数列与其他知识的交汇

徐 燕

(浙江省杭州市萧山区第三高级中学 311200)

“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.”这是高考对数学知识点间的交汇的总体指导思想，有效交汇知识，创新应用，在高考中出现的频率越来越多.以数列为背景，与集合、不等式、算法、解三角形、数学文化等知识与背景的交汇，更是数列问题中的重点与交汇所在，是高考中的热点与亮点之一.

一、数列与集合的交汇

例1(江苏省南通等七市2019届高三第二次调研测试·14)已知集合A={x|x=2k-1，k∈N*}，B={x|x=8k-8，k∈N*}，从集合A中取出m个不同元素，其和记为S；从集合B中取出n个不同元素，其和记为T.若S+T≤967，则m+2n的最大值为____.

分析根据题目条件，要使得代数式m+2n取得最大值，一定是集合A中最小的m个不同元素与集合B中最小的n个不同元素的和，进而结合数列求和建立相应的不等式，配方处理，再利用基本不等式的转化，求解二次不等式，得到关系式的最值问题.要注意参数m，n必须是正整数的取值限制，对相应的最大值要加以合理调整.

解析根据题目条件，要使得m+2n取得最大值，一定是集合A中最小的m个不同元素与集合B中最小的n个不同元素的和，即(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+…+(2m-1)+(8×1-8)+(8×2-8)+(8×3-8)+…+(8n-8)≤967，整理有m2+4n2-4n≤967，配方可得m2+(2n-1)2≤968.

点评巧妙以集合为问题背景，通过数列与集合等不同知识点、不同数学思想方法的有机融合与交汇，提升数学知识点的深度与广度，更有效考查数学能力与创新应用，因而备受命题者的青睐.

二、数列与不等式的交汇

A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0

分析利用条件中的递增数列的性质建立对应的不等式，结合指数不等式的转化与应用，结合通项公式加以变形与转化，利用等价变形得到相应的不等关系式.

解析由于{ea1an}是递增数列，可得ea1an0，故选D.

点评利用数列的基本性质(包括单调性、周期性等)来巧妙设置，特别结合单调性这一基本性质，可以进一步融合与交汇不等式问题.此类问题在解决数列问题中经常会加以涉及与应用.

三、数列与算法的交汇

例3阅读如图1所示的算法流程图，执行程序后输出的S的值是____.

图1

分析识别算法流程图，确定程序的基本功能是数列求和，确定起止参数，建立数列求和的关系式，结合三角函数规律与性质加以合理运算.

在2018云南企业100强、制造业企业50强榜单中，云南祥丰实业集团有限公司位列云南企业100强第34位，位列云南制造业50强第14位。

点评以算法背景与循环结构的设置来建立数列的求和关系，巧妙融入三角函数的图象与性质，实现数列求和的转化与应用，综合性强，融合度高.

四、数列与解三角形的交汇

例4已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且满足a2+b2+c2=63，则边长b的取值范围是____.

分析利用等差数列引入公差参数d，结合条件建立涉及b与d的方程，根据参数d的取值情况来确定b的最大值，再结合三角形与不等式性质来确定b的最小值.

点评综合等差数列、解三角形、平面几何、不等式等众多知识，实现数学知识、思想方法和能力的融合与交汇.

五、数列与数学文化的交汇

例5 (2019·丽水模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊的主人说：“我羊食半马.”马的主人说：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？以上问题的翻译如下：现有牛、马、羊吃了别人家的禾苗，禾苗的主人要求牛、马、羊的主人共赔偿5斗粟的损失.羊的主人说：“我的羊所吃的禾苗数量是马的一半.”马的主人说：“我的马所吃的禾苗数量是牛的一半.”若按此条件赔偿5斗粟的损失，那么牛、马、羊的主人各应赔偿多少斗粟？若牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，其中1斗为10升，则下列判断正确的是( ).

分析本题以《九章算术》为背景考查我国优秀的传统文化，意在考查考生的阅读理解能力和解决实际问题的能力.通过阅读，转化为相应的等比数列问题，再利用等比数列的知识来分析与处理.

点评融合数学文化背景，结合数列的相关知识来抽象、建模、应用、综合.

知识点间的融合是知识的进一步深化与拓展，是高考命题倡导的一个方向，要引起高度重视.平时教学与学习时，要重视课本，重视基础，强调应用，倡导综合，提升能力，提高品质.