多普勒效应对微波输电的影响

陈烨懿,王小保,董国香

(湖州师范学院 理学院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

微波属于电磁波,其频率为300 MHz～3 000 GHz.在使用微波输能的太空电站设计构想中，大多采取将其建设在地球同步轨道的策略[1-2]，这种设计方案可以使空间太阳能电站与地面接收站保持相对静止，从而避免两者之间因相对位移而使微波波形因多普勒效应产生的影响.但当使用微波向航天器进行输电时，若想使能量输送具有连续性，两者之间将会产生相对移动，此时航天器接收到的微波频率将会因多普勒效应产生偏移.不同于机械波，微波存在纵向多普勒效应和横向多普勒效应.关于纵向多普勒效应，1842年克里斯琴·约翰·多普勒提出，在运动的波源前面，波被压缩，波长会变得较短，频率会变得较高；在运动的波源后面，则会产生相反的效应.关于横向多普勒效应，根据相对论可知，在高速运动的情况下由于存在钟慢效应，在垂直波矢的方向会产生一种不同于纵向多普勒效应的频移影响.两种多普勒效应的成因不同，因此产生的影响也有一定区别.文献[3]～[8]以及其他关于光波、电磁波多普勒效应的研究给出了多种多普勒效应频移公式的推导与结论，并从波源运动的角度进行了讨论.虽然上述文献在纵向多普勒效应的影响上得出的结论大致相同，但没有考虑在高速运动的情况下相对论效应对运动系中波源角度变化的影响.在横向多普勒效应的影响上，上述文献得出了多种不同的结论.综合考虑纵向多普勒效应和横向多普勒效应后，发现上述文献得出的结论在高速运动的情况下存在差异或完全相反.

1 微波的多普勒效应表达式

1.1 微波的纵向多普勒效应表达式

(1)

(2)

根据光速不变性原理，此时接收器接收到的微波波速仍为c.而随着接收器的运动，其接收到的微波波长将产生变化，此时接收器接收到的微波波长为:

(3)

在已知λ′和v0=c的情况下，得到固定在运动系S′中的接收器所接收到的微波，其在纵向多普勒效应影响下的频率为:

(4)

1.2 微波的横向多普勒效应表达式

关于微波的横向多普勒效应，有文献进行了讨论，但得出了几种不同的结果.文献[3]～[7]对横向多普勒效应中关于蓝移、红移的结论并不相同.文献[3]、[5]得出，在波源运动接收器静止与波源静止接收器运动两种情况下，横向多普勒效应会产生红移或蓝移两种不同的结果；文献[6]得出横向多普勒效应只产生蓝移；文献[4]、[7]得出横向多普勒效应只产生红移.这说明有关横向多普勒效应的公式推导可能存在问题.参考上文中对微波纵向多普勒效应的推导方法与文献[11]对横向多普勒效应的研究，下面对微波的横向多普勒效应表达式进行推导.

(5)

(6)

(7)

根据普遍多普勒效应表达式[3]与上述条件，有:

us=0，θs=0，ud=vb， cosθd=cosβα.

将式(7)与上述条件代入普遍多普勒效应表达式，得：

(8)

式(8)为接收器相对微波源以va的速度运动时，横向多普勒效应对接收器接收到的微波频率影响的表达式.

1.3 微波的多普勒效应表达式

在1.2的计算中已分别给出了当波源静止而接收器运动时微波的纵向多普勒效应表达式(4)和横向多普勒效应表达式(8).当波源静止而接收器运动具有一般性时，在同时考虑纵向与横向多普勒效应后可进一步得到接收器接收到的微波频率表达式.

因横向多普勒效应总是使得接收到的频率小于波源实际频率，所以在式(4)纵向多普勒效应对频率的影响中叠加式(8)横向多普勒效应对频率的影响时，可以将式(4)用式(8)的结果处理后减去，即可得到接收器在一般运动中横向多普勒效应对接收器接收频率的影响f′：

(9)

式(9)即为当波源静止而接收器运动具有一般性时，多普勒效应对接收器接收到的微波频率影响的表达式.

1.4 多普勒效应对接收端微波频率的影响

为更具体地阐述微波无线输能中多普勒效应带来的频率影响，就要进一步控制式(9)中的待定量.微波涵盖的频率范围很广，300 MHz～3 000 GHz均属于微波.而在速度的控制上，表征接收器运动方向的变量θα具有任意性，这为讨论一般情况下多普勒效应对微波无线输能的影响带来了困难.在讨论其影响时，将选取变量θα为0°、30°、45°、60°、90°五种情况来展示多普勒效应对微波输电的影响.

将式(9)多普勒效应对微波无线输能的影响分为式(4)纵向多普勒效应对频率的影响和式(8)横向多普勒效应对频率的影响.根据式(1)和式(4)，可得到因纵向多普勒效应的影响f0′随接收器速度变化的关系，如图1所示.

图1 微波源频率恒为f0时纵向多普勒效应对的影响Fig.1 The influence of longitudinal Doppler effect on f0′ when the frequency of microwave source is constant to f0

由图1可以看出，在达到一定速度后，纵向多普勒效应产生的频移影响开始发生变化.当θα=0°时，接收器接收到的频率单调递减；当θα增加时，接收器接收到的频率不再随速度的增加而单调变化.这是因为接收器运动方向与静止系中的波矢方向存在夹角，当速度到达一定程度时，其波行差使得运动系中接收器相对波矢k′的运动方向发生改变.当接收器沿着波矢k的方向运动或接收器运动速度较低时，将呈现红移或蓝移中的一种(与二者相互接近或远离有关)；随着角度增大，f′0/f0的极值将更早到来.

图2 微波源频率恒为f0时横向多普勒效应对的影响Fig.2 The influence of transverse Doppler effect on when the frequency of microwave source is constant to f0

由图2可以看出，当波源与接收器相对远离时，θα=0°时不存在横向多普勒效应.随着波源与接收器运动方向夹角的增大，横向多普勒效应带来的影响也随之减小，达到最大影响时的速度亦随之减小.

根据式(9)的推导方式，综合考虑微波的纵向多普勒效应和横向多普勒效应，将图1与图2合并为图3.

图3 微波源频率恒为f0时多普勒效应对f′的影响Fig.3 The influence of Doppler effect on f′ when the frequency of microwave source is constant to f0

图3表示当波源频率f0为恒定常量时，接收器收到的微波频率f′与接收器速度va的关系.由图3可知，此时频率、速度、角度三者之间的关系在趋势上与图1大致相同.

根据图3和式(9)可得，当接收器远离波源时，接收器收到的微波频率小于微波源的发射频率，若接收到的微波频率处于整流电路中二极管的工作频率范围内，接收到的微波经过整流电路后输出的等效电压降低；当接收器接近波源时，接收器收到的微波频率大于微波源的发射频率，若接收到的微波频率仍处于整流电路中二极管的工作频率范围内，接收到的微波经过整流电路后输出的等效电压升高.

以θα=π/6为例，当接收器远离微波源时，速度va达到约300 000 m/s，接收器接收到的微波频率会产生约1‰的偏移；当接收器接近微波源时，接收到的微波频率达到约1‰的偏移，此时va将略高于接收器远离微波源时的va.需要注意的是，由于微波本身具有较高的频率，即使根据当前大部分实验设计中采取的f0=2.45 GHz[13]，1‰的频率偏移也将达到2.45 MHz.

从图3和式(9)可以看出，当vacosθα的绝对值相同时，在高速运动的情况下多普勒效应对远离微波源的接收器接收到的微波产生的影响明显大于接近微波源的接收器接收到的微波.

2 发射端的微波频率修正

微波频率的变化对接收端整流器的工作也会产生一定影响，考虑到微波本身具有较高的频率，即使接收器做低速运动，也能产生一定的频率偏差，这对二极管与负载提出了更高的要求.当接收器可以实现高速运动时，接收到的微波因多普勒效应产生的频率变化可能将难以通过整流电路与负载的设计冗余来消除，这对运动路径相对固定或可预测的接收端来说，从波源端进行修正也将是一种可行的办法.

式(9)表示的是一个波源恒为f0的情况，若要使接收器接收到的微波频率f′恒定，可将f′作为常量、va与θα作为自变量、f0作为因变量构建函数关系，则

(10)

式(10)即为当接收器所接收到的微波频率f′恒定时，微波发射端发射频率的表达式.

图4表示当接收器收到的微波频率恒定时，θα、va与f0三者之间的关系除不存在横向多普勒效应的θα=0°外，其他图线的极小值随角度的增加而增大，对应的速度随角度的增加而减小.

图4 微波源发射频率随接收器速度的修正Fig.4 Correction of transmitting frequency of microwave source with receiver speed

3 结 论

本文综合考虑微波的纵向多普勒效应和横向多普勒效应，得出了在微波输电中因接收器的运动使接收到的微波频率因多普勒效应产生偏移的表达式，其结果可由式(9)表示.其中，纵向多普勒效应会使接收器接收到的微波频率随着接收器的远离而减小(红移)，随着接收器的远离而增大(蓝移).但根据图像还可以发现，当接收器的速度增加到一定程度时，纵向多普勒效应会产生相反的效果.而横向多普勒效应总是使接收器接收到的微波频率减小(红移).在特殊条件θα=π/6下，当接收器远离微波源时，接收器速度va达到约300 000 m/s，接收器接收到的微波频率会产生约1‰偏移；当接收器接近微波源时，接收到的微波频率要达到约1‰的偏移，接收器速度va将高于接收器远离微波源时的va；当接收器的运动接近光速时，接收到的微波频率偏移将快速减小并向反向偏移.为使接收器所接收到的微波频率恒定，可以通过改变微波源的发射频率来实现，其发射频率与接收器运动速度的关系可由式(10)表示.