相似三角形存在性问题的常见题型与解题策略

龚辉

【摘要】相似三角形的存在性问题在初三模拟测试或中考中常以压轴题的形式出现.这类问题的综合性强，考查的知识点多，对学生的能力要求较高，涉及方程与函数、数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，尤其与动点问题、二次函数相结合，在提高学生思维能力的同时兼顾了对学生运算能力的培养.

【关键词】相似三角形;存在性问题

相似三角形存在性问题在初三模拟测试或中考中常以压轴题的形式出现.这类问题的综合性强，考查的知识点多，对学生的能力要求较高，在中考中占有十分重要的地位.

由于这类问题通常在二次函数或动点问题、动图问题的背景下展开，因此，题目会涉及方程与函数、数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，对学生的思维能力、運算能力有较高的要求.

本文拟对相似三角形存在性问题的题型做一个梳理，以期帮助学生形成解题策略，形成基本的解题范式.

一、已知一组对应角相等

相似三角形存在性问题的最常见题型是：两个目标三角形或显然、或隐含有一组对应角相等（如公共角、对顶角、直角、平行条件下的同位角、内错角等）.根据两个三角形相似的判定方法，在已知一组对应角相等的前提下，只需再判定这两个角的夹边对应成比例，或另外再寻找一组角对应相等，因此会出现如下几种分类讨论的情况.

（一）隐角相等之对应边成比例

说明

本题无法找到隐含的对应角相等，因此首先对一对角的相等情况进行分类讨论：①若∠EBC=∠CBF，则x轴为∠EBF的角平分线所在直线，可得直线EB与BF的斜率满足kEB=-kBF，因此可得直线BF的解析式为y=-x-2.这里运用了坐标系内处理角平分线的一种策略：直线的斜率互为相反数.②若∠ECB=∠CBF，则EC∥BF，可得直线EC与BF的斜率满足kEC=kBF，则直线BF的解析式为y=-2m（x+2）.这里运用了坐标系内处理平行线的一种策略：直线的斜率相等.两种情况的后续方法基本相同，用含m的代数式表示点F的坐标后，运用夹边对应成比例列方程求解和检验.

对相似三角形的存在性问题进行系统学习的时机，一般是在初三中考之前的专题复习，目的是通过3至4课时的专题学习，对本专题所涉及的不同题型进行全面的归纳和分类，将之前所学的与本专题相关的零碎的知识和方法进行串联，并利用思维导图等信息技术手段，形成本专题的题型特点和解题策略的知识网络，避免在应用分类讨论思想时出现考虑不周而遗漏的情况.