基于双弧阵的反卷积波束形成

庞桐桐

(昆明船舶设备试验中心，云南 昆明 650200)

0 引言

目前世界各大国都致力于水下目标定位技术的研究，可分为主动法和被动法。主动法声纳本身要发射声波,它把接收目标的反射波作为检测与估计的基础，主动声纳是我国海军的主力水声设备，但主动声纳的隐蔽性差。被动法声纳本身不发射声波，它依靠目标辐射的声波作为检测和估计的基础。被动声纳在侦察过程中具有隐蔽性好、不向外发波、不易被发现以及水下连续工作时间长等特点，在实际环境建设中起到的作用越来越大。被动声定位的研究主要是对波束形成算法的研究。波束形成大致可分为两类:常规波束形成和自适应波束形成[1]。

常规波束形成实用性强，受到广泛的使用，但是其角度分辨力差也是不可避免的原因[2]，因此近些年研究人员对传统方位估计算法进行了改进。比如：Yang TC受到图像去模糊处理的反卷积算法的启发，将解卷积算法引入到信号的方位估计中，该方法基于Richardson-Lucy算法提出，称为反卷积波束形成[3]。但是此种反卷积求解信号方位的方式仅用于移不变阵型(均匀线阵、均匀圆阵)，其他阵型并无法使用。在R-L算法之后，研究人员将更多的优化方法放在了常规波束形成方位谱的后续处理上，比如2019年王悦关和马晓川利用阵列响应矩阵和半正定规划，通过卷积反演的方式将阵列孔径的有限效应消除，在2-范数约束条件下重构空间谱[4]。

虽然反卷积波束形成的理论算法发展很好，但是阵型的使用局限性限制了反卷积波束形成的实际应用。相对来说，近些年提出的反卷积波束形成算法都是基于移不变阵型，如何在其他阵型的基础上使用反卷积波束形成，是解决反卷积波束形成阵型局限性的关键问题。在2016年王瑞革和王法栋提出的基于虚拟阵列变换的共型阵列信号DOA估计中，找到了相应的解决思路：利用虚拟阵列变换的思想，采用ESRRIT算法和MUSIC算法相结合的方法实现了双弧阵列信号二维角度估计[5]。因此也可以将虚拟阵列变换和反卷积波束形成联合应用，实现反卷积波束形成在双弧阵上的应用。

1 虚拟阵列变换

1.1 双弧阵阵列模型

随着探测目标的多样性，水下机器人和阵列的组合逐渐成为一种发展趋势，因此共形阵得到了极大的发展。

为了克服均匀线阵有效辐射角度仅有120°、均匀圆阵布防空间较大的缺点，在不影响水下机器人水下航行的前提下，采用与水下机器人配合度更高的双弧阵，双弧阵既有线阵分布简单的特点，又存在圆阵一样的弧度，一定程度上该弧度可以解决左右舷模糊的问题，具体阵列形状如图1所示。阵列放置方式为：以直角坐标系的原点为对称中心，两条圆弧阵对称放置，阵元均匀地分布在圆弧上。阵列长度L是双弧阵的总长度，阵列最大间距D是两条圆弧间的最大距离。

图1 双弧阵阵列模型Fig.1 double arc array model

1.2 虚拟阵列变换

Θ=[θlθl+Δθθl+2Δθ…θr-Δθθr]，

(1)

A=[a(θl)a(θl+Δθ)…a(θr-Δθ)a(θr)]，

(2)

(3)

(4)

根据式(4)得出变换矩阵Bk表达式：

(5)

这样的直接变换有一定的误差，为了在区域Θ内得到相对精确的Bk，可以通过计算变换误差来确定Bk。变换误差α表示为

(6)

式中，|·|F表示2-范数。当α足够小时，说明就可以接收当前的变换矩阵Bk，否则就要对观察区域Θ进一步细分，重新计算变换矩阵Bk。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2 反卷积波束形成

反卷积是信号处理中的常见手段，图2所示的信号传输过程可表示卷积过程，卷积是在已知系统输入函数x(t)和系统响应h(t)下求解系统输出函数y(t)的过程。而反卷积的目的是找到卷积方程的解，反卷积既可作为系统辨识，即求解h(t)，也可作为信号检测，即求解x(t)。利用时间采样和空间采样的对偶性，将原本应用于处理时间序列信号的反卷积技术应用在空间的阵列信号处理，也就是说，求解目标的幅度和角度可以采用信号检测的思路。

图2 信号传输过程Fig.2 Signal transmission process

图像去模糊使用的反卷积算法的核心是Richardson-Lucy方法[1]，将图像去模糊的解卷积方法运用到常规波束形成中，利用反卷积求解信号方向，一来可以避免方位估计中稳健性差的常见问题，二来可保留常规波束形成的低旁瓣。

在阵列信号处理中，阵元接收信号之间的关系可以看作是信源发出信号的平移，若想要得到输入信号有一个简单的方式：把每一个阵元接收到的信号平移，使之在时间上对齐，然后相加[8]。过程如图3所示。

图3 时域信号卷积过程Fig.3 Time domain signal convolution process

对比时域信号卷积过程(图3)和信号传输过程(图2)，相对应图3中的系统函数可以表示为：

(11)

式中，m=0,1,…,M-1，这个处理器称为延时求和波束形成器或常规波束形成器，根据信号模型可知系统函数可以等效为每一个角度的阵列指向性函数。

所以在阵列信号处理中，阵列的常规波束形成空间谱可以表示为每一个角度指向性函数与该角度信号源强度乘积之和，用积分表示为：

(12)

式中，P(θ)表示常规波束形成空间谱；S(ϑ)表示目标函数，包含信源的方向、强度等信息；ϑ表示信源方向；R(θ|ϑ)表示关于ϑ方向的阵列指向性函数。

对比式(11)和式(12)可得到类比关系：常规波束形成空间谱P(θ)等效为时域系统中的输出信号y(t)；目标函数S(ϑ)等效为时域系统中的输入信号x(t)；阵列指向性函数R(θ|ϑ)等效为时域系统中的系统函数h(t)，在反卷积中称为点扩散函数(PSF)。根据信号线性系统移不变的性质类比指向性函数R(θ|ϑ)的移不变性：当指向性函数R(θ|ϑ)满足空间移不变性，则有R(θ|ϑ)=R(θ-ϑ)，此时式(12)的叠加积分可以表示为：

(13)

因此，在常规波束形成空间谱P(θ)和自然指向性R(θ)已知的情况下，反卷积可以得到目标函数S(ϑ)，理想情况下形式为δ函数，因此反卷积结果具有高分辨效果。阵列的自然指向性R(θ)是阵列的本身性质，不同的阵列自然指向性也不同，自然指向性的移不变性质直观描述为：阵列指向性在θ域上，每一个ϑ方向对应指向性函数图像都一致。

2.1 基于移不变阵型反卷积波束形成

反卷积波束形成目的是在已知阵列自然指向性函数和常规波束形成空间谱的情况下，计算出目标信源的方位和幅度。根据常规波束形成空间谱表达式P(θ)=R(θ)*S(θ)可知，若想要求得目标信源S(θ)，需要知道阵列自然指向性函数R(θ)和常规波束形成空间谱P(θ)。由此就可以通过反卷积计算得出目标信源的方位[9]。反卷积波束形成是在常规波束形成的基础上发展而来，因而继承了常规波束形成稳健性和低旁瓣的优点。当真实阵元论阵元位置存在差距时，只要常规波束形成可以正常工作，反卷积波束形成就可以成功分辨出信号的方位。值得注意的是只有自然指向性移不变时，才能使用反卷积求解目标信源方向。

2.2 基于虚拟阵列的反卷积波束形成

由上述内容可知，双弧阵不属于移不变阵型，所以在一定的变换区间之内将双弧阵变换为均匀线阵，根据反卷积波束形成得到该区间内准确的信号估计。基于虚拟阵列变换的反卷积波束形成估计过程如下：

① 将全空间分割成多个区域Θ，并对每一区域求解相应的虚拟线阵阵元数M、阵元间距D、变换矩阵Bk、Tk及相对应的点扩散函数PSF，并做好存储；

3 仿真结果分析

3.1 均匀线阵常规反卷积波束形成

在仿真实验中使用的是30元、阵元间距为0.18 m的均匀线阵。入射信号为远场信号，信号频率为4.1 kHz，采样频率为30 kHz，信号的快拍数为500，噪声为加性高斯白噪声。入射信号的入射角为0°，信噪比分别为5 dB和50 dB，常规波束形成(CBF)、反卷积波束形成(dCv)以及MUSIC方位估计对比如图4所示。

(a) 信噪比为5 dB

从图4(a)可以看出,反卷积波束形成得到了一个主瓣和旁瓣都优于常规波束形成的波束图，且反卷积波束旁瓣按照常规波束图起伏，但是此方法要比MUSIC的主瓣要宽一些，由此说明常规波束形成比反卷积的能量泄露要多；从图4(b)可以看出,当信噪比增加至50 dB时，反卷积波束得到一个主瓣极窄，没有旁瓣的波形，在此情况下反卷积波束形成的能量泄露极少。综上可以得出，反卷积波束形成拥有高分辨的能力。

同时根据上述的对比可以发现反卷积波束形成的主瓣宽度与信噪比有关，而且波束形成的主瓣宽度本身就与阵元数相关，继而观察主瓣宽度与信噪比以及阵元数的关系，如图5所示。

从图5(a)可以看出,当信噪比达到10 dB时，3种算法的主瓣宽度逐渐趋于稳定，且主瓣宽度始终呈以下关系：CBF>dCv>MUSIC；从图5(b)可以看出,随着阵元数的增加、3种算法方位谱的减小，说明阵元数对主瓣宽度影响较大。综上分析可知，反卷积波束形成在高信噪比和多阵元的情况下，主瓣宽度小，分辨性能好。

(a) 当阵元数为30时，主瓣宽度与阵元数关系

3.2 双弧阵反卷积波束形成

根据上述双弧阵模型，假设阵列采用24元双弧阵，阵元间距为0.18 m，子阵列最大间距D为0.5 m。仿真实验使用的双弧阵阵元位置图如图6所示。

图6 双弧阵阵元坐标仿真图Fig.6 Element coordinate simulation diagram of double arc array

3.3 双弧阵反卷积波束形成

3.3.1 单信源双弧阵反卷积方位估计

根据2.2节描述，对双弧阵使用反卷积波束形成进行方位估计，将24元双弧阵虚拟变换为85元均匀线阵，称之为虚拟线阵。虚拟变换预处理的变换区域为8°～14°，变化步长为0.001°。单信源双弧阵方位估计对比如图7所示。表1为图7信号方位估计的具体数值，由表1可知，3种方法的方位估计值都比较准确，尤其是虚拟线阵dCv的方位估计更贴近真实值。在85元的虚拟线阵下，3种方法波束的宽度如表1所示。综上在虚拟变换范围内，反卷积波束形成的波束宽度更小，方位估计更优秀。

图7 单信源方位估计谱对比Fig.7 Spectrum comparison of single source DOA estimation

表1 信号方位估计与主瓣宽度的对比

3.3.2 相干信源双弧阵反卷积方位估计

虚拟变换预处理的变换区域为8°～14°，变化步长为0.001°。相干信号双弧阵方位估计对比如图8所示。图8(a)中 T前表示未进行Toeplitz解相干，T后表示Toeplitz解相干后。从图8可以看出，相干信号解相干前后的区别在于：dCv一直比虚拟线阵CBF的主瓣宽度小，说明dCv算法的分辨性能好于虚拟线阵CBF。但是有一点值得注意，解相干前后虚拟线阵CBF方位谱几乎重合，反卷积波束形成方位谱也几乎重合，说明相干信号对CBF的影响较小，而dCv也拥有较为稳定的性质。对比表2中数据可知，反卷积波束形成方位估计值更靠近实际值，说明反卷积波束形成在分辨角度的同时估计效果也不错。综上分析可知，说明在相干信号的影响下反卷积波束形成依旧可以保持高分辨性能。

(a) 空间信号方向10°和12°解相干后双弧阵方位估计对比

表2 信号解相干前后方位估计值对比表

3.3.3 多信源实验数据处理结果分析

实验于2018年7月在千岛湖进行。实验采用移动声源的方式来改变信号方位，声源位于水下30 m，信号频率为4.1 kHz，采样频率为25 kHz，信号范围是[-π ,π]。阵元按照双弧阵的仿真位置固定在架子上保持不动，布放深度30 m，为保证信号方位，以正北方向为参考方向，在实验过程中需要对阵列做方位变换。为验证解相干后反卷积波束形成分辨两相近信号的能力，将两组实验数据相加构造相近信号。此时需要说明：① 信号的真实方向由GPS测量获得，不一定准确；②在实际实验数据收集过程中，并没有记录信号的真实方向；③ 实验时并没有实时进行阵列校正，而且现有实验数据实现不了阵元位置的自校正，所以实验中使用测量坐标进行方位估计。

举例对分辨信号能力进行分析，相邻的两个信号的方位谱及相加后的方位谱如图9所示。

(a) 信号S1方位谱

图中标出两个相邻的信号，角度估计分别是111.4°和114.6°，而两信号相加后CBF和MUSIC算法的估计角度为113.1°，说明CBF和MUSIC算法无法分辨这相差3°的信号。

根据本文给出的虚拟线阵解相干和反卷积波束形成的方式对上述合成信号进行方位估计，方位估计谱如图10所示，图中“V”表示虚拟阵列变换，“T”表示Toeplitz解相干后。为分辨上述信号将虚拟变换区间设置为10°，从图10(b)可以看出，虚拟线阵的常规波束形成(V-CBF、V-CBF-T)可以分辨两信号，但是信号估计值不够准确，而反卷积波束形成算法(dCv和dCv-T)是可以准确分辨这两个相邻信号，即分辨出相邻信号111.4°和114.6°，说明该算法可以有效的分辨相邻两信号。

(a) 信号S1+S2反卷积波束形成方位谱

因此可以看出，当存在两个相邻信号时，解相干前后的虚拟线阵都是失效的，无法使用；而反卷积波束形成在常规波束形成的失效的情况下依然可以准确分辨相邻两信号，虽然会出现一个多途信号，但并不影响对信号方位的估计和分辨，为水下定位奠定基础。

4 结束语

反卷积波束形成是建立在常规波束形成上的算法，所以常规波束形成方位估计的性能决定了反卷积波束形成的方位估计性能。移不变阵型使用传统的反卷积波束形成；对于移变阵型经过虚拟阵列变换预处理后，再用传统的反卷积波束形成。从仿真实验结果可以看出：

① 基于移不变阵列反卷积波束形成有下列优点：反卷积波束形成的波束宽度比常规波束形成小的多；阵列越长，反卷积波束形成波束宽度越小。

② 基于双弧阵反卷积波束形成在虚拟阵列变换的预处理之后，性能变好，而且解相干处理之后可以准确分辨相邻2°的信号。

③ 对于多信源实验数据，经过虚拟阵列变换预处理，解相干和反卷积波束形成效果较好，而且对环境的包容性较好，算法的稳定性也高，虽然出现多途信号，但是并不影响算法的分辨性能和估计准确性。

综上分析，经过虚拟阵列变换预处理的双弧阵反卷积波束形成继承了常规波束形成的稳健性同时，还拥有窄主瓣、低旁瓣的优良性能，因此双弧阵反卷积波束形成有较好的信号方位估计分辨力。后续研究的重点应该放在两方面：解决当双目标位于不同的虚拟阵列变化区域Θ时，反卷积波束形成该如何方位估计；是否可以将反卷积波束形成直接应用于双弧阵或者其他任意阵型。