二连杆机械臂的重复性滑模控制

2021-08-03赵逸吉

科技创新与应用 2021年20期

关键词：重复性滑模转角

赵逸吉

（延锋安道拓座椅有限公司，上海201315）

1 项目概述

本文的控制对象是一个二连杆机器人，如图1所示，目标是使其末端器（end effector）跟踪一条周期性的期望路径，误差尽可能小。

图1 控制对象的实物图与示意图

两个Maxon EC电机用于分别控制两杆，正交编码器记录脉冲数，同时计算转动的角度。由于存在摩擦、重力力矩变化，尤其还有因齿隙（backlash）等装配误差，该控制对象是一个非线性较强的二阶系统。为使其精确受控，拟采用重复控制（RC）。

重复控制最初在20世纪80年代被提出[1]，是基于内模原理的控制方法，能有效抑制周期性干扰并达到高精度控制，因此受到广泛的关注。近期仍有许多学者对此进行研究，如LinLin Li等人将其应用在纳米定位器上[2]；Lennart Blanken等人设计组合了多个重复控制器以达到更高精度且快速收敛的目的[3]；Hassan Farokhi Moghadam等人使用自适应快速傅里叶变换（AFFT）来辅助重复控制得到干扰的精准周期[4]。

然而，应用重复控制需要上个周期的系统信息。故控制伊始，先采用滑模控制（SMC），几个周期后，采用基于SMC修改的重复控制律。

2 相关假设

2.1 齿隙干扰

电机的转角为编码器计数而得，但由于齿隙的存在，实际情况会有误差。为消除此误差，一般会建立反向齿隙模型，如Chunyi Su等人提出的连续时间动态模型[5]。

然而，由于难以构筑精确的反向齿隙模型，将其应用在控制算法里容易导致失稳。这是因为在机械臂改向时，电机的转角大小会有一个跳变。故本文将齿隙归为了干扰的一部分，试图通过控制算法来尽可能降低齿隙的影响，同时也成为了衡量控制方法抗干扰性的一条指标。

2.2 摩擦识别

根据实验数据，本文选取所应用电机的摩擦模型，为库仑及粘性摩擦的组合。摩擦识别如图2所示。

图2 电机摩擦模型

由此，电机电流与角速度的关系被拟合，并将其转化为摩擦力矩与角速度的关系，总结成如下的关系式：

式（2）是应用本文所述控制方法的前提，允许摩擦力矩估计值与真实值有一定程度的偏差，此偏差上限F需根据实验数据合理设置。

3 控制方法

本节介绍控制方法的具体内容。总体步骤为：（1）建立系统的数学模型。（2）根据模型求取系统总动能与总势能。（3）解拉格朗日方程得到运动方程。（4）在一种适合于非线性系统的自适应鲁棒控制律的基础上，融入重复控制思想，形成本文所提议的控制律。

由于控制对象的几何参数一定，末端器的位置可由两杆转角确定。故末端器的周期性期望路径，亦可转化为两个转角的周期性期望路径。

如图3建立坐标系，设杆长是l1和l2，质量是m1和m2。两杆质心到转轴的距离为r1和r2，而两质心坐标为：（正余弦简写，如sinθ1与cosθ2简写为s1与c2）

图3 建模示意图

对式（3）求一阶导后得：

由上式所得速度求取系统总动能得：

其中Iz1与Iz2为两杆在质心处的转动惯量。将式（3）和（4）代入（5）经化简得：

其中：

注意到α、β、γ皆为常数，故系统总动能仅由其姿态（两转角之差）及转速决定。而系统总势能为：

得到总动能与总势能后，即可计算拉格朗日函数：

将其代入拉格朗日方程：

由式（10）可导出系统的运动方程，经整理即可写成如下形式：

其中q=[θ1θ2]T，τ=[τ1τ2]T，且H、C、g三个矩阵分别为：

注意到式（11）一开始是不含有摩擦项f（q˙）的，而是在推出运动方程后补加进去的。事实上，从式（6）可以直接导出H（q），因为动能并且，C（q，q˙）中的每一项，也就是Ckj，皆可用H（q）经由克氏符（Christoffel symbols）计算而得：

针对式（11）形式的运动方程，如Slotine教授所述[6]，一种自适应鲁棒控制律（滑模控制）如下：

通过构筑合适的李雅普诺夫函数（Lyapunov function）可证明式（14）的稳定性及鲁棒性[6]。K的取值也在此过程中确定，其涵盖了式（2）中的摩擦力矩偏差上限F。针对本文中的系统，Y与a如下：

在应用式（14）所示的自适应鲁棒控制律控制系统几个周期后，即可应用本文所提议的重复控制律：

重复控制有多种形式，比如可以配合扰动观测器（Disturbance observer）使用，而上式是其中一种经尝试简明有效的控制律。其中，i代表每个迭代（iteration），N为一周期内迭代次数，Q是一个低通滤波器，C是需要被调试的常数（正值）对角矩阵。滤波器在重复控制中是极其必要的，否则扰动将使系统不可控，在每个周期都发生叠加，愈演愈烈。