“四基”视角下函数专题的一轮复习

安徽 何德宇 祝 峰

(作者单位：安徽省濉溪县第二中学)

数学高考备考一轮复习，历时长、涉及面广、基础性强，聚焦知识的积累和深度理解，旨在帮助学生构建扎实、系统的知识网络.这与《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出的“四基”课程目标高度契合，即让学生获得进一步学习以及未来发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”).笔者尝试在“四基”视角下，从夯实基础知识、提升基本技能、领悟基本思想、积累基本活动经验四个方面，审视2020高考中的部分函数客观题，体会试题对“四基”的考查要求.以期强化教师重视“四基”的意识，引领学生在一轮复习中远离“刷题+题型+技巧”的无效之举，回到知识的起点，体会知识的本源，感悟知识所传递的基本观点和思想.

一、夯实基础知识

从表现形式看，数学基础知识主要是指数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由其内容所反映出来的一些具体方法.基础知识是一轮复习中的“根”和“本”，根深才能长成参天大树，本固才能立于不败之地.

首先，要明确基础知识复习的重要性.一轮复习过程中，要强调概念、法则、公式复习的基础性地位，重视基础知识所蕴含的问题解决策略，努力构建重要知识之间的关联.

【例1】(2020·全国卷Ⅰ理·6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为

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A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

【解析】f′(x)=4x3-6x2，由导数的几何意义知，函数f(x)的图象在(1,f(1))处切线斜率k=f′(1)=-2，又f(1)=-1，则切线的点斜式方程为y-(-1)=-2(x-1)，即y=-2x+1.

【评析】导数概念和几何意义、求导法则、点斜式方程是试题考查的基础知识.要求学生熟练掌握利用导数求函数图象切线方程的基本程序.

其次，要回到概念、原理解题.数学概念往往具有鲜明的直观背景，简单、易懂且威力无穷.核心概念最有力量，要让学生养成“不断回到概念去，从基本概念出发认识问题、思考问题、解决问题”的习惯.一轮复习中应不断提醒学生远离“题型+技巧”的雕虫小技，集中注意力于核心概念是复习有效性的基本保障.

【例2】(2020·浙江卷·4)函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]上的图象可能是

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A

B

C

D

【评析】试题考查正比例函数、正弦函数、余弦函数的定义和性质，函数奇偶性的定义、性质和直观体现.回到这些概念和原理即可解决问题.

最后，要关注对基础知识之间联系性的理解，从知识间的联系中寻找解决问题的思路.值得注意的是，学生解题的灵活性并非来自于大量反复的练习，也无法靠题型归类和技巧总结获得，而是来自于基础知识联系通道的顺畅，来自于对基础知识关联性、结构性、系统性的整体把握.

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二、提升基本技能

数学基本技能主要指能够按照一定的程序与步骤进行熟练操作的数学行为与本领.在函数专题中，涉及的基本技能包括阅读理解技能、函数语言的表达技能、运算(估算)技能、推理与论证技能、识图作图技能等.这些基本技能以函数知识为基础，由知识转化而来.技能的训练和提升无法脱离知识的支撑和思想的引领，离开知识和思想，孤立地谈技能的获得是不切实际的.

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A.60 B.63

C.66 D.69

【评析】试题借助指数运算、对数运算、指对互化三个基本的数学知识，考查学生的阅读理解和运算(估算)能力.

【例5】(2020·全国卷Ⅱ理·11)若2x-2y<3-x-3-y，则

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A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

【解析】由2x-2y<3-x-3-y得2x-3-x<2y-3-y.令f(t)=2t-3-t，y=2x为R上的增函数，y=3-x为R上的减函数，所以f(t)为R上的增函数，故x0，则y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>0，即A正确.

【评析】数式大小的判断问题，考查学生的数学运算、推理论证能力，以及从函数视角发现问题、分析问题、解决问题的能力.

【例6】(2020·全国卷Ⅲ·理·12)已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则

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A.a

C.b

综上所述，a

【评析】指数式、对数式的大小比较问题.涉及不等式的性质、对数式与指数式的互化、指数函数和对数函数单调性的应用，集中考查了学生的数学运算、分析转化和推理论证能力.

三、领悟基本思想

函数专题中的基本数学思想是对函数相关知识、结构以及数学方法的本质性认识.蕴含在这些知识的形成、发展和应用的过程中，是对函数知识和方法在更高层次上的抽象和概括.函数专题一轮复习中，核心的数学思想为函数思想，即从函数的视角看问题、用函数的语言描述问题、用函数的方法解决问题.同时还涉及诸如方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想、归纳思想、演绎思想等.

【例7】(2020·全国卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b，则

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A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

【解法一】构造一个函数

2a+log2a=4b+2log4b转化为2a+log2a=22b+log4b2.令f(x)=2x+log2x，f(x)在(0,+∞)上为增函数.

假设a≥2b，则f(a)≥f(2b)，即2a+log2a≥22b+log22b.所以22b+log4b2≥22b+log22b，故log4b2≥log22b，log2b≥log22b，b≥2b，所以b≤0，这与b>0矛盾，故选B.

夏日的夜晚，明净的月亮挂在天空，皎洁的月光洒在荷塘里，池面平静得如明镜一般，满塘月色。朵朵荷花挺立在水中央，池塘边传来阵阵虫鸣，蟋蟀愉快地叫着，蝈蝈欢快地开着“演唱会”，青蛙也随着美妙的乐曲声在水面荷叶上一蹦一跳，展现出优美的舞姿，打破了水面的平静。

【评析】从函数的视角观察、分析、解决问题是函数思想的集中体现.充分利用等式2a+log2a=22b+log4b2的结构特点，构造函数f(x)=2x+log2x，利用其单调性，通过反证法解决问题.教学中可引导学生体会函数思想、化归与转化思想、演绎推理思想在解题中发挥的作用.

【解法二】构造两个函数

由2a+log2a=4b+2log4b得，2a+log2a=4b+log2b，

令2a+log2a=4b+log2b=t，则a为函数y=log2x与y=-2x+t图象交点的横坐标；b为函数y=log2x与y=-4x+t图象交点的横坐标.

如图所示，a>b，2a+log2a=4b+log2b，即2a-4b=log2b-log2a.函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数，所以log2a>log2b.故2a-4b=log2b-log2a<0，即2a<22b.又因为函数y=2x在(0,+∞)上为增函数，所以a<2b.

【评析】从函数的视角看问题，视a和b分别为相关函数图象交点的横坐标，借助函数图象，直观看出a和b的大小关系.在此基础上，利用指数、对数函数的单调性解决问题.教学中，可引领学生领悟函数思想、数形结合思想、化归与转化思想的应用.

由2a+log2a=4b+2log4b，令b=1，则2a+log2a=41+2log41=4，可知a∈(1,2)，排除A，D；令a=2，可得4b+2log4b=22+log22=5，可知b∈(1,2)，排除C，故选B.

【评析】体现了归纳思想，特殊值检验法是客观题求解中非常有效的一种策略，是归纳推理的具体应用.

【例8】(2020·全国卷Ⅱ理·9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)

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【评析】分类讨论思想的应用，考查函数奇偶性和单调性的判断，特别是复合函数单调性的判断方法.

四、积累基本活动经验

数学基本活动经验主要包括数学实践活动经验和数学思维经验两个方面.一轮复习中，更关注数学思维经验的积累.具体是指，学生经历归纳推理和演绎推理过程后，所积淀形成的思考问题的方式.常从特殊问题入手，借助数字演算等寻求结果或探索规律，进而推导出更一般性的结论.如例7中的解法三是归纳推理，解法一、二则是以演算、转化、反证为手段的演绎推理.高考备考一轮复习是高中数学学习的特殊阶段，对数学基本活动经验的积累有着特殊意义，教学过程中以下两点值得关注.

一是要关注数学内容的本质及其相互联系.数学基本活动经验的积淀，是以对数学内容本质及其联系的理解和把握为前提的.一轮复习教学与新课或新课过程中的复习教学有着本质区别.一轮复习教学，是在学生已经完整学习完高中数学知识的基础上展开.这为学生对数学内容的本质把握及其相互联系的理解提供了充分可能.如前文所述的指数函数与对数函数、方程与不等式、函数与不等式、函数图象切线与圆锥曲线切线等重要知识关联性的把握，正是基于此.

二是要关注学生数学思维品质的优化.数学思维是从量变到质变，在潜移默化中逐渐形成的.学生只有经历高思维含量的数学学习过程，才能建立起正确的数学思维方式.具体表现为从具体到抽象、从特殊到一般，以及举一反三、触类旁通地想问题.

五、结语