一类抽象函数解析式求法的反思

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

抽象函数在现行教材中没有介绍，但是有关抽象函数的题目在各类教辅资料中屡见不鲜，尤其是“已知f(ax+b)=g(x)，求f(x)”的试题在全国各地的高考卷中层出不穷.在教学中发现学生普遍掌握得不好，存在生搬硬套的现象，难以达到举一反三的水平.由此引发了我对此类问题的研究，通过探究这类问题的本质，发现“已知f(ax+b)=g(x)，求f(x)”的问题至少有5种解法.

一、概念说明

所谓复合函数是指形如y=f(h(x))的函数，其中u=h(x)叫做内层函数，y=f(u)叫做外层函数.复合函数的一个基本原理：内层函数的值域是外层函数的定义域.

二、解法探究

解法1 (定义法)因为f作用的对象是ax+b，于是我们可以将条件左端g(x)等价变形为关于以“ax+b”为运算对象的关系式.进而求得f(x).

例1 已知f(x+1)=x2+x-1，求f(x).

解析由于f(x+1)=x2+x-1=(x+1)2-2x-1+x-1=(x+1)2-(x+1)+1-1-1=(x+1)2-(x+1)-1.

由于x与x+1的取值范围相同，所以f(x)=x2-x-1.

评析这种解法要求学生思路清晰，运算目标明确，还要有一定的运算能力，否则难以实现目标，一般按照次数逐项拼凑，这种方法又称拼凑法.

①

于是f(t)=(t-1)2.

②

所以f(x)=(x-1)2(x≥1).

③

评析在①处学生容易绕不清，每一个等号的来历不理解；③处的定义域初学者容易忘记，也弄不清；③处的x与②处的t是同一个变量，只是记号与习惯而已，体现了内层函数的值域是外层函数的定义域.

解法3 (赋值法)在集合思想的引导下，通过对复合函数的内层函数u=ax+b进行适当地赋值，使得内层函数转化为最简形式u=x，从而求得f(x).

解法4 (待定系数法)若g(x)为一次函数，且内层函数是u=f(x)，此时f(ax+b)=g(x)变形为f(f(x))=g(x)，可以推证f(x)为一次函数(*)，进而可以通过待定系数法确定f(x)的斜率和纵截距.下面证明(*).

设f(x)=kx+b，那么f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+(kb+b).

因此，当g(x)为一次函数时，f(x)一定为一次函数.

比较系数可得关于k，b的方程组.

例4已知f(f(x))=4x+3，求f(x)的解析式.

评析这种解法适用于已知函数类型的题目.本质是建立相关参数的方程组，通过解方程组完成解答.

解法5 (平移法)当u=ax+b中的a=1时，由于y=f(x+b)是由y=f(x)平移而得，所以可以通过平移法则求解f(x).

例5 已知f(x-1)=x2+x，求f(x).

解析y=f(x-1)是由y=f(x)向右平移1个单位而得，由逆向思维得y=f(x-1)向左平移1个单位就是y=f(x).

所以f(x)=f((x+1)-1)=(x+1)2+(x+1)=x2+3x+2.

评析这种解法适用于u=ax+b中的a=1的情形，将图象平移与代数运算有机结合起来，从另外一种角度认识了抽象函数，有利于对抽象函数的理解.

三、教学反思

从以上几例可以发现，这类问题学生之所以掌握得不太好，是因为解法因题而异，必须根据题设灵活选择解题方法，尤其是定义域的处理变化多端，实质是求内层函数的值域.学生对此的理解是一个螺旋上升的过程，我们要遵循高一学生的认知规律，扎实有效地推进教学.

1.适度拓展，单元整体设计，理顺知识间的逻辑

《函数及其表示》一节主要介绍了函数概念和表示方法，其中还牵涉函数的定义域、值域、同一函数等概念.为了提高学生对函数概念的理解，我们有必要对定义域、值域、函数解析式求法进行拓展教学，否则学生难以适应后续的教学，也达不到高中数学教学要求.

对于定义域，一般常见的函数定义域问题学生均可以借助集合的知识完成，但是对于抽象(复合)函数的定义域学生非常迷茫，我们有必要介绍复合函数.首先要理解复合函数的概念，其次要理清内层函数、外层函数，再次要灵活应用“内层函数的值域是外层函数的定义域”解题.否则，学生难以应对以下三类定义域问题：已知外层函数f(x)的定义域，求复合函数f(g(x))的定义域；已知复合函数f(g(x))的定义域，求外层函数f(x)的定义域；已知复合函数f(g(x))的定义域，求另一复合函数f(h(x))的定义域.

对于值域，教材仅介绍了概念和简单例题.事实上，值域是一个复杂问题，随着学生知识面的扩大，难度越来越大.若处理不到位，抽象函数的定义域经常出错.

抽象函数解析式是本节的难点，解题方法多，诸如定义法、换元法、拼凑法，待定系数法、函数方程组法、特值法，并且应用灵活.在教学中应当做到单元整体设计、整体推进，知识融合，前后照应才能产生良好的教学效果.

2.开展深度教学，使学生把握问题本质

复合函数问题在教材上未有涉及，但是高考中时常出现.因为这是一个拔高的要求，能考查学生的数学思维品质.众所周知，把问题一般化才能深入理解问题.深度教学的发生离不开教学的组织与引导,我们必须克服教学过程中表面、表层、表演的局限，引导学生深层、深刻、深度学习.经历从理论到实践的一整套思维过程和行为模式的转化，深度教学才能促进深度学习真实发生.

3.充分调动学生积极性，落实实践教学

实践教学尤为重要，讲一讲，做一做，变式训练及时跟上.抓住高一新生善于表现的特征，可以开展现场限时解题比赛，既能提高速度，又能增大课堂容量.学生现场板书必不可少，小组合作突破难点，同伴互助找到自己认识上的误区，不能搞老师一言堂.让学生点评是提高全体学生思维的好办法，同龄人思维接近，看待问题相近，纠正一题就提升一片.何乐而不为呢？

4.遵循教学规律，递进式推进教学

问题之所以困难，是因为有的学生理解不到位，老师推进太快.我们要遵循教学规律，先教会内层函数值域为R的，再给出内层函数值域非R的；最后再介绍几何法(平移)；然后将内层函数复杂化，值域非R，有一定计算量的.递进式教学符合学生的认知特征，让问题越来越深刻，学生就真正掌握问题了.