同构法在2020年高考中的应用研究

李昌成 张 珍

(1.新疆乌鲁木齐市第八中学 830002；2.新疆奎屯市第六中学 833200)

一、同构法简介

数学中很多式子的结构就反映了本质，具备了结构才具有其性质.同构法就是利用同构式解题的方法.同构式是结构相似，架构相同的式子.利用同构法解题的基本步骤有：(1)构造合理正确的同构式；(2)利用相关性质解题；(3)回归题目，完成解答.

二、应用举例

解答指数函数、对数函数、三角函数、平面向量、数列、导数以及不等式等模块的试题时，经常会用到同构法.下面以2020年高考数学试题为例，谈谈同构法的应用.

例1 (全国Ⅱ卷理科第11题，文科第12题)若2x-2y<3-x-3-y，则( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析以指数式的指数为研究对象，将原不等式变为2x-3-x<2y-3-y，构造函数f(t)=2t-3-t，易判断f(t)在R上单调递增.由单调性的定义知x

解由2x-2y<3-x-3-y移项得：2x-3-x<2y-3-y.

令f(t)=2t-3-t，则f(x)

因为y=2x为R上的增函数，y=3-x为R上的减函数，所以f(t)为R上的增函数，所以x0，所以y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>ln1=0，因此，A正确，B错误；而|x-y|与1的大小没有信息能确定，故C，D无法确定.

综上，选A.

评析本题考查了指数函数的性质，对数式的大小的判断，解题的关键是构造函数f(t)=2t-3-t，构造的依据是函数的概念，解析式的相同结构.利用该复合函数的单调性得到x,y的大小关系，解题过程渗透了转化与化归的数学思想.

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析从指数式、对数式的底数入手，结合指数式、对数式运算性质，构造函数f(x)=2x+log2x，利用放缩技巧，根据f(x)的单调性可得到正确答案.

解设f(x)=2x+log2x，易知f(x)为增函数，因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，而22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b.

即f(a)

综上，选B.

评析本题以指数函数、对数函数以及指数、对数的运算为基础，主要考查函数、方程、不等式的关系，突破口是同构法的应用.恰当放缩才能利用函数f(x)=2x+log2x的单调性比较大小，也是本题压轴的原因所在.

A.a

综上，选A.

例4 (江苏卷第11题)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N+)，则d+q的值是____.

分析等差数列和等比数列前n项和公式都有独特的形式，已知的前n项和Sn可分成等差数列的前n项和与等差数列的前n项和，依据形式特征分别求得{an},{bn}的公差和公比，最后求得d+q的值.

解设等差数列{an}的首项为a1，公差为d；等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，依据题意知q≠1.

{an}的前n项和公式为

评析本题依据已知Sn=n2-n+2n-1=(n2-n)+(2n-1)的特点，恰当地利用了等差数列和等比数列前n和的公式结构，利用同构法准确建立出四元方程组，思路简洁，预算量小，充分展示了同构法的优越性.

例5 (全国Ⅰ卷文科第16题)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=____.

分析已知中存在(-1)n，所以必须对n为奇偶数分类讨论，进而得出奇数项、偶数项各自的递推关系.根据奇数项递推关系将各奇数项用a1表示出来，根据偶数项递推关系将相邻偶数项和用数值表示出来，从而建立关于a1方程，即可解出a1.

解an+2+(-1)nan=3n-1，当n=2k-1,k∈N*时，an+2=an+3n-1

①

当n=2k,k∈N*时，an+an+2=3n-1

②

设数列{an}的前n项和为Sn，依据①②的结构特征得

S16=a1+a2+a3+a4+…+a16=(a1+a3+a5…+a15)+[(a2+a4)+…(a14+a16)]=[a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)]+(5+17+29+41)

=8a1+484=540.

解得a1=7.

评析本题表象上考查数列的递推公式，实际上巧妙地考查了同构法，对①②两式的结构必须深刻理解，否则难以应用，这属于信息题的范畴.对于①还有等差数列的印迹，通过递推能实现各项向a1的转化.对于②学生不曾接触，是一个新鲜模式，必须理解到：相邻偶数项和是与a1无关的一个实数，否则无法推进解答.整个解题过程都离不开递推关系的结构引领.

三、练习链接

A.0 B.mC.2mD.4m

参考答案：B.(提示：利用中心对称的结构特征解答.)

2.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____.

参考答案：x<-1或0

有些式子的结构很明显，可以直接使用同构法解题，如例1、例4；有的式子结构不明显，需要重构，重构的关键在于对问题本质的把握，凑足条件，如例2、例3；有的式子的含义是临时赋予的，需要在当时的情景中比对应用，如例5.同构法解题相对灵活，既需要扎实的基本功，又有相当的灵活性.它往往是突破难题的有力武器.