时滞依赖状态的随机脉冲随机集值微分方程解的存在性

李文胜

(西安航空学院 理学院，西安 710077)

近些年来，时滞依赖状态的微分方程或包含理论得到了许多专家学者的关注，取得了一些重要成果[1-3]，最近几年，有关随机多值微分系统解的存在性和可控性理论也相继建立[4-6]。

本文主要考虑一类时滞依赖状态的随机脉冲随机集值微分方程解的存在性：

y0=φ

(2)

y(ξk)=bk(τk)y(ξk)，i=1,2,…,n

(3)

1 预备知识

定义1.4 若以下三个条件成立：

(a) 当0≤s≤r≤t≤a时， 有(t,s)→U(t,s)是强连续的。

(c)U(t,r)U(r,s)=U(t,s)，U(s,s)=I，0≤s≤r≤t≤a。

引理1.3 假如{A(t):t∈Rτ}生成一个线性发展系统{U(t,s):0≤s≤r≤t≤T*}，则当t>s时，{U(t,s):0≤s≤r≤t≤a}是紧算子[9]。

定义1.5t适应随机过程{y(t):t0-r≤t≤T}称为问题(1.1)至(1.3)的温和解，当且仅当

引理1.4[10](Kakutani型非线性抉择) 令K是Hilbert空间Y中的一个凸闭子集，Λ是K的一个开子集且0∈K.

(ii) 存在v∈∂Λ和λ∈(0，1)，使得v∈λGv.

2 主要结果

为了讨论随机集值微分系统(1.1)至(1.3)温和解的存在性，假设以下四个条件成立：

H1.双参数发展系统{U(t,s),t>s}是紧算子，且存在M>0，使得当t∈[t0,T*]时，有‖A(t)A(0)-1‖2≤M.

H3(ii) 存在一个可积函数m:Rτ→[0,+∞)和一个连续非负函数W*:[0,T*]→[0,T*]，使得

H4.存在正常数Q，使得

定理2.1.假设上述条件成立.如果

则随机集值微分系统(1.1)至(1.3)的温和解是存在的.

令Γ=Γ1+Γ2, 其中

接下来分几步证明(1.1)至(1.3)的温和解是存在的:

第一步，对每个y∈B，Γ(y)是凸的.

如果u1，u2∈Γ(y)，则存在g1，g2∈SF,y使得

令γ=(λu1+(1-λ)u2)(t)，0≤λ≤1，则有

因为SG,y是凸的(G有凸值)，所以λu1+(1-λ)u2∈Γ(y)

第二步，证明存在一个开集Ω∈B，使得当λ∈[0,1]，u∈∂Ω时，u∉λΓy.

记B*={y:(t0,T)→X;y0∈B,y|Rτ∈C(Rτ,X)}，对任意的y∈B*，记‖·‖T是B*的半范数并定义为:

‖y‖T=‖y0‖B+sup{‖y(s)‖:t0≤s≤T*}

令u∈λΓy，则存在g∈SG,y，使得

则有

E‖z(t)‖2≤3Q2M2E‖φ(0)‖2+(‖A(0)-1‖2L1(E‖φ‖2)+1)+3Q2‖A(0)-1‖2(L1(E‖u‖2)+1)

定义μ(t)=sup{E‖us‖2:t0≤s≤t}，t0≤t≤T*，令ζ=3M2max{1,Q2}(T-t0)因此

N=3Q2M2E‖φ(0)‖2+(‖A(0)-1‖2L1(E‖φ‖2)+1)+3Q2‖A(0)-1‖2(L1(E‖u‖2)+1)

因此

由H4可知，存在M，使得‖μ‖≠M，集合Ω={v∈B, ‖v‖B

第三步，Γ1是压缩的。

如果u,v∈B，有

第四步，Γ2是全连续多值映射。

(i) 显然Γ1(Br)是有界的，Bi={y∈Y:‖y‖2≤r}

(ii) (Γ2Br)(t)={u(t):u∈Γ2(Br),t∈[t0,T]}是相对紧的。

当t=t0时，易知Γ2(Br)(t)是相对紧的。令t0

因为U(t,s),(t>s)是紧的，则对任意的0<ε

当ε→0时，上式右端一致收敛于零。因此，存在相对紧集序列无限逼近于集合{u(t):u∈Γ2(Br)}，由此可知，集合{u(t):u∈Γ2(Br)}为Y中的相对紧集合。由Arzela-Ascoli引理可知Γ2是全连续集值映射。Γ2有闭图可参见文献[5]。所以，Γ2是上半连续算子。 因此Γ=Γ1+Γ2是凝聚且上半连续的映射。由引理2.4可知，随机集值微分系统(1.1)至(1.3) 有一个温和解。

3 结语

利用随机分析有关理论结合适当的集值映射不动点定理结合，在时滞依赖状态相关方法以及抽象的相空间里所给定的适当条件的基础上，先将集值微分方程转化成积分系统，然后按照所给集值映射不动点定理证明了一类时滞依赖状态的随机脉冲随机集值微分方程解的存在性，此存在性的分析方法对同类微分系统解的存在性的研究具有一定的促进意义。