逆矩阵若干求解方法的类比探究

冯依虎 杨星星

摘 要：本文归纳总结了逆矩阵的几种不同的求法，并分析了在什么情况下可以采用什么样的方法，通过具体的例题从定性与定量两个方面进行论证，运用不同的方法得到相同的结果的计算过程的比较，同时在分块矩阵中得到了更一般形式的逆矩阵的计算公式，将有助于教师的教学与学生的学习。

关键词：逆矩阵;初等变换;初等矩阵;分块矩阵

中图分类号：O151.22  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2021）05-0001-05

矩阵是高等代数与线性代数中的一个重要的基本概念，是代数学一个主要的研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具，而求解逆矩阵在解决线性方程组与矩阵方程中起着至关重要的作用。王爱霞介绍了n阶行列式的计算技巧[4]，贾新芳、段桂花、单彩虹、馬学玲等介绍了逆矩阵的几种求法[5-8]，张爱萍介绍了逆矩阵的判定与求解方法[9]。

本文在上述几种方法的基础上介绍几种求解逆矩阵的方法，将其进行类比，在教学中起到一定的作用，有助于学生的理解与教师的教学。这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题。同时，它还是理工科学生更好地学习大学数学的必备基础知识，可为他们以后继续深造打下坚实的基础。

关于逆矩阵的计算与证明中，存在两种形式，一种是定性分析，另一种是定量计算，本文将从这两个方面进行探讨与研究，通过一个具体的例题，用几种不同的方法分析与计算最后得到的结果是相同的。

1 待定系数法

利用伴随矩阵求解，是定量计算中经常用到的，这是在阶数比较低的情况，先判断矩阵是否可逆，若可逆可求解其伴随矩阵，这是在高等代数与线性代数的教学过程中教师与学生常用的一种方法。优点是简单易懂，缺点是需要计算每个元素的代数余子式，相对较麻烦。

3 利用初等变换的方法求解逆矩阵

定义3 下述三种变换称为矩阵的初等变换：

（1）换法变换：交换矩阵的任意两行（列）;

（2）倍法变换：矩阵的某一行（列）同乘以一个非零的常数k;

（3）消去变换：矩阵的某一行（列）同乘以一个常数k加到矩阵的另外的某一行（列）上。

定义4 n阶单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵称为n阶初等矩阵[6，7]。

定理3 初等矩阵都是可逆矩阵;初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。

定理4 对于一个s×n矩阵A施行一个行的初等变换，就相当于在A的左边乘以一个相应的s阶的初等矩阵;对A施行一个列的初等变换，就相当于在A的右边乘以一个相应的n阶的初等矩阵。（左乘行变换，右乘列变换）

定理5 若A可逆，则A可写成若干个初等矩阵的乘积。

通过初等矩阵求解得到的逆矩阵与用伴随矩阵求解得到的逆矩阵相同。理论上可取，但实际定理计算过程稍复杂，需要求解在初等变换过程中的每一个用于初等变换得到的初等矩阵，这个工作量相对较大，所以一般只应用于定性分析。

4 利用初等变换求逆矩阵的简单形式

只通过初等行变换也可将A化成n阶单位矩阵。

以上讨论了一个求逆矩阵的方法，需要依次求出相应的初等矩阵，也可不需要先求出初等矩阵。

设A为n阶可逆矩阵，根据定理5可知，存在若干个初等矩阵，P1，P2，…，Ps，使得PsPs-1…P1A=I，

用A-1去右乘上式可得：A-1=PsPs-1…P1I。

上述两式表示，若A与I同时施行同样的行的初等变换，当A化成单位矩阵I时，I即变成了A-1。

通过初等变换求解得到的逆矩阵与用初等矩阵、伴随矩阵得到的逆矩阵也相同，可见不同的方法得到的结果相同，但是繁简各不相同，利用初等变换求解逆矩阵的过程是用初等矩阵求解的推广与简化，初等变换方法不需要求解具体的初等矩阵，过程相对简单，初等变换与初等矩阵主要运用在定性分析方面，定量计算方面求逆矩阵并不太可取。

5 利用哈密顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理求逆矩阵

利用矩阵的特征多项式求可逆矩阵的逆，首先求出可逆矩阵的特征多项式，然后根据Hamilton-Caylay可得到可逆矩阵的逆矩阵。

7 小结

逆矩阵的求法是解决线性方程组与矩阵方程的关键，掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换、向量空间、欧氏空间等问题的解决有很大帮助，本文通过待定系数法、伴随矩阵、初等矩阵、初等变换、分块矩阵等方法探讨逆矩阵的解法，采用定性与定量进行分析与比较，给出具体的例题，用不同的方法得到相同的结果，以寻求最优的计算方法，在具体的课堂教学中可以让学生更好地理解和运用相关的方法来研究解决问题，以期为相关领域的研究提供借鉴和参考。

参考文献：

〔1〕魏献祝.高等代数[M].上海：华东师范大学出版社，1999.

〔2〕朱世平，杨明泉，吴厚山.线性代数[M].上海：上海交通大学出版，2019.

〔3〕王力梅，郭莉琴，邵海琴，唐保祥.分块矩阵的行列式[J].四川兵工学报，2011，32（11）：149-150.

〔4〕王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨[J].佳木斯教育学院学报，2012，39（01）：136-138

〔5〕贾新芳.逆矩阵的几种求法[J].知识文库，2018，34（22）：182-187.

〔6〕段桂花.逆矩阵的三种常用求法[J].课程教育研究，2017，19（11）：150-156.

〔7〕单彩虹，陈平，张欢，刘翠香.可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法[J].2015，31（09）：123-124.

〔8〕马学玲，詹建明.浅谈逆矩阵求解的方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2014，22（06）：3-5.

〔9〕张爱萍.可逆矩阵的判定及求法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2011，15（03）：12-13.