基于极限平衡理论的临坡地基承载力计算

邹文龙 李星 张惠超

中铁科学研究院有限公司，成都610032

在我国山区建设中，由于场地条件限制，大量基础设施不可避免地修建在临近山坡的地段，如跨河谷的桥梁桩基、高压输电线塔基础等［1］。对于实际工程中的此类临坡地基问题，GB 50007—2011《建筑地基基础设计规范》中给出了相应的设计方法，但其规定多为经验值，缺乏理论依据。为确保临近边坡建筑物的安全稳定，临坡地基承载力的研究具有社会与工程意义。临坡地基承载力问题是平地地基承载力问题的延伸，Meyerhof［2］最早研究了这个问题。此后，临坡地基承载力引起了世界各国学者的关注，Kusakabe等［3］以及Georgiadis［4］为本问题的研究和发展做出了重要贡献。我国学者很早也开始关注这个问题。早在1984年，张明楠等［5］基于弹性力学理论给出了斜坡顶部承载力的解。此后，以试验［6-7］、理论计算［8］和数值仿真方法［9］为主要手段的成果大量涌现。尉学勇、赵炼恒、胡卫东等［10-12］虽给出了明确的计算方法，但都存在各自的问题，如基础底面以下滑块近似为等腰三角形，计算模型没有真实地考虑基础埋深等。另外，既有理论方法大多采用极限分析上限法开展临坡地基承载力的研究，但设计人员更熟悉的却是应用广泛的极限平衡理论。本文在既有研究成果的基础上，基于极限平衡理论，建立各滑块的静力平衡方程，通过引入非线性规划算法解出临坡地基极限承载力。

1 临坡条形基础地基破坏模式

临坡地基的极限承载力与其达到极限状态时所对应的临界破坏模式密切相关，确定临坡地基的破坏模式是进行临坡地基承载力计算的重要前提。Meyerhorf［2］最早基于滑移线理论近似确定了临坡地基破坏模式，由于此简化模型能方便而不失精度地解决实际问题，此后关于临坡地基承载力的研究普遍都采用这种破坏模式，本文也沿用该研究思路。

由于边坡的存在，基础下部地层中的应力分布与平地地基相比具有不对称的特性，这将导致临坡地基破坏模式的不对称。另外，边坡的存在也使临坡侧相较于远坡侧更容易发生破坏。综上所述，为了给出合理的临坡地基承载力解，结合实践经验并参考文献［6，13］的既有研究成果，提出了由对数螺旋线和直线组成的破裂面的破坏模式。临坡条形基础地基破坏模式见图1。假定坡度为β的边坡坡顶地面水平，宽度为b的临坡基础埋深为d，基础边缘与坡顶边缘的距离为λb，其中λ为临坡距离与基础宽度的比值。在均匀分布的极限压力即条形基础的极限承载力qu的作用下达到极限状态，破裂面与坡面的夹角为η，基础底面以下的滑块为一个非等腰三角形ABC，其两个底角为α1和α2；夹在主动区ABC和被动区ADKEM之间的过渡区ACD是一个顶角为θ的曲边三角形区域，曲线边界为对数螺旋线。

图1 临坡条形基础地基破坏模式

根据上述临坡条形基础地基承载力计算的几何分析模型，通过几何关系可以获得三角形ABC的两条边AC和BC的长度LAC、LBC，即

过渡区ACD的边界为对数螺旋线，根据对数螺旋线的方程，边长LAD计算式为

式中：φ为土体的内摩擦角。

为求解被动区滑面DK的长度LDK，可以通过点D与坡面的距离建立方程，化简后为

2 分析推导

2.1 被动区受力分析

对被动区ADKEM进行受力分析，其受力分析见图2。其中，N1和T1为作用于界面DK上的法向力和切向力，N2和T2为作用于界面AD上的法向力和切向力，G1为被动区自身重力。

图2 被动区受力分析

被动区在界面AD、DK上的合力及自身重力的作用下达到极限平衡状态，水平和竖直方向的静力平衡方程分别为

另外，被动区处于极限平衡状态，界面DK和AD上的切向力和法向力满足

式中：c为土体的黏聚力。

被动区自身重力可表示为

式中：γ为土体的重度；S1、S2、S3分别为△ADM、△DEM、△DEK的面积，S1=-d LADcos(α1+θ)/2，S2=λb[d+LADsin(α1+θ)]/2，S3=LDKhsinη/(2sinβ)，h为坡面剪出口距离坡面的深度，h=d+LADsin(α1+θ)+LDKsin(β-η)。

通过联立式（5）—式（9）可以解出被动区边界DK和界面AD上所受的力的表达式。这些力都是关于破坏模式的几何参数α1、θ等的表达式。

2.2 过渡区受力分析

对过渡区ACD进行受力分析，见图3。其中，N3和T3分别为作用于界面AC上的法向力和切向力，G2为过渡区自身重力。过渡区在界面AD、AC、CD上的合力及自身重力的作用下达到极限平衡状态。

图3 过渡区受力分析

假设界面CD上的任意一点R处所受的法向应力和切向应力分别为σR和τR，由于过渡区处于极限平衡状态，即

若σR与σRtanφ的合力为σR0，其与σR的夹角为φ。根据对数螺旋线的几何性质，σR0是通过旋转中心A的。因此，作用在点R上的合力就可以分解为指向旋转中心的σR0和切向力c。另外，土压力作用点一般位于界面的1/2到下1/3处之间，考虑到极限状态时上部荷载远大于破坏区域土体自重，为简化分析，假设N2和N3都作用于各自界面的中点处。

对过渡区ACD以点A建立力矩平衡方程

式中：M2、M3分别为N2、N3产生的力矩，M2=N2LAD/2，M3=N3LAC/2；MCD为CD界面上黏聚力产生的力矩，为过渡区重力力矩，MG=γSACDL，SACD为过渡区ACD的面积，为过渡区重力力矩的力臂。

根据对数螺旋线几何性质可知

式中：、为形心坐标。

、的表达式分别为

整理式（11）—式（14），N3可以写为关于N2的表达式。由于过渡区处于极限平衡状态，T3可以写为

N2和T3是一个仅关于破坏模式的几何参数的表达式。

2.3 主动区受力分析

对主动区ABC进行受力分析，见图4。其中，N4和T4分别为作用于界面BC上的法向力和切向力，G3为主动区ABC的重力。

图4 主动区受力分析

主动区在界面AC、BC、AB上的合力及自身重力的作用下达到极限平衡状态，水平方向和竖直方向的静力平衡方程分别为

G3表达式为

由于主动区处于极限平衡状态，T4可以写为

通过联立式（16）—式（19）可以解出主动区界面BC上的法向力N4和切向力T4以及作用在AB界面上的极限荷载qu。这些力都是关于破坏模式的几何参数的表达式。

2.4 临坡地基承载力的极限平衡解

由于临坡地基极限承载力qu表达式仅与破坏模式的几何参数α1、α2、θ和η有关，则地基极限承载力实际上可以看做为这些几何参数的函数，即

式（20）是通过联立式（1）—式（19）解得的。其中，考虑到各角度和长度应具有物理意义，且点C、点D处破裂面应光滑连续，各几何参数的取值应满足

根据潘家铮［14］最大最小原理，式（20）的最小值就是地基极限承载力。于是该问题转化为：破坏模式的几何参数在其各自合理的范围内变化时，通过式（20）求得极限承载力的最小值。这是一个非线性规划问题，可以通过MATLAB工具箱中的fmincon求解。

3 算例验证与分析

前文以极限平衡理论为基础，建立了临坡地基极限承载力的计算方法，为验证其合理性与可行性，有必要与既有研究成果对比。

3.1 算例一

蒋洋等［15］利用有限元数值模拟研究了临坡地基极限承载力，文中算例基础宽度b=1 m，地基土重度γ=17 kN/m3，边坡的坡度为30°。以文献［15］中的算例为例，采用文献［16］方法及本文方法计算不同地基土的抗剪强度参数c、φ以及基础埋深d时临坡地基承载力，见表1。可知：本文方法与两种既有方法的计算结果吻合，将两种既有方法的平均值作为参照，本文方法与平均值的最大相对误差在10%以内，这表明了本文方法的合理性与可行性。由算例的几何条件可以发现，本文方法不仅适用于临坡基础与坡顶边缘的距离不为0的情况，也适用于基础有一定埋深的情况。

表1 算例一临坡地基承载力对比 kPa

3.2 算例二

赵明华等［17］将极限分析上限法与有限元法相结合，对临坡地基承载力开展研究，并给出了大量算例。以文献［17］中的算例为例，采用文献［17］方法及本文方法计算的临坡地基承载力见表2。其中基础宽度选取为1 m，地基土的重度为20 kN/m3。

表2 算例二临坡地基承载力对比 kPa

由表2可知：①本文提出的基于极限平衡理论的临坡地基承载力计算方法的计算结果与上限有限元方法结果的最大相对误差在14%以内，且绝大部分都在5%以内，这表明了本文方法的合理性与正确性。②本算例中不同工况间的变量包括了坡角、临坡距离、基础埋深、黏聚力及内摩擦角，且不同工况下均能获得与既有方法十分吻合的计算结果，也表明本文方法具有广泛的适用性。③通过控制变量法比较各工况下的计算结果，不难发现，临坡地基承载力随坡度的增大而减小，随地基土的抗剪强度指标的增大而增大，随临坡距离的增大而增大，随基础埋深的增加而增大。上述规律都符合工程实践，也侧面反映出本文方法的合理性。

3.3 算例三

临坡地基破坏模式的合理确定关乎所求极限承载力的正确性。为验证本文方法所求结果对应的破坏模式的合理性，以文献［18］中的算例为例，采用文献［18］方法及本文方法对比不同工况下临坡地基的破坏模式，结果见图5。其中，工况一的边坡坡角为30°，基础宽度为1 m，地基土重度为20 kN/m3，内摩擦角为40°，c/（γb）=1；工况二的边坡坡角为20°，基础宽度为1 m，地基土重度为20 kN/m3，内摩擦角为10°，c/（γb）=0.5。

由图5可知，本文方法所得的破坏模式与利用数值模拟方法所得结果吻合良好。这表明本文方法不仅能获得合理可靠的临坡地基承载力值，也可以获得合理可靠的临坡地基破坏模式，为防治相关地质灾害和岩土工程设计提供依据。

图5 算例三不同工况时边坡破坏模式对比

3.4 算例四

临坡建筑物地基受边坡影响的临界距离是实际工程中遇到的重要问题。GB 50007—2011中虽有相关规定，但其中规定缺乏理论依据。为此，应探讨临坡建筑物安全距离及其规律。

以基础宽度为1 m，重度为20 kN/m3，c/（γb）=1的边坡为例，采用本文所提出方法，讨论不同坡角和内摩擦角情况下临坡地基承载力与临坡距离比的关系，结果见图6。可知：①当地基土的抗剪强度一定时，无论坡角大小如何，随着临坡距离的增大，临坡地基的极限承载力都将逐渐增大并趋近于同一个值，即平地地基承载力。但达到平地地基承载力时所对应的临坡距离比与坡角相关，坡角越大，边坡对地基承载力的削弱作用越大，使边坡不再产生影响的临界距离也越大。②不同工况下所对应的临界距离是显著不同的。以β=45°，φ=30°的工况为例，当临坡距离比为5时，边坡对地基承载力的削弱作用仍存在，而按照现行规范进行处理是偏于危险的。

图6 算例四临坡地基承载力与临坡距离比关系

4 结语

通过临坡地基破坏模式中各滑块的静力平衡方程，给出了临坡地基极限承载力的计算步骤，引入非线性规划算法，建立了临坡地基承载力的计算方法。

采用多个既有算例的数据，利用本文方法进行计算，并与既有结果进行对比。本文方法与各数值模拟结果均吻合较好，证明本文方法兼具合理性及广泛的适用性。所求破坏模式结果与既有方法结果一致也展现出本文方法的可靠性。

通过临坡临界距离的讨论，发现边坡对地基承载力削弱效果消失的临界距离与多方面因素有关，而现行规范的规定可能使设计偏于危险。本文方法可以为防治相关地质灾害和岩土工程设计提供依据。