一个对称图例的研究
2021-08-04高锐敏袁泽明
高锐敏 袁泽明
【摘要】如果一个图的自同构群作用在它的弧集上是传递的，那么称这个图为对称图.这里给出了一个2·32阶图例，它是一个点传递但边不传递的4度正则图，可通过找覆盖图的方法将其变成对称图.
【关键词】边不传递;全自同构群;覆盖图;对称图
【基金项目】河南省高等学校青年骨干教师培养计划（2019GGJS262）
一、引言
本篇文章中若无特别说明，所指的图均为有限、无向、简单的连通图.这里我们用V（X）、E（X）和Aut（X）分别表示图X的顶点集、边集和全自同构群.对于群理论的常用概念和记号，及一些有关群理论的性质和定理，文献[1][2]中有详细阐述，而一些关于图论的概念和性质，详见文献[3][4][5].
定义1 设G为有限群，S为不含单位元的子集，我们如下定義群G关于子集S的Cayley（有向）图X=Cay（G，S）：V（X）=G，E（X）={（g，sg）|g∈G，s∈S}.
命题1 （有向）图X=（V，E）同构于群G的Cayley（有向）图，当且仅当Aut（X）包含一个同构于群G的正则子群.
定义2 称图X是点传递、边传递、弧传递的，如果Aut（X）传递作用在图X的顶点集上、边集上、弧集上.
依据图的点传递性、边传递性及弧传递性，可将图分为不同的类型：点传递但边不传递图、边传递但点不传递图、半传递图、半对称图及对称图等.
对图的研究近年来主要集中在Cayley图上，尤其是讨论其正规性与分类.改变图的对称性也是图论领域研究的一个主题，但是研究结果表明，图的对称性往往是变弱而不是变强.文献[11]通过找覆盖图的方法来增强图的对称性，这里给出了一个具体的2·32阶图例，并对其覆盖图进行研究.
二、关于图X=Z6×Z3的主要结果
设V（X）={iji∈Z6，j∈Z3} 与E（X）={{ij，（i+1）j};{ij，ij+1}i∈Z6，j∈Z3}分别为图X=Z6×Z3的点集合和边集合，则有如下结论：
引理1 X=Z6×Z3为点传递但边不传递的4度正则图.
证明：记A=Aut（X），
设6轮换a：ij→（i+1）j，i∈Z6，j∈Z3，3轮换b：ij→ij+1，i∈Z6，j∈Z3，
显然有a∈A，b∈A.因此，A在此18个点上传递.另外，过边{11，21}有长为6的圈，而过边{11，12}没有长为6的圈，故X边不传递.
命题2 设G≤SΩ，i∈Ω，则有下述等式成立：GiiG=G，其中iG={igg∈G}.
定理1 设X=Z6×Z3的全自同构群A=Aut（X），则：AD12×D6.
证明：一方面，由6轮换a：ij→（i+1）j，i∈Z6，j∈Z3，显然有a∈A.
对换b：ij（1-i）j，i∈Z6，j∈Z3，显然有b∈A.再考虑到ab=a-1且bZ6，所以
另一方面，由点传递性，知A=1A1A11=18A11，又A11=2A111A11，21，由于21在A11的作用下能且仅能变到61，因此A11=2A111A11，21=2A11，21，令B=A11，21，显然B也固定61，从而也固定31，51，41，于是B=A11，21，31，41，51，61，又B=1B2B12，因为12在B的作用下能且仅能变到13，所以B=2B12，不难观察到B12也固定了13.B12已经固定了11的4个邻点，从而也固定其余各点，故B12=1.因此A=18×4=72.
综上可知，AD12×D6.
[STHZ]三、覆盖图[STBZ]
定理2 图Y为带有自环的C3的Z6覆盖，其中圈C3的任两点（不妨设第2个点与第3个点）之间加电压值3，其余均为平凡电压，则有：Y为2·32阶的4度对称图.
证明：图Y的顶点集：V（Y）={iji∈Z6，j∈Z3};
图Y的边集：E（Y）={{ij，（i+1）j}，{i1，i2}，{i3，i1}，{i2，（i+3）3}i∈Z6，j∈Z3}.
设a：1111;2222;3333;4141;5252;6363;2112;3143;5142;6113;5332;2362.
b：ij→（i+1）j，i∈Z6，j∈Z3.
c：ij→ij+1，i∈Z6，j∈Z3-{2}，i2→（i+3）3，i∈Z6.
d：ij（2-i）j，i∈Z6，j∈Z3.
记A=Aut（Y），下面验证a∈A.
先验证{ij，（i+1）j}a∈E（Y），i∈Z6，j∈Z3：
{11，21}a={11，12};{21，31}a={12，43};{31，41}a={43，41};{41，51}a={41，42};
{51，61}a={42，13};{61，11}a={13，11};{12，22}a={21，22};{22，32}a={22，53};
{32，42}a={53，51};{42，52}a={51，52};{52，62}a={52，23};{62，12}a={23，21};
