锥形桩形成的物理机制探究*

孙瑞雪，孙葳清，黄力行，吴建琴，马晓栋

（新疆师范大学 物理与电子工程学院，新疆 乌鲁木齐 830054）

2018年中国大学生物理学术竞赛第七题：用非粘性颗粒物质可以浇筑形成圆锥形桩，研究影响锥体形成的参数及其与地面的角度。目前，国内对这方面的学术研究较多[1-6]，且大多数学者都是从颗粒物质的直径、锥形桩的高度、颗粒物质表面的摩擦力和静止角等方面，对锥形桩的形成过程进行了探讨；而通过实验去探究锥形桩的形成因素的研究却很少[1]。国外学者S.Dorbolo等人用数值模拟去研究锥形桩形成后的静止角和底面半径等因素，对于实验装置也设定了一定的角度[2]。笔者在前者的理论基础上采用控制变量法对形成锥形桩的影响因素逐一进行实验探究，例如锥形桩的静止角、高度、底面半径，为今后研究学术性竞赛题目提供参考。

1 构建模型

所谓静止角，是指在浇筑形成锥形桩时，颗粒物质相对于水平面的最陡下降角或倾角；因为在这个角度下，斜面上的物质处于相对滑动的边缘，故又称其为临界静止角[3]，范围在0°到90°不等；如图1，经力学简单表述可知静止角与颗粒物质表面间静态摩擦系数存在一定联系[4-5]。

图1 斜坡面上的物质处于滑动状态的分析图

构建理论模型如图2，根据日常生活经验猜想出浇筑锥形桩的物理过程。

图2 形成锥形桩的理想模型

相关参数为：V表示非粘性颗粒物质的总体量；T表示颗粒物质全部流出并完成浇筑的总时间；ν0表示非粘性颗粒物质出口时的流速；S0表示出口处的横截面积；H为漏斗口到水平面的距离；h为锥体的高度。θ是静止角，r0是锥体的底面半径，h（t）是任意时刻锥形桩的高度。

根据所建构的模型可推导出：

由此可知：（1）出口处颗粒物质的流速影响形成锥形桩的快慢；（2）形成锥形桩过程中自身参数的相互关系（该锥形桩的约束关系），为实验的探究过程提供有效论证，以下的实验中则着重探究锥形桩自身参数的约束关系。

所采用的实验装置：如图3（a），用铁架台将漏斗固定，便于在实验中灵活调节高度；一个近似于二维平面的实验装置如图3（b），便于测量锥形桩的静止角与高度。近似于二维平面实验装置类似于一个矩形（长40cm、宽2cm、高30cm），其底部是较为光滑的材质，减少了颗粒物质下落时与底部碰撞所产生的摩擦力；在装置的两端都固定了30cm高的挡板，便于浇筑时更直观地观察到锥形桩的状态。浇筑过程中漏斗口应垂直于水平桌面。

图3

2 锥形桩影响因素的实验探究

2.1 不同流速的影响

采用控制变量法进行探究。选取相同体量的玉米粉、白砂糖、小米，分别依次从口径不同且置于同一高度的漏斗中流出，形成锥形桩（注：漏斗口到底面高度H=10cm；颗粒物质体量V=55cm3）。锥形桩浇筑完成后，分别测量出桩的高度h和桩底面最大直径d；通过公式计算出颗粒物质的出口流速，进行多组实验并取平均值，数据如表1所示。

表1 不同流速的影响

由表1可知，同一体量不同种物质，经同一口径漏斗流出，其流速各不相同，但浇筑成形的锥形桩参数近似一致；同一体量同种物质，经不同口径流出，锥形桩参数也近似一致。从而得出结论：流速对浇筑形成锥形桩的过程影响不明显。

2.2 浇筑时间与静止角的关系

选取两种颗粒物质并设定其流速和高度都相同（S0=1.28cm2、H=10cm）的情况下，测量其下落过程中不同时间段内所形成锥形桩的参量（h（t）、θ、r0），经多组实验取平均值如表2。

表2 不同下落时间对锥形桩的影响

由表2可知，当颗粒物质流速、下落高度一定时，同种颗粒物质和不同种颗粒物质所浇筑的锥形桩的形状及其静止角不同。原因在于在浇筑过程中锥形桩体逐渐增大，流至桩形表面的颗粒物质公摊面积增大，此时颗粒物质滚动速度加速减小，因此颗粒物质在桩面的稳定性增大，故而其静止角增大。

2.3 自然生长的颗粒物质大小对静止角的影响

研究自然生长颗粒物质是否影响静止角的大小时，分别选取小米、大米、绿豆为研究对象，其实验过程中分别形成锥形桩；测量并记录实验数据：小米直径1-1.5mm，静止角30°；大米直径1-3mm，静止角32°；绿豆3-4mm，静止角40°。由此可知当三种颗粒物质的体量与流速一定时（S0=1.28cm2），其浇筑形成的锥形桩形状各不相同（即静止角的大小不同）；换而言之，体量与流速一定时，不同颗粒物质构成的非粘性颗粒锥形桩，在近似的二维平面上形成锥形桩的静止角是明显不同的。

自然颗粒物质自身半径越大，其所浇筑锥形桩的静止角就越大。这是因为自然生长的颗粒表面光滑，且颗粒越小光滑程度也就越大，而颗粒较大其表面就容易形成纹路，也因此容易形成凹凸不平的疤痕，使其摩擦力较大，故而在堆积过程中减少了相对滑动，锥形桩就越高，静止角也就越大。所以自然颗粒物自身半径越大其浇筑锥形桩的静止角越大。

2.4 研磨颗粒大小对静止角的影响

选择体量相同的三份大米分别置于研磨机里研磨，通过控制其研磨时间为变量，得到三份不同研磨程度的颗粒物质，使其分别通过三个相同漏斗（S0=1.28cm2）浇筑形成锥形桩，经过实验及测量发现其静止角各不相同，实验数据为：大米研磨5分钟时静止角为29.35°，研磨10分钟时静止角为34.24°，研磨15分钟时静止角为40.17°，且经过研磨后颗粒研磨越小越细，静止角就越大。

通过理论分析可知，之所以大米研磨越细其形成锥形的静止角越大，是因为经过研磨后的颗粒物质表面是粗糙的，从而导致表面纤维相接触摩擦力大；另外，随着研磨程度的增大，颗粒物质面积减小的程度比颗粒物质体积减小的程度小，而颗粒物质面积正比于摩擦力，颗粒物质体积正比于颗粒物质重量，颗粒物质单位质量所受的摩擦力增加，所以研磨越细静止角越大。

2.5 探究锥形桩的形成过程及底面碰撞的关系

以小米、白砂糖两种物质为研究对象，来探究非粘性颗粒分别在硬质桌面、泡沫板上浇筑锥形桩的影响因素。在实验过程中发现，非粘性颗粒在于底面接触初期与底面发生了碰撞，且碰撞恢复系数不同；底面弹性越好，非粘性颗粒与之发生碰撞就越剧烈，浇筑初期在底面上随机铺开的面积也就相对越大，但在锥形桩浇筑形成稳定之后，便与底面无关。

3 结束语

本文对非粘性颗粒物质形成锥形桩的过程，及其相关参数进行了详细的理论分析和实验探究。发现非粘性颗粒物质自身的形状、尺寸都会影响它所浇筑形成的锥形桩的大小（静止角）：（1）随着时间的变化锥形桩的大小也在变大，静止角增大；（2）颗粒物质越大，静止角越大；（3）研磨后颗粒物质越小越细，静止角越大；（4）非粘性颗粒物质下落时的流速和颗粒物质接触底面的粗糙程度都不影响锥形桩的大小和静止角的大小。在本次实验探究过程中，其结论与任博等人的研究结论较为吻合[1]；但所采取的探究方式与任博等人有不同之处[3-6]，如：（1）物质种类的选取比较多样，能够发现在形成锥形桩的时候多个因素的考虑；（2）对静止角和底面半径的影响做了详细的讨论。