概率多值中智集的关联系数及其应用

朱永明，邱文静

郑州大学 管理工程学院，郑州 450001

为了解决决策问题中存在的模糊信息，Zadeh[1]和Atanassov[2]分别提出了模糊集和直觉模糊集，然而在一些多属性决策过程中仍然存在无法处理的不确定信息，为此Smarandache[3]对直觉模糊集进行了拓展提出了中智集，以便考虑信息的真实程度、不确定程度和失真程度。为了将中智集应用到实际问题中，Wang等[4]提出了单值中智集。后来考虑到多属性决策中决策群体存在偏好的不一致性，王坚强等[5]和Ye[6]均基于犹豫模糊集[7]和单值中智集提出了多值中智集，目前已经引起了许多学者的深入研究[8-10]。多值中智集是由三种集合构成：真值隶属度集合、不确定隶属度集合和非隶属度集合，三种集合包含的基本元素分别是隶属度、不确定隶属度和非隶属度，且这些基本元素的个数可以是一至多个的。但多值中智集认为上述三种集合中的每个基本元素发生的概率是一样的。然而，在多属性决策问题中，决策者通常会偏好一些评价值，使得在三种集合中的不同的基本元素可能具有不同的重要程度。因此，Peng等[11]和Shao 等[12]在多值中智集的基础上提出了概率多值中智集，有效地考虑到了真值隶属度，不确定隶属度和非隶属度各自发生的概率。目前，概率多中智集的研究已引起了许多学者的关注，Peng等[11]定义了概率多值中智集的交叉熵，并将其运用到多属性决策问题中；Shao等[12]提出了2种概率多值中智Choquet积分集结算子，并探究了二者性质；Liu等[13]将传统的PROMETHEE方法拓展到概率多值中智集领域提出了一种全新的多属性决策方法；Liu 等[14]首先提出了概率多值中智集的熵测度和标准加权Bonferroni 距离测度，然后基于二者提出了概率多值中智ARAS 方法；Shao 等[15]在文献[12]的基础上提出了广义Shapley 概率多值中智Choquet 积分集结算子；针对属性权重完全已知的多属性决策问题，Şahin 等[16]提出了概率多值中智MABAC 方法；Shao等[17]对概率多值中智集进行了拓展，提出了概率多值区间中智集和相关测度。

为了测量不同的单值中智集、多值中智集和区间多值中智集的相关关系，关联系数被引入到中智集领域中。Ye等[18]首先将关联系数推广到单值中智环境下，定义了单值中智集的关联系数，而且提出一种单值中智多属性决策方法。后来Ye[19]又提出了一种新的单值中智关联系数。Sahin 等[20]基于区间犹豫模糊集的关联系数[21]提出了多值中智集的关联系数。Ye[22]提出了区间多值中智集的关联系数。

目前关于概率多值中智集的关联系数的研究较少，因此，为了测量2 个概率多值中智集的平均程度、精确程度和信息完整程度之间的相关关系，本文首先提出了概率多值中智集的期望关联系数、精确度关联系数和信息完全度关联系数。其次，本文基于概率多值中智集的期望关联系数、精确度关联系数和信息完全度关联系数，提出了一种包含参数的概率多值中智集的综合关联系数，以便测量2 个概率多值中智集的整体相关关系。然后，本文提出了一系列的概率多值中智集的加权关联系数。最后，本文基于概率多值中智集的关联系数构建一种可以有效地确定参数且适用于属性权重已知的多属性决策模型，并通过具体案例进行了验证分析。

1 预备知识

1.1 概率多值中智集

1.2 概率多值中智数的信息完全度

在概率多值中智数α中的真值隶属度集合、不确定隶属度集合和非隶属度集合中，若三者中的概率之和越接近于1，则代表α的信息就越完整，反之则亦然。为此本文基于概率犹豫模糊元的信息不完全度[23]提出一种测量α的信息完整程度的测度，其相关定义如下：

2 概率多值中智集的关联测度

为了测量2个概率多值中智集的相关关系，在文献[24]的启发下，本文首先提出概率多值中智集的期望关联系数、精确度关联系数和信息完全度关联系数，然后通过加权平均算子的思想构建带有参数的概率多值中智综合关联系数，以便测量任意2个概率多值中智集的整体相关关系，最后考虑到权重的重要性，提出了概率多值中智集的多种加权关联系数。

2.1 概率多值中智集的关联系数

2.2 概率多值中智集的加权关联系数

考虑到集合X中的xi(i=1,2,…,n)可能会存在不同的权重，因此本文提出概率多值中智集的加权关联系数。

3 建立决策模型

本文利用上述概率多值中智集的关联系数构建一种适用于属性权重完全已知的多属性决策模型。

3.1 问题描述

对某一概率多值中智多属性决策问题，设被评价对象的集合为Y={yi|i=1,2,…,n}，相关的评价属性集合为E={ej|j=1,2,…,m}，属性的权重集合为w=(w1,w2,…,wn)T，且满足wj≥0 和，且属性权重完全已知。决策群体根据属性对被评价方案进行评价，评价结果以概率多值中智数的形式表现出来，因此获得概率多值中智决策矩阵M=(αij)m×n。

3.2 理想方案的选择

3.3 参数的确定

根据属性的权重集w=(w1,w2,…,wn)T和公式（8）～（10）计算每个被评价方案yi={αij|j=1,2,…,n}(i=1,2,…,m)与理想方案之间加权期望关联系数ρwe(yi,y+)、加权精确度关联系数ρwu(yi,y+)和加权信息完全度关联系数ρwl(yi,y+)。

已知ρwe(yi,y+)、ρwu(yi,y+)和ρwl(yi,y+)分别测量了被评价方案yi与理想方案y+的平均程度、精确程度和信息完整程度之间的相关关系，可见上述三种关联系数是从三个不同的视角进行研究的，因此在计算被评价方案yi与理想方案y+的加权综合关联系数ρwt(yi,y+)时，参数可以看作是3 种关联系数的相对权重。为了有效地确定参数的大小，下面本文从主客观权重的实际意义提出该参数的计算方法。

从主观的角度，本文基于文献[25]对主观赋权的研究结论，发现决策群体在主观给出参数时，一般在心里首先对3种关联系数的重要性进行排序，然后再进行主观赋值。显然主观参数具有2个重要信息：序信息和强度信息。序信息代表了参数的大小排序，强度信息代表了参数的大小。由于主观得到的参数是决策群体根据自身经验和知识得到的，所以参数的大小具有很强的主观随意性。但参数的大小排序与现实情况比较接近，且不会随着数据的改变而改变，因此主观参数的序信息的作用要强于强度信息。为了有效地考虑主观结果的序信息，参数应当与主观参数的排列顺序保持一致最好。

根据模型（M-1）得到关于方案yi(i=1,2,…,m)的客观参数为受文献[25]的启发，客观得到的参数也具有序信息和强度信息，其中强度信息有效地避免了主观随机性。但该参数会随着数据的改变而改变，相应参数的排序结果也会发生改变，所以序信息是不稳定的。因此客观参数的强度信息作用要强于序信息。为了有效地考虑客观结果的强度信息，参数应当与客观参数越接近越好。

此外，基于文献[27]的思想，本文认为实际的参数应当落在主观参数的δ邻域和客观参数的δ邻域的交集，保证最终的参数兼顾主观结果的序信息和客观结果的强度信息。因此本文认为关于方案yi的参数应当满足

3.4 被评价方案的排序

4 案例分析

4.1 案例

某购物网站欲对4 款即将上市的同等价位的性价比高低不一的智能手机（记为yi(i=1,2,3,4)）展开评测，进而探索消费者的潜在购买意向。已知相关评测的属性分别为系统流畅度(e1)、UI 设计（指对手机的人机交互、操作逻辑、界面美观的整体设计）(e2)、功能多样性(e3)以及硬件配置(e4)4个方面，相关的属性权重分别是w=(0.27,0.2,0.16,0.37)T。现邀请一专家组按照上述4 种属性对4 种手机进行评价，相关评价结果以概率多值中智数的形式表现出来，如表1所示。

表1 概率多值中智决策矩阵MTable 1 Probability multi-valued neutrosophic decision matrix M

在表1 中<{0（0.6），0.6（0.4）}，{0.4（1）}，{0.3（0.4），0.5（0.4）}>，{0（0.6），0.6（0.4）}代表决策群体认为手机y1满足属性e1的隶属程度有0 和0.6，且相应的概率分别是0.6和0.4；{0.4（1）}代表决策群体对手机y1满足属性e1的不确定程度为0.4，且它的概率为1；{0.3（0.4），0.5（0.4）}代表决策群体对手机y1不隶属于属性e1的程度为0.3和0.5，且相应的概率均为0.4，其他数据具有类似意义。

4.2 理想方案的确定

4.3 参数的确定

根据公式（8）、（9）和（10）分别计算yi(i=1,2,3,4)与理想方案y+的关联系数，相关计算结果如表2所示。

表2 各个方案与理想方案的关联系数Table 2 Correlation coefficient of each plan and ideal plan

已知决策群体给出的主观参数为ωs=(0.6,0.1,0.3)T，然后基于模型（M-1）和（M-2）计算得到最终参数如表3所示。

表3 各个方案的参数Table 3 Parameters of each plan

4.4 排序结果

根据表2 和表3 计算得到各个被评价方案的加权综合关联系数分别是ρwt(y1,y+)=0.416 8，ρwt(y2,y+)=-0.059 6，ρwt(y3,y+)=-0.048 8 和ρwt(y4,y+)=0.906 7。

因此可得方案的最终排序为y4≻y1≻y3≻y2。

4.5 对比分析

为了说明本文所提的方法的优势，本文采用文献[11]所提的概率多值中智加权平均（PMVMMWA）算子和概率多值中智加权几何（PMVMMGA）算子对上述案例进行决策，计算结果如表4所示。

表4 三种方法的排序结果Table 4 Sort results of three methods

从表4 可以看出PMVMMWA 算子和PMVMMWG算子得到的结果与本文的结果存在部分差异，但本文模型具有以下优势：（1）文献[11]所提的方法与本文模型相比步骤复杂且耗时过多，而本文模型的计算过程简单且易于理解；（2）本文模型较文献[11]相比考虑了方案的整体，即关联系数是将方案看作一个整体考虑的，并通过方案与理想方案之间的关联程度体现各方案的优劣，因此计算结果更直观。

5 结语

针对关于研究概率多值中智集关联系数较少的现状，本文首先提出了概率多值中智集的期望关联系数、精确度关联系数和信息完全度关联系数，然后提出了带有参数的概率多值中智综合关联系数和一系列加权关联系数，建立一种概率多值中智多属性决策模型，最后通过具体案例证明了该模型的有效性。虽然本文所提的关联系数可应用到模式识别和聚类分析领域中，但该关联系数假设属性之间是完全独立的，而在现实情况中，属性之间可能存在相关关系，因此在后续的研究中将关注其他形式的概率多值中智关联系数。