业机器人避障的n个离散路径点，通过逆运动学求解得到一系列关键点P=(P1,P2,…,Pn)T，其中Pi=(Pi1,Pi2,Pi3,Pi4,Pi5,Pi6)，i=1,2,…,n，相应的时间节点序列为T=(t1,t2,…,tn)。采用五次B样条曲线来对机器人关节空间的关键点序列进行连接构造，其数学表达式如式（1）所示：

式中，P(u)是关节位移，Nj,k(u)(j=i-k,i-k+1,…,i)为k次规范B样条基函数，Cm,j为机器人第m关节第j个控制顶点，u∈[0,1]，Nj,k(u)表达式如式（2）所示：

控制顶点Cm,j可由连续条件和边界条件求解出来，所以五次B样条曲线可用式（3）的矩阵形式表示：

1.2 工业机器人动力学模型分析

由拉格朗日方程推导出工业机器人动力学方程：

1.3 约束条件能耗约束模型

通过对式（1）采用德布尔递推公式后，得出五次B样条曲线的r(r=1,2,3)阶导数如式（10）所示：

由公式（10）的五次B 样条曲线的r阶导数可推导出机器人各关节的速度、加速度和二次加速度为：

机器人为了维持作业的平稳性，其各关节还要满足运动学约束，二次加速度的约束主要是为了降低冲击，同时能够防止机器人的过度损耗，延长其使用寿命。机器人各关节约束条件为：

式中，Vmax、Amax、Jmax、τmax分别为机器人各关节的速度、加速度、二次加速度和力矩的最大约束值。

由式（4）得出动力学约束：

由机器人第i段轨迹的初始时刻ti和终止时刻ti+1求得机器人作业过程中的总运行时间为：

通过所求得的五次B 样条曲线的关节位移P(u)求出机器人各关节在hi时间段内轨迹的能耗为：

以时间最优，能量损耗最小作为优化目标，工业机器人能耗约束模型函数如下。

式中，ξ1、ξ2为优化权重系数，且ξ1+ξ2=1，α是弹性系数，弹性系数用来平衡时间与能耗在数量级上的差别产生的影响。

2 基于改进蜻蜓算法的轨迹优化方法

原始蜻蜓算法（Dragonfly Algorithm，DA）是基于蜻蜓行为的一种新颖的元启发式算法[14]。在蜻蜓种群中有分离度、对齐度、内聚度、对食物的吸引和敌人的干扰5种行为，这些行为数学模型如下。

式中，X表示当前蜻蜓个体的位置；Xj表示第j个相邻蜻蜓个体的位置；N表示与第i个蜻蜓个体相邻的个体数量；Ai表示第i个个体的对齐度；Vj表示第j个相邻蜻蜓个体的速度；Ci表示第i个个体的内聚度；Fi表示食物位置对第i个个体的吸引，X+表示食物源位置；Gi表示天敌位置对第i个个体的干扰，X-表示天敌位置。

蜻蜓根据式（19）更新其速度。

式中，t表示当前迭代次数；i表示第i个蜻蜓个体；Xt表示当前t代种群个体位置；s,a,c,f,e表示五种行为的权重，w表示惯性权重。

如果蜻蜓经过几次迭代后在其搜索半径内没有邻近个体，则其位置使用Le′vy飞行方程式（20）更新。

其中，t是当前迭代的数量，d代表蜻蜓个体的尺寸。

原始DA算法和大多数群智能算法一样，在算法寻优过程中易陷入局部最小值，为此采用量子行为来改进DA算法的位置更新机制来增强DA算法的全局探索能力；因DA算法在迭代后期种群缺乏多样性并易发生早熟现象，导致DA 算法后期迭代速度过慢，为此将差分进化寻优策略引入到DA算法中，来增强蜻蜓个体之间的信息交流，提高DA算法的收敛速度和寻优精度。为此本文研究团队提出了一种基于量子行为和差分进化的改进蜻蜓算法[13]，其中量子行为位置更新机制如式（21）和（22）；差分进化寻优策略包括变异、交叉、选择3种操作，分别如式（23）至（25）。

QDEDA算法流程描述如下。

步骤1算法参数初始化：设置种群规模N，空间维数D，最大迭代次数MIT，惯性权重w，领域半径r；随机初始化蜻蜓位置X和步长向量ΔX。

步骤2计算所有蜻蜓个体的适应度，适应度函数由公式（17）给出，更新最优个体为食物，最差个体为天敌；

步骤3更新权重五种行为因子s,a,c,f,e，用公式（18）计算S,A,C,F,E，然后用公式（19）更新速度矢量。

步骤4更新邻域半径后若蜻蜓个体周围有临近个体，调用QDEDA 算法融合的量子行为位置更新机制，使用式（22）更新个体的位置；若蜻蜓个体周围没有临近个体，则调用莱维飞行式（20）更新个体位置。

步骤5调用QDEDA 算法融合的差分进化寻优策略，使用式（23）～（25）对蜻蜓个体进行差分进化运算更新最优解。

步骤6判断是否满足终止条件，若达到最大迭代次数MIT则进入步骤7，否则返回至步骤2。

步骤7输出最优个体位置及最优适应度值。

3 仿真实验

3.1 仿真条件

本文以ER7B-C10 型6 关节工业机器人为研究对象，求解工业机器人能耗约束模型函数。机器人的运动学约束及个关节位置序列参数如表1和表2所示。

表1 运动学约束参数Table 1 Parameters of constraints kinematics

表2 关节位置序列参数Table 2 Parameters of sequence joint positions

3.2 仿真结果及分析

为了验证本文提出的QDEDA算法的有效性，分别使用文献[14]中的蜻蜓算法（DA）、文献[15]中的基于指数函数步长的精英反向蜻蜓算法（EOEDA）和改进蜻蜓算法（QDEDA）进行对比实验。实验参数设置包括：弹性系数α=0.003，ξ1=0.5、ξ2=0.5；种群规模N=40，最大迭代次数MIT=500 ；五种行为的权重w=0.2～0.9，s=0.1,a=0.1,c=0.7,f=1,e=1。为了降低实验随机性的影响，分别在各算法上运行10 次，并取平均值，三种算法的寻优曲线如图1所示，表3为三种算法的轨迹规划结果。

图1 寻优曲线对比图Fig.1 Comparison of optimization curves

表3 算法最优轨迹规划结果Table 3 Results of different trajectory planning algorithms

由图1 可知，DA 在迭代到300 代左右时，算法出现了停滞并发生早熟现象，陷入了局部最小值，而QDEDA能够搜索到更高质量的解；由于QDEDA 融合了差分进化寻优策略，极大增强了算法中的信息交流，改善了算法后期种群多样性缺失的问题，使得QDEDA 算法的收敛速度更快。由表3 可知，相比于DA 和EOEDA，QDEDA优化轨迹的总能耗分别降低了8.33%和3.76%，作业时间分别减少了2.94%和1.42%，适应度评价总体分别降低了5.94%和2.7%。实验结果证明了QDEDA的性能优于DA和EOEDA。

为了验证工业机器人能耗约束模型有效性，使用QDEDA 优化的最优时间序列执行作业任务，得到图2至图5各关节位置、速度、加速度和力矩的变化曲线。

由图2 可看出，各关节的位置曲线光滑且连续，根据图3至图5的速度、加速度和力矩的变化曲线，参照表1可知，机器人整个作业过程中都满足约束条件，满足作业平稳工作要求。为了进一步验证QDEDA 算法求解能耗约束下工业机器人作业轨迹，如图6 所示，基于Unity3D进行虚拟现实可视化仿真，其中图（a）表示求解出起点和目标点之间规划轨迹，图（b）表示求解出起点和目标点之间作业轨迹。

图2 关节位置曲线Fig.2 Curve of joint positions

图3 速度变化曲线Fig.3 Curve of speed change

图4 加速度变化曲线Fig.4 Curve of acceleration change

图5 关节力矩变化曲线Fig.5 Curve of joint torque change

图6 虚拟现实可视化仿真Fig.6 Visual simulation of virtual reality

4 结束语

在综合五次B 样条曲线推导出机器人关节空间中关键点的作业轨迹，以及拉格朗日方程推导的动力学方程基础上，搭建了机器人轨迹能耗模型；用所设计的改进算法求解能耗约束下工业机器人作业轨迹。仿真结果表明，相对原始蜻蜓算法和基于指数函数步长的精英反向蜻蜓算法，本文提出的改进蜻蜓算法求解效率更高，且优化后的机器人各关节位置、速度、加速度和力矩的变化曲线光滑、连续、平稳。为进一步研究基于机器视觉利用图像信息进行实时在线轨迹规划来提升机器人末端执行器的运行精度提供重要依据。