WOD随机变量序列加权和的完全收敛性

章茜，蔡光辉

（1.浙江机电职业技术学院数学教研室，浙江杭州310053；2.浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州310018）

0 引 言

在统计学中，最小二乘估计、密度核估计、递归密度核估计、非线性核估计等统计量均为随机变量加权和形式，对随机变量加权和极限性质的研究很重要。在实际应用中，考虑独立性假设的不合理性，很多相依结构被相继提出。因此，研究相依结构的随机变量序列具有一定的理论和实际意义。

WANG等［1］提 出 了 宽 相 依（widely orthant dependent，WOD）随机变量序列概念，其定义为：

定义1［2］如果存在有限的实数序列{gU(n)，n≥1}，任取n≥1和xi∈(-∞，+∞)，1≤i≤n，满 足P(X1>x1，X2>x2，…，Xn>xn)≤为上宽相依（widely upper orthant dependent，WUOD）随机变量序列；如果存在有限的实数序列{gL(n)，n≥1}，任取n≥1和xi∈(-∞，+∞)，1≤i≤n满足

则称{Xn，n≥1}为下 宽相依（widely lower orthant dependent，WLOD）随机变量序列；如果{Xn，n≥1}既是WUOD随机变量序列，又是WLOD随机变量序列，则称{Xn，n≥1}为WOD随机变量序列，其控制系数记为g(n)=max{gU(n)，gL(n)}。

WOD随机变量序列是较负相依（negativelyorthant dependent，NOD）序 列 和 扩 展 负 相 依（extended negatively dependent，END）序列［2-6］等更为广泛和一般的随机变量序列。自WOD随机变量序列概念提出以来，众多学者对其进行了研究，如蔡光辉等［7］在独立随机变量序列重对数律基础上，获得了不同分布WOD随机变量序列的重对数律；丁洋等［8］获得了WOD随机变量加权和的完全收敛性；TAO等［9］获得了WOD随机变量序列滑动平均的完全收敛性；LIU等［10］获得了WOD随机变量序列的矩完全收敛性；YAN［11］研究了负宽相依（WNOD）随机变量序列的几乎处处收敛性及在非参数模型中的应用；WU等［12］在R-h-可积条件下获得了WOD随机变量序列的一些极限性质。

完全收敛性的概念最先由HUS等［13］提出并进行研究，其在强大数定律和强收敛速度研究中具有十分重要的作用。CHEN等［14］获得了一类NOD随机变量加权和的完全收敛性，其结果为

定 理1［14］设1<α≤2，α<γ，{X，Xn，n≥1}

为同分布的NOD随机变量序列，且EX=0，E|X|γ<∞。设实数三角阵列{ank，1≤k≤n，n≥1}满足

则

本文将定理1推广至WOD随机变量序列的情形，在证明方法上亦与传统的先对随机变量进行截尾的方式有所不同。

定 理2 设1<α≤2，α<γ，{Xn，n≥1}是WOD随机变量序列，且被随机变量X所控制，满足EX=0，E|X|γ<∞，控 制 系 数 为g(n)=(logn)αγ(1+δ)，δ>0。设实数三角阵列{ank，1≤k≤n，n≥1}满足式（1），则对任意的ε>0，式（2）成立。

注1 定理2将定理1推广至WOD随机变量序列的情形，定理1是定理2的特例。

注2 与定理1相比，定理2取消了同分布这一条件。

注3 文献［8］研究的是经典的Baum-Katz型完全收敛性，定理2研究的是尾为n1α(logn)1γ形式的完全收敛性，是对Baum-Katz型完全收敛性的拓展。

本文中，C表示正常数，在不同情形下值可能不同。an≪bn表示an=O(bn)，而an=O(bn)表示an≤Cbn，记logx=ln max{x，e}，#A表示集合A中包含的元素个数。

1 定理的证明

为证明定理2，需要以下引理。

引理1［2］设{Xn，n≥1}为WOD随机变量序列，如果{fn(⋅)，n≥1}为均非升（或均非降）函数，则{fn(Xn)，n≥1}仍为WOD随机变量序列。

引理2［16］设随机变量序列{Xn，n≥1}被随机变量X所控制，则对任意的v>0，x>0，n≥1，有

（i）E|Xn|vI(|Xn|≤x)≤C{E|X|vI(|X|≤x)+xvP(|X|>x)}；