多项式曲面拟合法在GPS高程拟合精度分析中的应用研究

张建威，李 江

(1.河南能源化工集团 永煤公司车集煤矿，河南 永城 476600；2.河南能源化工集团 永煤公司，河南 永城 476600)

GPS测量技术在地质测量应用越来越广泛，但是GPS测量高程的基准面是参考椭球面，是以GPS大地高作为标准的高程。我国测量高程系统是正常的高程系统(基准面为大地水准面)，因此，GPS测量技术不能直接应用于测量系统中。为了转换大地高为正常高，国内外学者进行了很多研究，文献[1]对多项式曲面拟合和BP神经网络GPS高程拟合方法进行了比较研究，使用多项式曲面拟合法以及BP神经网络法对地质高程数据进行了分析、处理，然后对精度指标进行计算，最后，对拟合方法、拟合点的数量、拟合点的分布对精度的影响进行了分析。研究得出，在点的数量较多且分布都相对均匀的情况下，二次多项式曲面拟合法的拟合精度低于BP神经网络法的拟合精度；在点的数量较少且分布都相对均匀的情况下，二次多项式曲面拟合法的拟合精度高于BP神经网络法的拟合精度。张红华等[2]对GPS高程拟合方法及精度进行了分析，主要研究了加权平均法、多面函数法和二次多项式法，然后采用Matlab编程实现高程异常的曲面拟合。

本文主要采用多项式曲面拟合法，对GPS高程拟合精度分析进行了研究，并验证了该方法的实用性和可靠性。

1 多项式曲面拟合法

如GPS高程点布设在一定范围内时，采用数学拟合的方法对定点的正常高进行求解。根据测点区域内已知的高程异常值和大地坐标(平面坐标)，使用数学模拟法得出待定点的正常高[3-5]。

假如点的ξ与平面坐标(x，y)存在以下关系：

ξ=f(x，y)+ε

(1)

式中，ε为误差；f(x，y)为ξ的趋势值。

设：f(x，y)=a0+a1+a2y+a3x2+a4y2+a5xy+…，则变换为矩阵形式：

ξ=XB+ε

(2)

已知每个已知坐标点，采用最小二乘法原理，当∑ε2=min的条件下，B=(XTPX)-1(XTPξ)。

解出各ai，根据式(2)求解出待定点ξ，从而求出待定点的正常高。

1.1 二次曲面拟合方法

把高程异常视为一定区域内各点坐标的曲面函数，根据已知的GPS高程异常点，采用二次曲面拟合方法，求解出函数的拟合系数，从而得出该区域的点平面坐标和高程异常的函数。最后，根据二次曲面拟合方法求解出其他点的正常高[6-7]。

设区域内某点(x，y)的高程异常为ξ(x，y)，测区内已知点为m个，平面坐标(x，y)利用二次多项式表达式为：

ξ(x，y)=a0+a1x+a2y+a3x3+a4xy+a5y2

(3)

当ξ(i)=Hi-hi，i=1，2，3，…，m时，采用平差原理，列出n个误差方程式：

根据最小二乘原理，求解得出：A=(a0a1a2a3a4a5)T。

1.2 三次曲面拟合方法

三次曲面的形式[8-9]：

ξ=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2+a6x2y+a7xy2+a8x3+a9y3

(5)

使用平差原理，得出n个误差方程式：

根据最小二乘原理，求解得出：A=[a0a1a2a3a4a5a6a7a8a9]T。

目前多项式曲面拟合法是GPS高程拟合的热点，该方法能够快速、有效提高GPS高程转换精度，也能降低外业测量的难度。

2 测量精度

为了能够准确地对GPS的精度进行评定，适当地增加已知GPS联测点，并使其他点均匀分布在全网[10-12]。

(7)

式中，n为检核点数。

(8)

式中，n为V的个数。

(3)GPS水准精度测定。①采用GPS水准对GPS的正常高程差进行求解，在已知点中组成闭合或符合高程导线，然后，对比分析闭合差W和允许残差(表1)，从而对GPS水准的精确性进行衡量；②假设已知点和检核点的距离为L，按照表1对检核点拟合残差的限值进行计算，来评定GPS水准达到的精度[13-15]。

表1 GPS水准限差

(4)外围点的精度估算。对于外围点，采用外推计算GPS水准，外推点的残差V的估算式：

V=a+cD

(9)

式中，D为最近已知点到待求点的距离。

根据表1估算精度，为了某个外围点趋于某一精度，对V值进行确定。

3 高程拟合流程

本文采用Matlab软件，对高程拟合进行处理，Matlab软件的主要功能：①Smulnk动态仿真；②文字处理；③数据可视化和分析；④符号计算；⑤数值计算。

Matlab软件的优点：①降低了人工处理的强度和难度；②提升了作业效率；③减小了误差。基于Matlab软件的高程拟合流程如图1所示。

图1 基于Matlab软件的高程拟合流程

4 测区验证

4.1 试验区域和计算方案

(1)测区情况。为了确保GPS高程测量精度，在测区内布置多数二级GPS控制点，联测了19个三等水准点，采用高程拟合对控制点的正常高进行求解。然后，以三等水准点作为基础，对21 km四等几何水准点进行了实测，并且该水准路线通过了二级GPS点。

试验区域的控制点布置如图2所示，图2中有19个点作为水准联测点。

图2 试验区域的控制点布置

(2)高程拟合精度研究。为了研究起算点和高程拟合精度的拟合方法、起算点数量和空间分布的关系，采用了3种计算方案。①方案一：选取测网中均匀分布的19个水准点实行平面拟合。②方案二：选取测网中面积相对较大但是分布不均匀的15个水准点实行平面拟合。③方案三：选取测网中一半的11个水准点实行平面拟合。

4.2 高程拟合精度分析

3种方案下的高程拟合精度分析结果见表2。

表2 高程拟合精度分析结果

由表2可知，由于起算点的数量和分布，方案二的拟合精度显著高于方案三的拟合精度。方案一的拟合精度高于方案三的拟合精度，三次多项式的拟合精度高于二次多项式的拟合精度。

4.3 结果分析

(1)地质高程的拟合精度与拟合地区的地形，起算点的拟合方法、数量，起算点的空间分布有着密切的关系。在平坦地区内，优选起算点数据相对多、分布均匀，三次曲面模型的拟合精度高于二次曲面模型的拟合精度。

(2)多项式曲面拟合模型并非是选择已知点越多，其拟合精度就会越高，而是根据模型，在确定一定数量的拟合点，尽量选择已知点分布均匀且位于测区周边。

(3)多项式曲面模型比较理想，是纯粹的数学模型。在实际过程中，为了提高高程拟合精度，在后期将外界因素考虑进去，会有效降低外业成本和外业工作时间，缩短工期，提高劳动生产率。

5 结论

(1)分析了多项式曲面拟合法在GPS高程拟合中的应用，并得出了根据已知点求取待求点的正常高的方法。

(2)采用Matlab软件，分析和研究了地质高程拟合流程，然后根据测区验证，验证了多项式方法的使用性、有效性和实用性。