居家环境下运用光衍射法测量弹性模量实验的设计

张澍辰，朱 玲，梁 燕

(中国科学技术大学 a.少年班学院；b.物理实验教学中心,安徽 合肥 230026)

拉伸法测量金属丝弹性模量是大学物理基础实验之一[1]. 受疫情影响，大学物理基础实验难以在实验室进行，学生需要在缺乏实验室设备的条件下，利用生活材料搭建装置完成该实验[2]. 相较于传统的光杠杆法，运用光衍射法测量金属丝受力时的微小变化量具有更高的精度；同时由于光衍射法是非接触方法，不需要在被测金属丝上连接整套杠杆装置，因而具有更好地灵敏性和稳定性[3]. 相对而言，光衍射法对实验室设备的稳定性、精密度的要求更高，在居家条件下实现相对困难. 如果能够运用生活用品在非实验室环境下完成光衍射法的实验，不仅能够提高居家实验中弹性模量测量实验的精度，也能更好的锻炼学生的实验设计能力、动手组装实验装置的能力和观察实验现象的能力，同时也加深了学生对光的衍射理论的理解.

1 实验原理

1.1 弹性模量

弹性模量是描述固体材料抵抗形变能力的物理量[4]，是弹性材料最重要的力学性质之一，其大小仅取决于材料本身的物理性质. 材料受力后发生形变，在弹性限度内， 条形材料(例如金属丝)沿纵向的应力(单位面积上所受的力)与应变(长度相对伸长)之比，称为弹性模量. 根据定义弹性模量为

(1)

其中，F为施加在金属丝上的拉力，S为金属丝的横截面积，L为金属丝的长度，ΔL为金属丝受力后的伸长量.

1.2 单缝夫琅禾费衍射

光的衍射可分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射[5]，其中夫琅禾费衍射是远场条件下衍射波趋于平面波的衍射，实验室条件下，通常通过增加透镜实现.单缝夫琅禾费衍射图样由一系列明暗相间的衍射条纹组成.其中中央零级条纹聚集了绝大部分光能，光强最强且宽度是其他亮条纹的2倍.改变缝宽，中央亮条纹宽度也将随之变化.本实验通过测量中央亮条纹宽度的变化来计算金属丝长度的变化.根据夫琅禾费单缝衍射实验理论[6]，设狭缝到光屏距离为a,激光波长为λ,中央亮条纹宽度为l,则狭缝宽度为

(2)

记狭缝宽度变化为Δb，初始时中央亮条纹宽度为l0,加载一定重物后中央亮条纹宽度为l，则金属丝的伸长量ΔL为

(3)

设此时重物质量变化为Δm，金属丝横截面积可由其直径d得到，S=πd2/4，重力加速度为g，则根据式(1)可得弹性模量为

(4)

(5)

2 实验仪器装置设计

金属丝受力后拉伸的距离是非常微小的量，该距离的测量是此实验的重点和难点.本实验利用光衍射法对其进行测量，实验装置示意图如图1所示.

图1 光衍射法测弹性模量实验装置示意图

在铅直面上平行放置2片刀片形成狭缝，激光笔发射的光线垂直入射狭缝，在接收光屏处形成明暗相间的衍射条纹. 逐渐增加砝码盘中重物的质量，金属丝受力产生微小形变，导致衍射条纹宽度随狭缝宽度的变化而变化.

居家实验中，利用家用物品制作光学狭缝是此实验设计的重点和难点. 本文利用废弃的电话卡设计制作了光学狭缝，步骤如下：

将2张小号电话卡上端粘在一起，下端分开，把上刀片夹在它们中间，并用双面胶粘在电话卡上. 再将1张面积较大的电话卡粘在中空支架上，并在其外表面的左右两侧粘2个宽约5 mm的长条，使其中间构成空槽. 然后将下刀片粘在长条上使其架在空槽上. 最后将夹有上刀片的2张小号电话卡中的1张插入凹槽内，将待测金属丝与上刀片组件的外表面粘在一起，其实物图和示意图如图2所示. 此方案设计的狭缝不仅保证上下刀片始终在同一平面，而且光滑的卡片表面也减小了阻力，保证了上刀口能够自由滑动.

(a)上下刀口组成的狭缝

在组装实验装置时，将金属丝上端固定，金属丝下端挂一大矿泉水瓶并加入一定量水，使其预拉直. 将装有狭缝的中空支架和激光笔分别放在2个千斤顶上(家用汽车配件中提供)，用于调节高度；将坐标纸粘在墙上作为光屏. 实验时尽量增大狭缝与光屏之间的距离，这样形成的衍射条纹宽度较大，测量精度更高. 设置合适狭缝宽度，调整千斤顶高度使激光垂直照在狭缝上，记录此时条纹的宽度. 此后逐次加入150 mL水并待系统稳定后记录条纹宽度. 实验装置如图3所示，实验现象如图4所示.

图3 实验装置整体图

图4 实际衍射条纹图

在非实验室环境下通常使用密绕法测量金属丝的直径，但一些刚性较好的金属丝很难做到严格的密绕. 利用钢笔的旋转部分的等间距螺距，自制了简易螺旋测微器，如图5所示，设计方案如下：将钢笔笔头与笔杆连接处拧开，并在有螺距一端粘上卷尺，再利用已知厚度的物体进行定标(比如硬币)，确定倍率，即可用于测量金属丝的直径.

图5 自制螺旋测微器

为测试上述实验装置的实际效果，验证其精度和稳定性，现对1根已知弹性模量的钢丝进行实验测量，其理论值为2.00×1011N/m2.

3 实验数据测量与处理

实验测得的数据如表1～2所示.

表1 Δm,l,Δw数据

表2 L,d和a的测量数据

通过计算可得L=(1.064 8±0.001 8) m,d=(0.029 7±0.000 6) mm,a=(2.007 6±0.003 6) m. 采用最小二乘法拟合Δw-Δm图像，如图6所示,斜率k=(597.5±1.7) m-1·kg-1，通过计算可得弹性模量E=(1.93±0.08) N·m-2.

图6 Δw-Δm散点图与最小二乘法拟合直线图

弹性模量相对不确定度为4.1%，主要来源于中央亮条纹宽度的不确定度和金属丝直径的不确定度.

同时，需要指出的是，本实验装置的主要误差来源于以下几个方面：

1)金属丝顶端固定的刚性不足，当重物较重时，固定处可能发生形变；

2)采用逐渐加水的方法，需要提前留出一定的初始狭缝宽度. 狭缝宽度过宽则无法测量初始条纹宽度，过窄则会导致可用区间不足. 采用逐渐减少水量的方法可以解决此问题，但在居家条件下很难做到从水瓶中抽水而不对实验装置造成扰动；

3)光衍射法对系统稳定性的要求很高，而居家条件下，装置较为简陋，扰动较多.

4 结束语

疫情期间，在大学物理实验难以在实验室环境进行的背景下，本文利用光衍射法测量金属丝的弹性模量，通过对实验室环境下的装置和实验方案进行改进，在居家条件下，创造性地设计了光学狭缝和螺旋测微器，并进行了实验，较大程度地提高了居家测量弹性模量精度，实验结果的相对误差≤5%，符合实验中对精度的要求.