交流电感电桥法线胀系数测量实验仪

刘平安，刘 恺

(河南大学 a.物理与电子学院；b.实验室与设备管理处，河南 开封 475004)

线胀系数测量是高校理工科学生必做的基础物理实验项目，旨在让学生掌握测量线胀系数的原理与方法. 提高固体微小变化量的测量精度是实验成功的关键，最早的测量方法是尺度望远镜和光杠杆法[1-2]，后来文献报道千分表法[3]、单缝衍射法[4-5]、激光扫描F-P干涉法[6]、迈克耳孙干涉法[7]、CCD成像法[8]、电容位移传感器法[9]、交流电容电桥法[10]等方法[11-15]. 本文设计了交流电感电桥法测量线胀系数实验仪，增加了定标、最小二乘法数据处理等实验内容.

1 固体的线胀系数及测量原理

设L0为物体在0 ℃时的长度，则其在t℃时的长度为

Lt=L0(1+αt),

(1)

先测出材料在室温t1下的长度L1，再测出材料从t1升至t2的伸长量δL21，则

(2)

式(2)中δL21是光杠杆法、千分表法等方法的核心测量.若再测出温度t2下的长度L2，则

(3)

L2为实验的核心测量量，本实验仪即基于该测量而设计.

(4)

(5)

固体线胀系数精确测量的另一个关键因素是保持金属棒均匀受热并且精确测量其温度.一般采用蒸汽加热、流水加热、电加热等方法，再结合性能日益提高的温度传感器实现对金属棒的精确控温.

2 交流电感电桥法线胀系数实验仪及测量原理

图1所示为交流电感电桥测线胀系数电路图.空心线圈H1和H2并排安放，柱状铁氧体磁芯左右两端分别位于2个线圈中心位置，改变电位器Rs和Rp可将交流电桥调节至平衡状态.当旋转微分头使磁芯向左或向右移动时，两线圈的电感参量同时发生改变，且改变方向相反，使得电桥平衡被破坏，输出电压值增大.经测试，位移量与输出电压信号在一定范围内成线性关系.记录微分头旋转时的刻度值与对应的电桥输出电压，采用最小二乘法即可完成对交流电桥的定标.

图1 交流电感电桥测线胀系数电路图

使用定标后的交流电桥，当温度改变时，金属棒膨胀推动与之刚性相连的磁芯发生微小移动，灵敏度优于11 mV/mm的交流电桥有较大的输出电压变化. 通过测量不同温度下交流电桥输出的电压值，可求得金属棒的伸长量δL.

将交流电桥的高灵敏度特性与金属棒长度的微小变化量相联系，是本实验装置能精确地测量金属材料线胀系数的根本原因.

图2为交流电桥法线胀系数测量实验仪的装置图，实物图如图3所示. 各部分功能如下：

1.底座 2.固定螺栓 3.顶针 4.加热炉 5.样品棒 6.PTC平板加热器 7.风扇 8.测量端顶针 9.线性导轨 10.铁氧体磁芯 11.双电感线圈 12.微分头平移台 13.弹簧

图3 交流电桥法线胀系数测量实验仪实物图

1)底座：固定各器件；

2)固定螺栓：固定顶针的位置，使样品棒左端位置不动，拧松后可拆下顶针，从而更换样品棒；

3)顶针：顶住样品棒左端，固定其位置；

4)加热炉：铝合金制，包裹住样品棒使之均匀加热，并装有温度传感器；

5)样品棒：被测样品(铝和黄铜2种材料)；

6)PTC平板加热器：紧贴加热炉，为加热炉的热源；

7)风扇：对加热炉进行降温；

8)测量端顶针：顶住样品棒右端，能够随样品棒的伸缩左右平移；

9)线性导轨：保证测量端顶针沿轴向移动；

10)铁氧体磁芯：与测量端顶针刚性连接并随之平移；

11)双电感线圈：固定在微分头平移台上，其电感参量会随铁氧体磁芯的平移而改变；

12)微分头平移台：带动双电感线圈左右平移，用于定标位移读数与交流电桥输出信号间的关系；

13)弹簧：保证测量端顶针紧靠样品棒右端，中间不会有间隙，更换样品时能起到弹出样品的作用.

该实验装置利用传感器、单片机与多个PTC电加热器实现了对样品棒均匀控温，安装一排散热风扇又可使金属棒迅速降温.

详细技术指标：温度显示分辨率为0.1 ℃，温度控制范围为室温至80 ℃；加热器工作电压为AC30 V；交流信号源频率1 kHz，幅度0～5.5 V峰峰值连续可调；电感线圈线径0.13 mm，3 000匝；交流信号峰峰值检测，三位半数码管显示，分3挡，量程分别为2 V，200 mV及20 mV，最小挡能显示0.01 mV电压变化；位移测量灵敏度优于11 mV/mm；微分头读数精度为0.01 mm，测量范围为0～13 mm；φ8 mm×400 mm，材质为铝和黄铜的金属样品棒各1根.

3 实验方法

3.1 交流电感电桥输出电压与微分头位移量关系定标

微分头放在可平滑移动的台上，能够带动2个电感线圈同时沿轴向移动. 保持铁氧体磁芯不动，将交流电桥调节至平衡，即“峰峰值信号探测”所示电压值在“20 mV”挡位，无论2个线圈向左或向右移动，检测到的交流电压信号都会增大. 因此，定标曲线呈“V”字型，但测量线胀系数时仅用其单调增加或减小的一部分. 实际测量时线圈不动，产生位移量的是铁氧体磁芯，因此定标时若电感线圈向左移动，应看作铁氧体磁芯向右移动，反之亦然. 定标步骤如下：

1)用连接线分别将主机前面板2个电感线圈的接口与装置上电感线圈的接口相连，然后将交流电桥的电压输出端接口与信号探测输入端接口相连，如图4所示，用连接线将主机后面板3个接口与装置外壳上的3个接口相连并锁紧；

图4 仪器主机与装置前后面板接线图

2)测量样品棒长度L1，拧下左侧2个固定顶针的固定螺栓，将样品棒塞入加热炉，装回顶针，拧紧固定螺栓；

3)保持样品棒温度不变(20～25 ℃不变或将温度稳定控制于30 ℃)，旋转微分头移动平移台，使其位于5～8 mm，此时磁芯左右两端分别位于2个线圈的中心位置，探测灵敏度较高；

4)调节主机前面板上“信号源幅度调节”旋钮，顺时针旋转为增大，幅度越大，电桥的灵敏度越高;

5)交替调节电位器Rp和Rs，将交流电桥调至平衡;

6)旋转微分头，记录主机上显示的电压U与微分头刻度值X，通过线性拟合得到定标公式U=aX+b，确定可用于测量的线性范围.

3.2 金属棒线胀系数的测量

1)旋转微分头使平台带动线圈移动，观察主机上探测所得的电压值，使线圈位于适用于定标公式的线性范围内；

2)设置控温模块的初始温度为t1：按“升温”按钮至所需温度(一般可设为高于室温5 ℃左右的整数温度)，按“确定”开始加热. 待加热炉内温度(即“温度控制与显示”的温度)与交流电桥输出电压值均稳定后，记录温度与电压值；

3)增加控温模块温度，如改变量为5 ℃，分别设置末温为ti=t1+5i,i=1,2,3…，最高末温≤80 ℃；

4)测量得到对应的一系列输出电压值U′；

5)通过定标公式U=aX+b将电压值U′换算为位移量X′，线性拟合微分头读数X′与样品棒温度ti，得到其斜率k.结合样品棒长度L1，即可计算得到样品棒的线胀系数.

说明：原本拟合不同末温ti与金属棒相应长度Li之间的关系曲线Li-ti，因为Li-L1=δLi1=δXi1=Xi′-X0，X0为交流电桥平衡时微分头的初始读数，是定值，因此，以Xi′-ti曲线代替Li-ti曲线，这样，无需每次测量金属棒在不同温度下的长度，记录微分头的读数即可.

4 实验结果

4.1 L1=400 mm黄铜棒的线胀系数

记录微分头读数从6.000 mm逐渐增大至7.500 mm时的输出电压信号，如表1所示. 微分头位移量与输出电压信号的U-X曲线如图5所示.

表1 装入黄铜棒时微分头位移量与输出电压

图5 黄铜棒的U-X关系曲线

首先要保证铁氧体在定标的最佳线性范围内移动. 因为黄铜棒受热膨胀推动磁芯的运动和定标时磁芯的相对运动相同(与实际移动的线圈方向相反)，所以，保持微分头的初始位置不变或者稍微减小即可.

每间隔5 ℃，记录系统输出电压值如表2所示. 注意，系统稳定的温度可能会和设定温度有少许偏差，但只要温度和输出电压达到双稳定状态即可记录数据，这不影响测量结果.

表2 黄铜棒在不同温度下输出电压及计算的位移量X′

根据定标拟合得到的微分头位移量与输出电压的关系方程，计算出不同末温时微分头的位移量Xi′.用最小二乘法拟合黄铜棒输出电压与位移量Xi′-ti图线如图6所示.

图6 黄铜棒的Xi′-ti

根据式(5)得黄铜棒的线胀系数为α铜=17.64×10-6℃-1.

4.2 L1=400 mm铝棒的线胀系数

记录微分头读数从6.000 mm逐渐减小至5.000 mm时输出电压值，如表3所示，结果显示初期线性差，删除这3个数据进行定标. 拟合U-X如图7所示.

表3 装入铝棒时微分头位移量与输出电压信号关系定标

根据图7，可以计算出不同末温时微分头的位移量Xi′,如表4所示. 分析位移量和输出电压的关系曲线，可发现加热初期5 ℃内，线性差，这可能与刚开始铝棒受热不均匀有关，也可能与微分头回到初始位置附近产生了回程差有关. 拟合45 ℃以上数据如图8所示，根据式(5)得到线胀系数α铝=22.75×10-6℃-1.

图8 铝棒的Xi′-ti关系图

表4 铝棒在不同温度下输出电压及计算的位移量X′

图7 铝棒的U-X关系曲线

因为金属棒受热膨胀推动磁芯的运动和定标时方向一致，所以微分头要回到定标的初始位置6.500 mm，或稍小的位置.

5 分析与总结

电感电桥不常用的原因是电感不易测量，但将交流电桥双线圈中电感的变化量转换成微小位移量，仅仅利用了电感电桥输出电压与引起电感变化的位移量的线性关系实现了微小位移量的电测. 虽然使用了电感电桥，但无须测量电感的大小，只要测量定标后交流电桥的输出电压即可推得样品棒的位移量(以微分头上读数表示). 测量的全程，测试电路与样品棒没有接触.

交流电桥使用双线圈较之单线圈的优势[13]：根据ΔL=k0Δl，线圈电感的变化量与磁芯在线圈中的位移量成正比，因为磁芯的左右两端分别处于左右2个线圈的中心位置，磁芯的位移导致了2个线圈的电感同时变化，不但交流电桥的输出量发生较大改变，而且在电桥调平的前提下，无论磁芯的位移向左还是向右，输出电压都在增大，从而提高了测量精度.

弹簧机构使金属棒和磁芯紧密接触，测得磁芯的位移量就能准确反映出金属棒的伸长量. 弹簧弹力对样品棒的位移量的影响取决于样品棒的弹性模量. 一般金属的弹性模量在102GPa量级，而实验仪所用弹簧的弹性系数比较小，样品棒在实验仪可达到的温度范围内，线膨胀效应引起的径向形变量都小于1 mm，根据胡克定律，弹簧施加在样品棒上的压力变化就很小，所以弹力对样品棒的位移量影响微乎其微，可以忽略不计.

顶针采用了新型不锈钢材料，线胀系数为1×10-5～1.5×10-5，明显小于样品的线胀系数. 实验仪中的顶针处于加热装置外部，且与样品棒接触的部位做成尖状，这样测试过程中，顶针的温度变化又很小，形变量微乎其微，减小了顶针自身膨胀的引入误差.

加热炉是铝合金材料，属于热的良导体，四周均匀排布4个相同功率的加热器，且加热炉芯与样品棒之间间隙很小，最大程度保证了加热温度的均匀性，在对不同样品棒的实际测试中也得到了很好的实验结果，因此可以认为温度的均匀性符合实验要求. 高灵敏度的传感器和高精度的数字温度表(分辨率0.1 ℃)，使得温度表能正确反映样品棒的实际温度.

3 000匝的电感线圈提高了位移测量的灵敏度. 每次测试前必须进行定标，测量时，要使铁氧体磁芯在定标曲线线性最好的区域内移动，以提高测量的精度.

实验结果表明，用自制的交流电感电桥测得金属棒的线胀系数结果与标准仪器所测量的数据能较好的吻合. 和传统方法比较，实验中增加了交流电桥调节、磁芯位移量与输出电压信号定标、最小二乘法数据处理等内容. 同时，该实验方法可以应用在其他类似的直线微小位移量的测量上. 将交流电桥与固体线胀系数测量2个基础实验巧妙结合起来，丰富了实验内容，开阔了学生的视野，培养了学生的创新意识和实践能力.