浅谈GeoGebra在椭圆解题教学中的应用

张国梅

【摘要】2020年新高考方案推出“3+3”模式，数学成为必考科目之一.在新出版的《普通高中数学课程标准（2017年版）》的思想下，如何利用信息技术环境提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学核心素养，已成为课程改革的重点问题.

【关键词】高中数学;信息技术;核心素养

【基金项目】本文系广东省教育技术中心2018年度青年课题《利用信息技术培养学生数学核心素养的研究》（课题立项号：18JX07230）的研究成果之一

在现代的社会中，信息技术已经融入生活中的各个领域，当然也为新时代的教学提供了更多的选择与机会.在高中数学教学过程中，特别是圆锥曲线这一章中，利用信息技术软件作为平台，能够创设多样性的教学方式，提高学生学习的兴趣，丰富教学内容，增加教学的有效时间，拓宽学生的解题思路，提高学生的解题速度.本文主要讲解在信息技术环境中GeoGebra在椭圆解题中的应用.

例1 如图1，已知一个动圆与两个定圆（x-2）2+y2=14和（x+2）2+y2=494均相切，动圆圆心的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程;

（2）过点F（2，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，设l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于C，D两点，线段AC，BD分别与直线x=2交于M，N两点.求证MF∶NF为定值.

解析 （1）在求曲线C的轨迹方程之前，先确定两定圆之间的位置关系.两个定圆为（x-2）2+y2=14和（x+2）2+y2=494，

设动圆圆心为P，半径为r，

两定圆的圆心分别为F1（2，0），F2（-2，0），

半径分别为12，72，

∵F1F2=22<72-12=3，

∴两个定圆内含.

∵动圆P与两个定圆均相切，

∴PF1=12+r，PF2=72-r，∴PF1+PF2=12+72=4，

∴动点P的轨迹为以F1（2，0），F2-2，0为焦点，以4为长轴长的椭圆，∴曲线C的方程为x24+y22=1.

（2）当l1，l2平行于坐标轴时，易知MF∶NF=1.

当l1，l2不平行于坐标轴时（如图2），

设l1：x=my+2，

l2：x=-1my+2，

将l1的方程代入曲线C的方程消去x化简得：

（m2+2）y2+22my-2=0，

∴yA+yB=-22mm2+2，yAyB=-2m2+2.

同理可知yC+yD=22m2m2+1，yCyD=-2m22m2+1.

直线AC：y-yAyA-yC=x-xAxA-xC，

令x=2可得y=2-xAyA-yCxA-xC+yA.①

∵l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于C，D两点，

∴xA=myA+2，xC=-1myC+2，

代入①式化简得y=（m2+1）yAyCm2yA+yC，

∴M2，（m2+1）yAyCm2yA+yC，同理可得N2，（m2+1）yByDm2yB+yD.

∵（m2+1）yAyCm2yA+yC+（m2+1）yByDm2yB+yD

=（m2+1）yAyCm2yA+yC+yByDm2yB+yD

=（m2+1）m2yAyB（yC+yD）+（yA+yB）yCyD（m2yA+yC）（m2yB+yD）

=（m2+1）m2·-2m2+2·22m1+2m2+-22mm2+2·-2m21+2m2（m2yA+yC）（m2yB+yD）=0，

∴MF=NF.综上所述，MF∶NF为定值1.

分析 此题在GGB软件技术下，第（1）问学生通过直观的图形首先了解了两个定圆的位置关系：内含，从而确定所要求的动圆与小圆外切，与大圆内切，这样容易建立方程关系求解曲线C的轨迹方程;第（2）问由于线段AC与BD都是过定点F的动直线，则点M，N都是随着动直线变化而变化，首先从两条特殊的直线下笔，当l1，l2平行于坐标轴时，能够得到特殊情况下的MF∶NF=1，然后讨论不平行于坐标轴时，也就是一般情况下的两条动直线，设定直线方程，求出M，N两点坐标.这道题目对学生的数学运算能力要求比较高，不仅要求学生能够利用图形与图形之间的关系抽象出数学概念、一般的规律，还要能够用数学的语言来表示.

例2 如图3，已知A-2，0，B（2，0），点C，D依次满足AC=2，AD=12AB+AC.

（1）求点D的轨迹.

（2）过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.

（3）在（2）的条件下，设点Q的坐标為1，0，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PA，PB都相切？如果存在，求出P点坐标及圆的方程;如果不存在，请说明理由.

解析

（1）由题目知，AC=2，A-2，0，可得C点是以A点为圆心，以2为半径的圆上的动点，则可以得到C点的轨迹方程为（x+2）2+y2=4.

由AD=12AB+AC得

点D为线段BC的中点.

假设D（x，y），Ca，b，又B（2，0），

∴2x=a+2，2y=b+0 a=2x-2，b=2y.

∵a+22+b2=4，

∴将上式代入得x2+y2=1.

（2）如图4，设直线l的方程为y=k（x+2），①

椭圆的方程为x2a2+y2a2-4=1（a2>4），②