基于核心素养的“问题链”课堂教学实践研究

刘海涛

摘 要 教学中以问题链为导向引导学生思考，进而驱动学生探究，学生在探究中锻炼思维、获取新知。通过对教学等的分析，设计“基本不等式”第一课时的教学;通过层层递进的探究活动来展示整节课程，发展学生的数学核心素养。

关键词 高中数学 问题链 核心素养 基本不等式 教学设计

问题是思维的源泉，更是思维的引擎。课堂问题的设置是课堂教学师生双边活动最基本的也是最重要的形式之一[1]。基于“问题链”的教学是指教师依据教学目标，将教学内容设计成以问题为纽带，以知识形成、发展和培养学生思维能力为主线，以师生合作互动为基本形式，从而激发学生的思维活动，积极主动探究新知，发展自身的数学核心素养的教学活动。数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质。数学学科核心素养的内涵包括数学核心知识、核心能力、核心品质，主要由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面组成，这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体[2]。数学核心素养不是具体的知识和技能，也不是一般意义上的数学能力。数学核心素养基于数学知识技能，但高于具体的数学知识技能[3]。因此，笔者在日常课堂教学中，以知识的生成与发展为主线设计“问题链”，引导学生主动思考、积极探究，锻炼学生的思维能力，让核心素养落地生根。本文尝试以“基本不等式”第一课时的教学为例，论述如何设置“问题链”引领课堂教学，发展学生的数学核心素养。

一、教学分析

（一）教材分析

本節内容安排在普通高中数学教科书必修第一册（人教A版）第二章第二节，是不等式学习中的重点和关键点，具有承前启后的作用。一方面，基本不等式是由前一节所学重要不等式[a2+b2≥2ab]通过函数代换所得;另一方面，在基本不等式的证明过程中，用到了函数代换、数形结合、转化与化归等数学思想方法，为后续学习其他与不等式有关知识奠定了基础。

（二）学情分析

学生此时已学过不等式的性质、重要不等式等知识，掌握了比较代数式的大小、不等式的简单证明和应用，具备了平面几何的基本知识，具有初步的图形分析能力和直观想象素养，但对于知识点的前后联系、综合运用能力不够。基于此，教师创设问题情境，引导学生主动思考，通过层层递进的探究活动，培养学生分析问题、解决问题的能力，发展学生数学核心素养。

（三）教学目标

1.了解基本不等式的代数、几何背景;掌握基本不等式的证明方法及其结构特征与使用条件;学会运用基本不等式解决一些简单最值问题。

2.通过对基本不等式的探究，培养学生函数代换、数形结合、转化与化归等数学思想，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象等数学核心素养。

（四）重点与难点

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：基本不等式的使用条件和取等条件。

二、教学过程

（一）特殊替代，发现新知

[师]上一节我们由完全平方公式得到一类重要不等式：[?a，b∈R]，有[a2+b2≥2ab]，当且仅当[a=b]时，等号成立。

[问题1]既然重要不等式中[a，b∈R]，那么我们用[a，b]分别替换[a，b]，可得到什么？

[生1][a+b≥2ab]，当且仅当[a=b]时等号成立。

[师]有需要补充的吗？

[生2][a，b≥0]。

[师]很好，考虑到若[a，b]至少一个为0时，不等式[a+b≥2ab]显然成立，没有研究的必要，故一般规定[a，b>0]。由此我们得到：[?a，b>0]，有[a+b2≥ab]，当且仅当[a=b]时，等号成立。我们将其称为基本不等式。

教学预设：此处，学生可能会产生疑惑，为什么将[a+b≥2ab]变形成[a+b2≥ab]，岂不是化简为繁。教师先对学生的发问精神予以肯定、表扬，再留下悬念，告诉学生后面会具体讲解，激发学生的学习热情。

[师]我们分别称[a+b2]、[ab]为正数[a]和[b]的算术平均数、几何平均数。基本不等式的文字表述怎么说？

[生3]两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

设计意图：问题1引导学生用[a，b]分别替换重要不等式中的[a，b]得到新的对象（基本不等式），直奔主题，简明清晰、自然流畅。向学生渗透函数代换的数学思想，教会学生“做数学”的研究方法，为后续学习不等式的变式推广奠定基础，这一过程发展了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

（二）数形结合，证明新知

[问题2]我们通过特殊替代得到了基本不等式，下面，我们能否用不等式性质推导出它呢？

[生4]作差法。

[师]很好，除了作差法，还有其他方法吗？

片刻后，依然没有学生回答。

[师]我们解数学题时一般有两种思路，一是由条件推导结论，称为由因导果法，也叫综合法，二是从结论出发不断找充分条件，称为执果索因法，也叫分析法。若由条件容易推导出结论，我们就用综合法，作差法就是综合法的一种;反之，我们采用分析法。

探究1：基本不等式除了[a，b>0]外，没有任何条件，请同学们尝试用分析法证明它。

数学活动：学生小组内讨论、交流，教师予以适当指导，共同探究。

[生5]要证[a+b2≥ab]，就是证[a+b≥2ab]，根据不等式性质，就是证[a+b-2ab≥0]，即证[a-b2≥0]，显然成立。

数学活动：生5展示其证明过程，教师纠正解答格式。

[师]分析法的关键就是不断地找充分条件（能推导结论的式子），直至找到一个显然成立的式子。今后我们需要运用分析法来证明很多问题，历史上很多伟大的数学家也是用分析法来寻找解题思路的。

设计意图：在基本不等式的证明中，重点对分析法做了讲解，让学生比较综合法与分析法，体会分析法是一种探究结论的重要方法。问题2的探究培养了学生分析问题、解决问题的能力，发展了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

[问题3]基本不等式是否有它的几何解释呢？

探究2：如图1，[DC]是直角[△ABD]斜边[AB]上的高，垂足[C]把斜边[AB]分成两段长度分别为[a，b]的线段，请同学们找出能表示算术平均数和几何平均数的线段，并借助图形解释基本不等式。

[生6]边[AB]中点即可将其分成两段长均为算术平均数[a+b2]的线段。

[师]很好，如图2，取[AB]中点为[O]，则[OA]=[OB]=[a+b2]，那有没有表示几何平均数的线段呢？下面请同学们相互讨论、交流，找出线段。

[生7]如图2，易得[△ADC]∽[△DBC]，则[DCBC=ACDC]，即[DC2=AC?BC]，所以[DC=ab]，高[DC]长表示几何平均数。

[师]如何解释[OA=OB≤DC]呢？

[生8]连接线段[DO]，[DO=a+b2]，也可表示算术平均数。

[师]很好，由直角三角形性质可知，点[D]在以AB为直径的圆[O]上，圆[O]半径为[a+b2]，如图3。

用几何画板动态演示点[D]在圆周上运动时，始终有[DC≤DO]，当且仅当点[C]与点[O]重合，即[a=b]时等号成立。

[师]通过上述探究，我们得到了基本不等式的几何解释：圆的半弦长不超过半径长。这里同学们应该明白为什么把基本不等式表示为[a+b2≥ab]，这样的表示有着它的特殊的几何意义。

设计意图：通过基本不等式几何解释的探究活动，让学生学会从运动、变化的角度思考问题，几何画板的动态演示，可以直观体现出取等条件。这一探究活动培养了学生数形结合思想，发展了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

（三）新知解读，加深理解

[问题4]怎么理解基本不等式中“基本”一词的含义？

[生9]大概它是最简单的不等式吧。

[师]重要不等式[a2+b2≥2ab]一样简单呀，而且我们是由它得到的基本不等式。

（学生们一片沉默，但是情绪高昂、两眼放光，对问题4充满兴趣）

[师]之所以将其称为基本不等式，这里有三层含义，一是它运算法则结构上简洁，左边用到加法和除法，右边用到乘法和开方，都是最基本的运算，左边是算术平均数，右边是几何平均数;二是它本身蕴含着丰富的代数、几何、物理知识及生活背景;三是它可以变形推广出其他的均值不等式，甚至推导出更复杂的不等式。

设计意图：通过对基本不等式中“基本”一词含义的解释，一方面加深学生对基本不等式的理解，另一方面让学生知道还有很多不等式的学习都是以基本不等式为基础的，引起学生的重视。

[师]请同学们观察重要不等式与基本不等式。

[问题5]基本不等式中的使用条件是什么？如何理解“当且仅当[a=b]时，等号成立”？

[生10]使用条件是[a，b>0]，“当且仅当”就是“充要条件”的意思。

[师]你能解释一下吗？

[生10]意思是[a=b]是[a2+b2=2ab]（取等号）的充要条件。

[师]很好，基本不等式的使用条件是两个正元，“当且仅当[a=b]时，等号成立”的意思是“当[a=b]时取等号，且只有[a=b]时取等号”。

设计意图：加深学生对不等式的理解，掌握基本不等式的使用条件和取等条件，为今后灵活运用基本不等式打下基础，培养学生思维的深刻性。

（四）新知应用，巩固提高

例1.若[x>0]，求[x+1x]的最小值。

变式：若将“[x>0]”改为“[x∈R]且[x≠0]”，结果如何呢？

设计意图：通过例1加深对基本不等式的使用条件和取等条件的认识，变式的目的在于培养学生分类讨论、转化与化归的思想，分析问题、解决问题的能力，发展学生逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

[师]请两位同学们分别在黑板上展示例2的两个问题，其余同学在草稿纸上解答。

例2.已知[x，y]都是正数，求证：

（1）如果积[xy]等于定值[P]，那么当[x=y]时，和[x+y]有最小值[2P]。

（2）如果和[x+y]等于定值[S]，那么当[x=y]时，积[xy]有最大值[14S2]。

数学活动：学生板书后，教师及时予以点评，重点强调解题思路（一正、二定、三等）和解答格式的规范性。

[问题6]通过上述两道题目，结合基本不等式，能得出关于最值的什么结论吗？

[生11]若两个正数的积为定值，则它们的和有最小值;若两个正数的和为定值，则它们的积有最大值;

[师]很好，我们可以将这两类最值问题总结为口诀：积定和最小，和定积最大。

设计意图：通过例2的两个问题，师生共同探究，抽象出问题的模式化解决方法，让学生深刻理解“一正、二定、三等”，培养了学生分析问题、解决问题的能力，发展了学生的数学抽象、数学建模、邏辑推理、数学运算等数学核心素养。

（五）课堂小结，分层作业

[问题7]本节课我们学习了哪些内容？你能从知识、方法、思想三个方面予以总结吗？通过基本不等式的学习，你有何启发？

数学活动：学生总结完，教师及时对学生总结进行点评补充，共同完成归纳总结。

设计意图：通过学生总结所学，教师可以有效检验课堂教学是否达到预期，并及时进行补充纠正，为下节课的教学做好预设准备，最后完整展现一节课所学的知识、方法、思想，让学生对所学有一个清晰、完整的认识。

[师]今天的课就到这里，请同学们完成今天的作业。

必做题：课本46页练习1、2、3题。

选做题：如图4，割线[PAB]过圆心点[O]，[PC]为圆[O]的切线，[DO⊥AB]于点[O]，[CE⊥AB]于点[E]，[PA=a]，[PB=b]，你能找出基本不等式的几何解释吗？还能找出哪些线段之间的不等关系？能否用不等式表示出来呢？[DC2=AC·BC]

设计意图：分层作业是分层教学的一种形式。必做题为基础内容，要求每位学生掌握，保证教学目标的完成;选做题为后续基本不等式的变式推广做铺垫，留给学有余力的学生。作业设置兼顾到不同层次的学生，体现了因材施教的教学理念。

三、教学反思

（一）设计逻辑连贯的问题链，让学生进入思维的轨道

问题是数学的心脏，章建跃博士说，以问题引导学习应当成为数学教学的一条基本原则，教学中以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，设计前后一致、逻辑连贯的问题链，让学生进入思维的轨道，在问题链的引导下，积极主动分析、思考、探究、解决问题，最终深刻地掌握数学知识[4]。

本节课以7个问题构建问题链，问题1引导学生通过特殊替代得到基本不等式，相比于复杂的情景引入，这种直奔主题的教学方式简洁清晰、自然流畅;问题2引导学生思考如何证明基本不等式，顺势介绍分析法，教会学生分析问题的不同策略，提高学生的思维水平;问题3引导学生在几何图中找出基本不等式的几何解释，由“数”到“形”，引导学生从不同的角度思考问题，加深学生的思维深度;问题4引导学生思考“基本”一词的含义，加深学生对基本不等式的理解;问题5强调基本不等式的使用条件和取等条件，分析“当且仅当”的含义，加深学生对基本不等式的认识和理解;问题6引导学生结合例2思考、总结出利用基本不等式求最值的数学模型;问题7引导学生从知识、方法、思想三个方面总结一节课所学，使学生对本节课所学有一个清晰、完整的认识。

（二）注重数学思想的渗透，优化学生的认识结构

数学思想是对数学知识的本质认识，是数学的精髓，是数学知识和数学能力之间的一座“桥梁”。笔者认为，教学中注重数学思想的渗透，可以帮助学生优化认知结构，学会“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”[5]。

本节课的教学中多处体现了数学思想的渗透，在环节1中，回顾重要不等式后，引导学生用[a和b]分别替换[a和b]，渗透了函数代换的思想;在环节2中，师生合作，先从代数角度证明基本不等式，再从几何图形中找出基本不等式的几何意义，向学生渗透数形结合的数学思想;在环节4中，在例1的基础上，变式需分类考虑[x]的正负，当[x<0]时同时提取负号后，括号内使用基本不等式求最值，这里渗透了分类讨论、转化与化归的数学思想。例2及问题6的探究，得出“积定和最小，和定积最大”的结论及“一正、二定、三等”的解题步骤，也体现了建模的数学思想。

（三）尊重学生的主体地位，培养学生数学核心素养

笔者认为，课堂上数学知识的生成应是师生共同探究所得，是自然而然从学生头脑中流淌出来的，而不是“强加于人”的。学生只有经历自主探究新知的过程，才能从中习得数学思想方法，发展自身的数学核心素养。

本节课属于定理教学课，教师始终尊重学生的主体地位，始终坚持以学生为主体，用问题引领教学，学生在问题链的驱动下完成基本不等式的发现、证明、理解、应用，体会定理探索的一般思路，为今后探究其他定理提供模式化的思路与方法。通过函数代换得到基本不等式，发展了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养。从“数”与“形”两个角度证明基本不等式，发展了学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素養。在例题教学中，通过例题总结出利用基本不等式求最值的方法，发展了学生的数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

[参 考 文 献]

[1]王建强.课堂问题链的设计、实践与思考[J].上海教育科研，2015（4）：71-73.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[Ml.北京：人民教育出版社，2018.

[3]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015，35（9）：36-38.

[4]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报，2013（6）：5-8，封底.

[5]史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018（1）：8-10.

（责任编辑：杨红波）