数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究

丘荣华

摘 要：善于分析和解答数学问题是学生有效掌握数学知识的主要体现。但在实际解题中，有的学生不认真读题，忽略题目中的隐含条件，找不到题目中的关键解题信息。文章以数学解题教学为研究对象，探讨、分析隐含条件的含义、价值以及如何在数学解题中有效挖掘隐含条件，以引导学生正确解答数学题目。

关键词：初中数学;解题;隐含条件;信息;含义;价值;策略

中图分类号：G633.6 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2021）20-0090-02

有效挖掘数学题目中的隐含条件有利于学生正确、高效解题。但是，隐藏在数学题目背后的条件不易被学生发现、利用。尤其是比较粗心、不爱审题的学生更容易忽略题目中的隐含条件，从而影响到解题效果。因此，在数学解题教学中，教师有必要指导学生掌握挖掘题目中隐含条件的方法，让学生从题目中挖掘到有用的隐含条件，从而正确、高效解题。

一、隐含条件的含义

隐含条件是指隐藏在题目背后的条件。题目不会直接给出隐含条件，需要学生从题干或已知信息中分析、推理、转换，让其变得清晰、可用，从而为解题提供有效帮助。

二、隐含条件的价值

解答数学问题单靠题目中的显性条件是不够的，尤其是一些复杂的数学题目，不仅需要学生分析题目中的显性条件，还需要学生对题目中存在的关键词、涉及的公式进行重点分析。这样才能将题目中的各种信息挖掘出来，并运用于问题的解答中。另外，挖掘题目中隐含条件的过程也是锻炼学生思维能力的过程，可以让学生积累分析、理解、构建关系的方法和经验。这有利于提升学生的学习能力，促使学生多角度思考问题。

三、数学解题教学中隐含条件的有效挖掘策略

1.从数学题目涉及的概念中挖掘隐含条件

不同的数学题目涉及的数学概念不同，而这些数学概念经常隐藏可用的解题条件。因此，在数学解题教学中，教师可以从数学题目涉及的概念着手，引导学生利用其中的概念信息挖掘隐含条件。当学生得到隐含条件之后，就可以综合运用各种显性和隐性的条件，解答数学问题。

以下面這道数学三角形证明题为例。在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AB+BD=AC。

分析：这道题有∠B=2∠C、∠BAC的平分线交BC于点D等已知条件。但是学生仅依靠这些已知条件不能求证AB+BD=AC，需要从题目的已知条件分析涉及哪些重要的数学概念和定理，然后基于数学概念寻找题目中的隐含条件。根据题目已知条件，学生可知这道题目涉及等腰三角形、三角形外角的有关概念及性质，这样就可以将题目中的∠B=2∠C、∠BAC的平分线交BC于点D等信息联系在一起，做辅助线，延长CB到点F，并将点A和点F连接起来，形成另外一个△ABF，然后利用这个新构建的三角形寻找隐含条件。

解析：根据已知△ABC，延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，形成一个等腰三角形。根据等腰三角形的概念及性质，可以得到∠F=∠FAB，而根据三角形外角的性质，可得出∠ABD=∠FAB+∠F的隐含条件。所以，结合隐含条件，得∠ABD=2∠FAB=2∠F，而已知∠B=2∠C，得∠C=∠FAB=∠F。根据等腰三角形的性质，得出△AFC是一个等腰三角形，即AF=AC，由此推导出△FAD也是等腰三角形，继而得出AF=DF=DB+BF=DB+AB，最后得出AB+BD=AC。

反思：在解答类似题目时，教师可引导学生从题目已知条件出发，分析题目涉及的具体数学概念、性质以及定理，就如该道题目涉及等腰三角形、三角形外角性质，由此让学生推导出角相等、边相等等隐含条件，然后再对问题进行有效解答。

2.从数学题目中的字母、关系式挖掘隐含条件

一般的数学题目都含有字母、变量或关系式，而这些信息并非独立存在的，经常与题目中的隐含条件有密切联系。例如，在解答数学求值问题时，教师可以引导学生从题目中的字母、变量或关系式入手，寻找隐含在数学题目中的条件，从而借助隐含条件来解答问题。因此，在解答数学问题时，教师可以先让学生自行审题，掌握题目中存在的字母、变量以及关系式等信息，并分析这些已知信息的特定含义，由此突破题目的显性条件限制，寻找题目的隐含条件，然后再结合显性与隐性条件，对问题展开分析、探究。

以下面这道数学问题为例。实数x、y、z满足x+y+z=5， xy+yz+zx=3，那么z的最大值为多少？

分析：对于这道数学问题，学生必须学会运用题目中的字母、关系式等已知信息条件，挖掘隐含条件。例如，根据x+y+z=5， xy+yz+zx=3，得到y=5-x-z，而将这个等式代入xy+yz+zx=3，得到x2+（z-5）x+（z2-5z+3）=0。从这个关系式中，可以得到一个以x为主元的一元二次方程隐含条件。依靠这个隐含条件信息，学生可以继续判断、分析、转化这个新的一元二次方程，以求出z的最大值。

解析：由x+y+z=5，得y=5-x-z，代入xy+yz+zx=3，消去y，得x2+（z-5）x+（z2-5z+3）=0。根据题目已知条件，x是实数，则一元二次方程x2+（z-5））x+（z2-5z+3）=0的根的判别式Δ≥0，得（z-5）2+4（z2-5z+3）≥0，则≤z≤，所以z的最大值是。

反思：在解题过程中，如果学生没有仔细从字母、变量以及关系式中寻找隐藏条件，就无法正确、顺利解答此题。因此，学生要注意题目条件中的字母、变量、关系式等信息，并根据这些信息创建新的联系，由此寻找到隐含条件。

3.从数学题目中的生活生产实际问题挖掘隐含条件

对于涉及实际生活生产的数学问题，教师可以引导学生讨论其中变量的运用范围、变量间满足的关系，以此挖掘题目中的隐含条件。要给学生预留一定时间，让学生将题目中的变量勾画出来，并重点标注题目中的数字信息、文字信息等，方便分析问题时快速寻找到可用的信息。