一堂关于几何概型测度选取“保卫战”的课

李伟 赵如丽 席洁茹

【摘要】高三学生在概率章节的复习中，常常在几何测度选取上把握不准.本文针对一堂几何概型复习课上学生的热烈争论，探究了正确选择测度的关键所在.通过追本溯源，挖掘本质，再经过题组比较和检测反馈，学生对几何测度选取有了清醒认识，并在此基础上提出贝特朗奇论，让学生体会题目设置的严谨性和合理选择测度的重要性，拓宽了学生的视野，提高了学生的素养.

【关键词】几何概型;测度选取;等可能性;贝特朗奇论

在高三几何概型复习的讲评课上，一道选择题引起了同学们的热烈争论，可以称作别开生面地展开了一场关于几何测度选取的“保卫战”.现将课堂主要情景和环节分享出来，请广大读者和同行批评指正.

【题目再现】

如图1，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上.现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（  ）.

【双方焦点】根据同学们的答案，主要将班级分成两方，一方（暂称为“甲方”，下同）认为选D，这部分同学占90%以上，另一方（暂称为“乙方”，下同）认为选A，凤毛麟角的有几位，占比不到10%.

甲方观点是选D.理由：因向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，应选用体积作为测度，即长方体鱼缸的体积为8，圆锥的体积为13×π×2=23π，则鱼缸内且在圆锥外部的体积为8-23π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是8-23π8=1-π12.

公布答案以后，选D的同学丝毫没有发现自己的解答过程有何漏洞，甚至不少同学指出有可能是答案给错了.笔者没有急于否定他们的想法，而是让选A的同学发表了自己的看法.

乙方观点是选A.理由：选面积作为测度.

【双方交锋】

乙方代表生1陈述：不知道大家有没有养过鱼？我是在养鱼的过程中观察到投入鱼食时，鱼食是浮在水面上的，所以这道题不需要体积比，只需要面积比.鱼缸底面正方形的面积为22=4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-π4.

甲方代表生2反驳道：鱼食能不能漂浮在水面上与鱼食的材质有关，不是所有的鱼食都能浮在水面上.

所以，生1的说法不能完全让人信服.还有的同学说“难道不养鱼就不能做这道题啦”.

乙方代表生3站到讲台上，他拿起一个水杯，让同学们观察：从杯子口投入物品，物品自由下落时，只与杯子口的大小有关，与杯子的高度没有关系.所以，这道题应该是面积比，而不是体积比.

课堂讨论激烈.归根结底，学生争论不休的问题就是测度选取问题：这道题究竟该选体积还是面积作为测度呢？教师并未急着给出意见，而是引导学生深入思考后再判断.

【教师引导】

（一）问题转换.既然对于此问题的争论一时难以平息，那么干脆出一道更容易的、少争议的题目作为过渡，帮助理解此题.這也是上课中常用的方法之一.问题变换为：将内部的圆锥形容器变成圆柱形容器，那么这个问题又该如何计算？学生通过计算发现变成圆柱后体积比和面积比相同了，选体积和面积作为测度结果一致，进而思考换成圆柱形容器后，和本题的圆锥形容器比较问题有何不同.

（二）追根溯源.概念是灵魂，运算是生命.当我们对某一问题难下定论时，可试着从数学概念方面去找找答案.为让学生重温几何概型的内涵和外延，以期找到解决本题的关键症结所在，笔者让同学们打开必修3课本，认真研读（详见课本），寻找解题的关键点.学生阅读思考后，笔者让学生自由表达其看法.

生4：往容器里投食，落在水面上任何一处是等可能的，而落在圆锥形容器内部就不等可能了，因为口大底尖.所以，在保证等可能的前提下，本题只能用面积比而不能用体积比.若换成圆柱形容器，落在圆柱内部任何一处也是等可能的，所以对于圆柱形容器用面积比和体积比都可以.

此时教室里响起了热烈的掌声，至此甲、乙双方算是握手言和了.笔者提醒学生：遇到几何概型问题时，不能盲目草率，不可以想当然地认为看到有线段就选长度比、看到平面区域就选面积比、看到几何体就选体积比，而应该谨慎审题，并考虑等可能性，选取合适的测度进行计算.

【乘胜追击】

为了让学生更加深入地体会几何概型中的“等可能”，笔者又出示了下面几道题目.

【拨云见日】

同学们的想法都很好.这个问题其实就是历史上著名的贝特朗奇论.三种解反映的是三种不同的随机事件.也就是说：想法1把“点B落在圆弧上”视为等可能的，想法2把“点M落在线段上”视为等可能的，想法3把“点M落在圆中”视为等可能的.而得到三种不同解的原因恰是题目中“任意”作弦的提法太不明确了，导致因对随机事件的等可能性理解不一致而得出不一致的结果.可见，测度的选取是以等可能作为前提的.这就要求概率出题要严谨，不可含糊不清.

【“战”后启示】

几何概型测度选取要注意考察等可能性，要以题目设置为准则去考量，所谓“几何概型解答切莫想当然，计算之前等可能性探究一番”.这也告诫我们在命制或选题时，要注意题目的严谨性，不可模棱两可.在学生争论和质疑时，我们需要机智教学，灵活处理，挖掘本质，让学生理解，让教学更有效、更高效.教出数学真理，教出数学味道，教出数学境界，是每位教师应有的追求！

【参考文献】

[1]邓集贤，杨维权，司徒荣，等.概率论及数理统计（上册）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2009.