“特殊值”思维在初中数学中的作用

陈洁

（云南省昭通市威信县第一中学，云南 昭通 657900）

“特殊值”是什么意思呢？说得准确点“特殊值”就是特定的值，而“特殊值”思维呢也就是指如果一个一般性问题一时不易解决，不妨先考虑它的特殊情形，通过对特殊情况的研究，从而发现解决一般性问题的方法，这种思维就是“特殊值”思维。

三十多年的初中数学教学生涯，深深体会到初中数学教学中的很多问题用“特殊值”来解决作用很大，这对我们老师和学生们在数学问题的探究及解决上帮助较大。

案例1：已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，

化简3la-bl+la+bl-lc-al+2lb-cl

很多同学遇到这样的题都很难理解，也不容易解决。觉得很抽象，由图可知a＜0，b＜0，c＞0，基础好的同学还会观察到lal＞lbl＞lcl，但是如何把题目中的绝对值符号去掉，就无从下手了，我们知道去掉绝对值符号关键是要确定绝对值里面的数是正数还是负数。该题中的a-b、a+b、c-a、b-c如何确定是正数还是负数呢？用一般思维来解决就比较复杂的和抽象，很多学生都无法解决，但是用“特殊值”思维就简单明了，根据a＜0，b＜0，c＞0且lal＞lbl＞lcl，可在其范围内取特殊值（确保a为负数，b为负数，c为正数且lal＞lbl＞lcl），当然取的特殊值为整更好便于计算，如a=-4，b=-3，c=1， 则 a-b=-4-（-3）=-1；a+b=-4+（-3）=-7；c-a=1-（-4）=5；b-c=-3-1=-4。

由-1是负数可确定a-b为负数，由-7是负数可确定a+b为负数，由5是正数可确定c-a为正数，由-4是负数可确定b-c为负数，根据非负数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于其相反数。

∴3la-bl+la+bl-lc-al+2lb-cl

=-3（a-b）-（a+b）-（c-a）-2（b-c）

=-3a+3b-a-b-c+a-2b+2c

=-3a+c

显然用“特殊值”思维很容易就去掉了绝对值符号，把一个不易解决的问题转化为一个容易解决的问题——化难为易，这让同学们感受到成功的快乐，体验独自克服困难，解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，增强他们学好数学的信心。

又如：案例2.若-1＜x≤2，化简lx+1l-lx-2l。

解析：该题思维一样，用“特殊值”思维就可搞定，在-1＜x≤2范围内取x为0（取的值最好避开端点值2），则x+1=0+1=1，x-2=0-2=-2，由于1为正数，所以当-1＜x＜2时x+1为正数，由于-2为负数，所以当-1＜x≤2时x-2为负数。

∴lx+1l-lx-2l

=x+1+(x-2)

=x+1+x-2

=2x-1

如果我们把x的取值范围改为-2＜x＜5，化简lx+1l-lx-2l时要先求出零点值，x+1=0，x=-1；x-2=0，x=2，则取值范围划分为：-2＜x＜-1，-1≤x＜2，2≤x＜5，再分别在其范围内取“特殊值”，如-2＜x＜-1时取x=-1.5来看：x+1=-0.5为负数，x-2=-3.5为负数，所以lx+1l-lx-2l=-x-1+x-2=-3，当-1≤x＜2时取x=0来看，（取的值最好避开端点值-1），x+1=1（正数），x-2=-2（负数）

∴lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1

当2≤x＜5时取x=3来看（取的值最好避开端点值2），x+1=4（正数），x-2=1（正数）

∴lx+1l-lx-2l=x+1-（x-2）=3

如果我们又把x的取值范围去掉，题目改为化简lx+1l-lx-2l，零点值求出来为-1和2，则x的取值范围为：x＜-1；-1≤x＜2；x≥2，分别在各范围内取“特殊值”再讨论化简，当x＜-1时不妨取“特殊值”x=-2，则x+1=-1（负数），x-2=-4（负数），所以lx+1l-lx-2l=-x-1+x-2=-3。当-1≤x＜2时，不妨取“特殊值”x=1，则x+1=1（正数）；x-2=-1（负数），所以lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1，当x≥2时，不妨取“特殊值”x=3（取的值最好避开端点值2），则x+1=4（正数）；x-2=1（正数），所以lx+1l-lx-2l=x+1-（x-2）=3。（注：避开端点值其目的是判断其是正数或负数，免得值为0时不能确定其绝对值是本身还是相反数。）

综上所述：当x＜-1时，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=-3

当-1≤x＜2时，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1

当x≥2时，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=3

数学学习中，通过“特殊值”入手进行分析，将复杂的问题转化为简单易懂的问题，增强了同学们战胜困难的信心，提高了他们分析问题、解决问题的能力。

“特殊值”思维不但在初中代数学习中作用较大，在初中平面几何学习中同样用途也很广。

案例4：已知∠MON，在∠MON内画很多条射线，如果加上∠MON的两边OM和ON共有n条射线，问图中共有多少个角，（①小于平角的角；②用n的代数式表示；③n≥3。）

因为n不是具体的数字，所以学生们理解及解决都很困难，但如果把n给一个“特殊值”就很简单了。

1.当n=3时，如图（一）所示，一看共有3个角，分别为∠MOA，∠MON和∠AON。

又如：

例5：将两个直角三角形纸板，如下图所示的摆放，∠ACB=∠CED=90°，∠A=∠B=45°，∠ECD=60°，CF平分∠ACE，CM平分∠BCD，求∠FCM的度数。

这是一道难度较大的几何题，求解不易，绝大多数学生都难解决，但是我们把图（一）稍微改变，变成：如图（二）所示的特殊情形问题就好解决了。

∴∠FCM=∠FCE+∠BCM

=45° +30°

=75°

但只从这种特殊情况下求得的∠FCM的度数，在图（一）这种情况下是不是还是75°呢？

在图（一）中：∵CF平分∠ACE，CM平分∠BCD

其是，我们将60°的∠ECD绕C点旋转任意角度（如图（三）或如图（四））在相应的情况下求得的∠FCM都等于75°。这种从特殊位置着手分析解决问题，变抽象为具体，把不易解决问题转化为特殊形式的问题来探究，并且发现图（二）的∠FCM等于一个具体的数“75°”，这让同学们联想到其他情况下，这个∠FCM会不会都是“75°”，这揭发了同学们探索数学问题的兴趣。

利用“特殊值”思维来解决数学问题的情形还很多，由此可见“特殊值”思维在初中数学教学中作用很大，它让同学们把复杂抽象的问题转换为简单特殊的问题来解决。让学生们对数学有好奇心和求知欲，在解决问题的过程中让他们体验获得成功的乐趣。锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心，这样对他们学习数学帮助很大，所以在初中数学教学中请我们的老师和同学们大胆用“特殊值”思维来解决数学问题，当然也要分情况来看，具体问题具体分析，也并不是所有问题都能用“特殊值”思维来解决。