变分贝叶斯估计图像滤波去噪算法

张睿敏，张甲艳，陶 冶

(兰州工业学院 计算机与人工智能学院，甘肃 兰州 730050)

0 引 言

图像去噪、分割等处理是计算机视觉的基础，而在采集图像时，不管是像素多高的相机拍摄的图像一般不但包含主体图像图案，也包含一些阴影和噪声，这是由于光照、拍摄角度、相机抖动、传输等不同原因造成的。在图像精确分割中，需要在分割前对图像做一些预处理，以便得到清晰精确的主体图像。变分贝叶斯估计图像滤波去噪算法(image filtering and denoising algorithm based on variable Bayes estimating，IFDA-VBE)不但能进行状态估计，而且能够对系统模型参数进行估计，在对参数建模时需要清晰图像的先验知识来建立未知量的后验分布。而在图像数据表示中，噪声一般设定为均匀的高斯噪声，任选n个瞬时噪声值，建立概率密度函数表示其分布。其他基于变分贝叶斯的算法要么将其转化为平滑问题，离线处理；要么需要预测图像噪声的未知协方差，并且在滤波去噪实现过程中，时刻都要给定一个初始噪声协方差。因此，提出一种有效的图像滤波去噪算法，具有很大的理论和实践意义。

文献[1]在贝叶斯估计框架下，对运动图像中的噪声进行处理，提出了MAP(maximum a posterior)方法，该方法能在一定程度上对运动模糊图像进行部分复原，但是缺点是数据过度拟合；孙韶杰等在文献[2]中提出利用贝叶斯估计盲复相机抖动模糊图像，利用贝叶斯估计和自然图像梯度统计，该算法能较好地对模糊图像进行盲复处理，但是算法仅限于相机抖动造成的模糊噪声问题。文献[3]针对(MAD)中值估计方法对噪声方差估计不精确的问题，提出一种改进的噪声方差估计算法，它的估计精度高于MAD算法对噪声方差的估计精度，能对含有不同高斯噪声强度的CT图像进行去噪处理。基于小波系数统计模型的贝叶斯去噪技术是：利用小波系数分布的先验知识和小波系数的相关性来去除噪声，它比小波阈值去噪算法更加灵活。而小波系数统计模型的选择十分关键，文献[4]中Fox C.W等人用拉普拉斯分布描述小波系数，小波系数的估计是基于最小均方误差的。文献[5]中McLachlan G等人提出了基于隐马尔可夫树(hidden Markov tree，HMT)模型的贝叶斯算法，利用系数的相关性进行去噪。文献[6]中Zeng Xueqiang等人提出的算法简化了图像去噪过程中的计算，但会影响HMT模型的精确度。

该研究在贝叶斯估计理论的基础上，建立带有噪声的原始图像基于贝叶斯的概率模型，然后通过引入新的隐变量，给出过程噪声后验分布；在变分贝叶斯估计的框架下，定义贝叶斯估计图像滤波模型，推导、计算真实分布和近似分布之间的Kullback-Leibler距离，以迭代方式估计目标状态，提高状态估计精度，实现图像自适应滤波去噪；采用大量的真实模糊图像在MATLAB软件环境中进行实验，并且与软件包中的deconvblind算法进行了对比、分析和验证。

1 变分贝叶斯估计理论

变分贝叶斯估计(variational Bayesian inference，VBI)是以迭代方式在给定的变分模型中，对概率模型的隐变量后验分布进行局部最优估计。

变分贝叶斯估计一般是通过平均场理论将隐变量的后验按维度展开得到计算框架，并按维度迭代更新估计结果至算法收敛。VBEM(variational Bayesian expectation-maximization)是基于变分贝叶斯极大后验估计的最大期望算法[5]。

给定n维观测数据X和包含隐变量Z的数据模型，由贝叶斯定理可知隐变量的后验表示如下：

(1)

变分贝叶斯估计主要是在变分族[6]Q内，利用Kullback-Leibler散度寻找隐变量后验分布的最优近似解，问题表示如下：

Z)p(Z)]

(2)

由KL散度的性质可知，假设隐变量的后验分布都在变分族Q之内，并且隐变量的后验分布和变分族均为指数族分布，则得到式(2)的全局最优和局部最优。而变分贝叶斯估计使用平均场理论将n维数据的后验分布近似表示为式(3)，即为一系列一维概率分布的乘积并分别求解其KL散度。

(3)

若p(Z|X)本身不是变分族的成员，则式(3)中的KL散度不等于0。

2 变分贝叶斯估计图像自适应滤波去噪算法

2.1 原始图像基于贝叶斯的概率模型

一般情况下将带有噪声和图像降质处理的原始图像，采用如下的数学模型进行描述：

g(x,y)=k(x,y)⊗f(x,y)+n(x,y)

(4)

其中，f(x,y)表示原始输入图像，k(x,y)表示降质函数，n(x,y)表示随机噪声，⊗表示卷积操作，g(x,y)表示带有噪声的模糊输出图像。

通常图像模糊去噪的很多算法都是从概率的角度出发[7]，建立模糊问题(加一些约束)对应的方程。该文利用清晰图的先验知识，根据贝叶斯理论来建立未知量的后验分布[8]：

p(f,k|g)∝p(g|f,k)p(k)p(f)

(5)

对于表示图像信息的数据矩阵，模糊核也是一个矩阵表示，一般清晰图像与模糊核进行卷积操作后，图像会变模糊[9]。假设噪声为均匀的高斯噪声，则图像的似然描述为：

(6)

其中，σ是随机噪声的标准差，p(f)是清晰图像的先验约束，p(k)是模糊核的先验约束[10]。

在处理图像过程中，噪声通常被假设为零均值的高斯噪声，高斯噪声是一种随机噪声。因此，该噪声模型采用零均值的高斯噪声模型，任选n个瞬时噪声值，其值按高斯概率定律分布，即正态分布，概率密度函数为：

(7)

其中，μ表示z的期望或均值；σ表示噪声的标准差。

概率密度函数曲线如图1所示。

图1 概率密度函数曲线

2.2 基于贝叶斯的模型优化

在贝叶斯优化算法中，根据均匀分布来随机产生初始种群，而候选解都是从当前初始种群中选择得到；然后对选择后的种群进一步建立贝叶斯网络概率模型；再从模型的采样中获取新的候选解；最后，将获取到的新的候选解重新加入到原来的种群中，或者用新的候选解替代原来的所有的解[11]。以上过程不断重复循环，直到循环终止条件满足，则停止操作，其中，终止条件可以设置为已经找到的最优解，或者是不可能找到的更优的解。

基于贝叶斯的图像模型优化流程如下：

(1)设t:=0,随机生成初始种群p(0);

(2)从初始种群p(0)中选择候选解S(t);

(3)构建符合要求的贝叶斯网络概率模型；

(4)根据贝叶斯网络模型的联合分布函数产生新的候选解O(t);

(5)用O(t)代替P(t)中的部分解或所有解，形成新的种群P(t+1)；

(6)如果没有达到终止条件，转向第(2)步操作；

(7)循环重复操作，直到终止条件满足。

一旦确定了贝叶斯网络的参数和结构，则可根据贝叶斯网络中的概率分布来产生新的候选解。新的候选解的所有变量的值都遵守算好的顺序[12]，因为是按照遗传算法产生变量值的，所以在变量值产生时，变量的父节点必须已经产生了，变量值的分布是由相应的条件概率得到的。

产生变量值的算法描述如下：

(1)将所有变量初值设置为未处理状态；

(2)选择一个未处理的变量Xi，但其父节点变量已被处理过；

(3)将Xi设置为xi基于概率p(Xi=xi|∏xi=πxi)；

(4)将Xi置为已处理；

(5)如果还有未处理的变量，转到步骤(2)。

针对算法中保持候选种群的问题，该文参照Harik等人提出的CGA(compact genetic algorithm)算法，采用概率向量来表示候选解的概率分布[13]，即由概率向量随机生成个体，然后，只需按照一定策略随时更新概率向量，而不必保留候选解的种群。这极大地减少了存储空间。

2.3 算法分析

(1)收敛性定义。

算法的初始种群的选取是随机的，另外按照一定的原则选择样本建立了概率模型，所以按照概率搜索过程是一种进化过程[14]，在进化过程中，概率性是否一定收敛到全局的一个最优解，这需要对算法的收敛性进行分析。

参照分布估计算法的收敛性分析，定义贝叶斯优化算法的收敛性目标如下：

(8)

E(t)是种群在第t代的目标函数的平均值，如果

(9)

则说明贝叶斯优化算法是全局收敛的。

(2)采用比例选择收敛性分析。

比例选择是在比例选择中，个体被选择的概率和其适应值成比例[15]，贝叶斯优化算法的比例选择表示如下：

(10)

对于x∈D，f(x)，p(x)是连续的，由于f(x)，p(x,0)>0，p(x,t)是正的连续概率函数，并且对t≥0，E(t)

(11)

则：

(12)

至此，即：当p(x,0)为正，并在D上连续时，p(x,t+I)=ps(x,t)+σ(x,t)，当σ(x,t)≥0时，使用比例算子的贝叶斯优化算法收敛。

从上面的分析可以得出，在采用比例选择时，贝叶斯优化算法在σ(x,t)=0和σ(x,t)>0两种情况下，都能收敛到最优解[17]。也就是在模型有正误差和没有误差的两种情况下，贝叶斯优化算法都能收敛到最优解。

2.4 变分贝叶斯估计图像自适应滤波去噪算法

一般自适应滤波器在未知环境下也能良好的运作，关键是具有跟踪输入统计量随时间变化的功能。虽然对于不同的应用有不同的实现结构，但是它们都有一个基本的特征：输入向量X(n)和期望响应d(n)被用来计算估计误差e(n)，即e(n)=d(n)-X(n)，并利用此误差信号构造一个自适应算法的性能函数[17]，随着数据输入的变化，自适应地更新性能函数，目标是最小化性能函数。在此过程中不断地更新调整滤波器的滤波参数，使得这个参数在前面的最小化性能函数所使用的准则下最优，从而达到滤波效果，实现自适应过程。

首先，定义一般状态贝叶斯估计图像滤波模型，性能函数定义为：αt=(xt,μt,λt)，参数xt,μt,λt表示如下：

(13)

其中，xt为输入向量，μt为期望值，μt满足高斯分布特性，λt为精度矩阵，满足Whishart分布。

然后，利用贝叶斯后验概率分布进行计算：

p(αt|z1:t),z1∶t={z1,z2,…,zt}

(14)

最后，通过计算真实分布和近似分布间的Kullback-Leibler距离的最小化值，来实现滤波逼近。

(15)

约束条件为：

(16)

如前所述，通过最小化真实分布qt|t-1(αt)和近似分布p(αt|z1:t-1)之间的Kullback-Leibler距离来求解：

(17)

式中，相关参数的迭代公式为：

(18)

这样变分贝叶斯估计通过迭代的方式实现图像自适应滤波去噪。

3 实验结果与讨论

为了验证“变分贝叶斯估计图像滤波去噪算法”，采用大量的真实模糊图像在MATLAB软件环境中进行实验，并且与软件包中的deconvblind算法进行比较，选用Symlets小波进行尺度分解。

表1是不同噪声强度(信噪比)的图像通过deconvblind算法和变分贝叶斯估计图像滤波去噪算法(IFDA-VBE)处理后统计的参数，表中数据是信噪比，单位是dB，去噪性能通过均值和中值比较。

表1 不同算法去噪效果对比

图2是真实模糊噪声图像，图3是经过“变分贝叶斯估计图像滤波去噪算法”处理的图像。从实验结果获得的数据对比和图像整体视觉效果以及图像局部细节方面可以看出，“变分贝叶斯估计图像滤波去噪算法” 根据图像和噪声的特点，计算估计误差e(n)并利用此误差信号构造一个自适应算法的性能函数，随着数据输入的变化，自适应地更新性能函数，不断地更新调整滤波器的滤波参数，使得这个参数在最小化性能函数所使用的准则下最优，从而达到滤波效果。与其他算法比较后得出该算法比其他几种图像去噪方法更能提高去噪后图像的峰值信噪比，更好地保留了图像的细节特征，取得了较好的视觉效果，有良好的去噪效果。

图2 原始图像

图3 处理后的图像

4 结束语

随着数字图像滤波在遥感、交通、医学成像和军事监察等方面的广泛应用，要求也将越来越高，很多去噪方面的新思想、新方法不断地充实图像去噪方法。而噪声的出现是随机的，一般无法获知其确切的强度、范围等；噪声的研究范围也在不断扩大，由高斯噪声到非高斯噪声，对于随机非高斯噪声，一般都是选择合适的模型先来描述其统计特征，而贝叶斯框架(包括最大后验概率估计、最大似然估计和贝叶斯估计)都是比较常用的随机性算法。因为贝叶斯框架可以提供各种概率预测，自动对模型参数进行估计，所以广泛应用于图像处理的各个领域。

该文主要是利用变分贝叶斯估计去噪算法对图像进行去噪处理。首先分析了图像滤波去噪的意义和研究现状；然后对贝叶斯估计图像滤波去噪的理论基础进行了研究，在贝叶斯估计理论的基础上，建立带有噪声的原始图像基于贝叶斯的概率模型，通过引入新的隐变量，给出过程噪声后验分布；在变分贝叶斯估计的框架下，定义贝叶斯估计图像滤波模型，推导、计算真实分布和近似分布之间的Kullback-Leibler距离，以迭代方式估计目标状态，提高状态估计精度，实现了图像滤波去噪；最后通过大量的真实模糊图像在MATLAB软件环境中进行实验，并且与软件包中的deconvblind算法进行比较，从实验结果获得的数据对比和图像整体视觉效果以及图像局部细节方面可以看出，“变分贝叶斯估计图像滤波去噪算法”能提高去噪后图像的峰值信噪比，更好地保留了图像的细节特征，取得了较好的视觉和去噪效果。