考虑冲击的核动力装置温贮备系统可靠性模型

张永发, 蒋立志, 焦 猛, 蔡 琦

(海军工程大学核科学技术学院, 湖北 武汉 430033)

0 引 言

在核动力装置中,通常会采用冗余贮备结构(如泵组、阀组等)以保证系统的可靠性[1-4]。而由于工作环境、运行功率等原因,工作部件与贮备部件的故障是以不同方式出现的,特别是在潜艇核动力装置中,高温、高盐、振动等多种因素影响下,工作部件通常受到自身性能退化失效或由于外部冲击突发失效[5-6],而贮备部件通常是由于突发的外部冲击失效。

由于这两类失效的存在,研究核动力装置中温贮备系统的可靠性规律[7-12]具有重要意义。Wu等[13]以核电站的给水子系统为例,研究了N中取K温贮备系统,提出了一种基于状态的最佳检查和维护时间计算模型。谭启涛等[14]考虑到贮备系统失效相关问题,得出了冷贮备和温贮备系统的可靠性评估相关性拟合计算模型。张民悦等[15]针对开关有优先权且部件不同的温贮备系统,基于马尔可夫过程开展了系统可靠性指标相关研究。

在考虑冲击的系统可靠性建模研究中,Allan等[16]研究了根据累积冲击、极端冲击及其组合具有不同类型失效的系统可靠性模型;Gao等[17]研究了考虑由多种外部冲击引起的新型冲击失效模式可靠性模型。刘汉葱等[18]引入Copula理论,假设性能退化过程均为线性退化过程、冲击过程为极端冲击模型,建立了系统的可靠度评估模型。Igaki等[19]采用马尔可夫过程研究了极端冲击模型和累积冲击模型,引入状态刻画系统特征的变化,对两状态系统的状态转移进行了分析研究。

当前多数研究工作中均假设模型中相关的随机时间变量服从指数分布等常用分布,导致建立的可靠性模型适用性不足。为了进一步提升模型的适用性,一些学者将Neuts[20]提出的Phase-type(PH)分布引入可靠性建模领域。该分布具有良好的解析特性,因此基于PH分布建立的系统可靠性模型具有更广泛的应用范围[21-26]。Riascos等[27]采用PH分布描述冲击大小以及间隔时间,研究得到了累积冲击模型下的系统可靠性参数。Zhao等[28]认为系统的失效模式会随着系统状态的改变而发生改变,同时不同类型的冲击会给系统状态带来不同的影响,并利用PH分布描述模型中的随机时间变量,建立了相应的优化模型。Montoro等[29]假设冲击过程为马尔可夫达到过程,维修时间服从PH分布,建立了不同类型故障下的系统可靠性模型。随后Montoro等[30]研究了冲击到达为Poisson过程,部件寿命以及检测间隔时间服从指数分布的k/n系统,将该系统的更新时间表示为PH分布形式,并讨论了不同k值下的系统可靠性指标。

综上,本文以温贮备系统为研究对象,采用PH分布为基本建模工具,假设系统内有单个维修台,工作部件会受到退化与冲击的影响,而贮备部件仅会受到冲击的影响,建立了一种适用性更强的温贮备系统可靠性模型。

1 基础理论

为进一步说明连续PH分布应用的可行性,下面对PH分布的相关定义和性质进行简要介绍。

定义1[31]假设非负随机变量X服从连续的PH分布,则相应的分布函数形式如下:

(1)

式中:t≥0;T为可逆矩阵,阶数为m,各元素中对角元素的符号均为负、其余元素符号均为非负,且每行元素之和的符号均为非正;α是次随机向量,含m个非负元素的行向量;e是全部元素都为1的列向量,且满足αe≤1。

定义2[31]假设一个连续时间马尔可夫链{I(t),t≥0},且该马尔可夫链的状态空间为(1,2,…,m+1),共有m+1个状态。无穷小生成元的表达式如下:

(2)

式中:T为PH分布的生成元。由于状态m+1的转移概率为0,那么状态m+1为吸收态。由于式(2)中每一行元素相加之和均为0,因此可以得到T0=-Te。

定义3[32]假设两个矩阵A和B(阶数分别为m×n和p×q),定义二者的Kronecker积如下:

(3)

根据式(3)的定义,可进一步得出Kronecker积具有以下两个性质:

C(A⊗B)=(CA)⊗B=A⊗(CB)

(4)

(A1⊗B1)(A2⊗B2)=(A1A2)⊗(B1B2)

(5)

定义4[32]m阶矩阵A和n阶矩阵B的Kronecker和定义如下:

A⊕B=A⊗In+Im⊗B

(6)

式中:In和Im均为单位矩阵。

2 模型假设

假设某温贮备系统共包含n个相同部件,则该系统具有如下特性:n个相同部件中仅需有一个正常工作就能够确保系统功能正常,其他部件则保持温贮备状态,具体假设如下。

假设1工作部件寿命具有m阶PH表示(α,T)。

假设2工作部件冲击到达间隔时间具有l阶PH表示(β,s)。

假设3贮备部件冲击到达间隔时间具有k阶PH表示(φ,U)。

假设4维修时间具有d阶PH表示(ε,G)。

假设5上述变量均相互独立。

3 模型构建

3.1 状态空间

令H0表示所有部件均完好;H1表示系统正常运行,系统内部有i个故障部件,其中i=1,2,…,n-1;Hn表示系统故障;x表示工作部件所处相位;y表示工作部件冲击到达间隔期所处相位;z表示贮备部件冲击到达间隔期所处相位;r表示维修工作所处相位。

因此,状态空间可表示为Ω={H0,H1,…,Hn},其中,

H0=((x,y,z),1≤x≤m,1≤y≤l,1≤z≤k)

Hi=((x,y,z,r),1≤x≤m,1≤y≤l,1≤z≤k,

1≤r≤d)

Hn-1=((x,y,r),1≤x≤m,1≤y≤l,1≤r≤d)

Hn=(r,1≤r≤d)

3.2 无穷小生成元

根据上述状态空间划分,可得该系统的无穷小生成元Q,其中，

下面对系统宏状态之间的转移进行分析。

(1)H0→H0表示工作部件、贮备部件均正常,冲击的相位没有发生转移,此时系统内部无故障部件,因此有B00=T⊕S⊕U。

(2)H0→H1有表示系统内部增加一个故障部件,T0α⊗Ilk⊗ε表示工作部件退化失效,emα⊗s0β⊗Ik⊗ε表示由于冲击,工作部件突发失效,Iml⊗U0φ⊗ε表示由于冲击,贮备部件突发失效,因此有:

B01=T0α⊗elβ⊗Ik⊗ε+emα⊗s0β⊗Ik⊗ε+

Iml⊗U0φ⊗ε

(3)H1→H0表示维修台对故障件维修完毕,此时系统内部故障部件数量为0,因此有:B10=Imlk⊗G0。

(4)Hi→Hi(i=1,2,…，n-2)表示系统内部有i个故障部件,维修台对故障部件进行维修,系统正常运行,系统内部任有贮备部件,因此有

A=T⊕S⊕U⊕G

(5)Hi→Hi+1(i=1,2,…,n-3)表示工作部件或贮备部件故障,因此有:

C=T0α⊗elβ⊗Ik d+

emα⊗s0β⊗Ik d+Iml⊗U0φ⊗Id

(6)Hi+1→Hi(i=1,2,…,n-2)表示完成故障部件维修,系统内故障的部件数量变为i,对故障部件的维修继续进行,因此有

D=Imlk⊗G0ε

(7)Hn-2→Hn-1表示系统内部有n-1个故障部件时,工作部件或贮备部件故障,此时仅有一个工作部件,因此有

C(n -2)=T0α⊗Il⊗ek⊗Id+

emα⊗s0β⊗ek⊗Id+Im l⊗U0⊗Id

(8)Hn-1→Hn-1表示系统内部有n-1个故障部件,维修台对故障部件进行维修,系统正常运行,系统内部无贮备部件,因此有

A(n -1)=T⊕S⊕G

(9)Hn-1→Hn-2表示完成故障部件维修,系统内故障的部件数量变为i,对故障部件的维修继续进行,因此有

D(n-1)=Iml⊗φ⊗G0ε

(10)Hn-1→Hn表示由于退化或者冲击工作部件故障,此时系统停止运行,因此有

Bn(n -1)=T0⊗el⊗Id+em⊗s0⊗Id

(11)Hn→Hn-1表示表示维修台对故障部件维修完毕,此时系统内故障部件数量为i,维修台继续对故障部件进行维修,因此有

Bn(n -1)=α⊗β⊗G0ε

(12)Hn→Hn表示系统故障,维修台对故障件进行维修,因此有Bn n=G。

3.3 稳态概率向量

系统稳态概率向量π=[π0,π1,…,πn]满足:

(7)

那么,系统的稳态概率向量最终可以通过求解式(7)方程组获得。

4 系统可靠性指标

4.1 平均故障间隔时间

系统平均故障前时间(mean time to failure, MTTF)是指系统从故障状态离开又重新回到故障状态的间隔时间,定义如下:

MTTF=-γ(Q*)-1e

(8)

式中:

4.2 系统故障率

系统故障率r的定义是已工作到t时刻的系统,在t时刻后单位时间内发生故障的次数。根据Q的定义可进一步得出:

r=πn -1Bn(n -1)

(9)

4.3 稳态可用度

系统可用度是时间的函数,而稳态可用度A是指经历一定时间达到稳定后,系统处于工作状态的概率。进一步根据Ω*的定义,A可以表示为系统处于状态空间Ω*={M,M=0,1,…,n-1}的概率,可得

(10)

5 算例分析

以核动力装置中主泵的冗余泵组为分析对象,该泵组是典型的温贮备系统,由N个相同部件组成,其中工作部件寿命服从PH分布,具有(α,T)表示;工作部件冲击到达间隔时间具有(β,S)表示;贮备部件冲击到达间隔时间具有PH表示(φ,U);维修时间具有d阶PH表示(ε,G)。

具体为

α=(1,0,0,0,0)

β=(1,0,0)

φ=(1,0)

ε=(1,0)

根据上述分析,将数据代入模型可得系统平均故障前时间、系统故障率、系统稳态可用度与部件数量N之间的关系,如图1～图3所示。

图1 平均故障前时间随部件数量的变化规律Fig.1 Variation of the mean time before failure with number of components

图2 系统故障率随部件数量的变化规律Fig.2 Variation of the system failure rate with number of components

图3 稳态可用度随部件数量的变化规律Fig.3 Variation of the steady-state availability with number of components

由图1～图3可知,随着贮备部件数量的增加,系统的稳态可用度与系统平均故障前时间随之增加,并趋于平缓,而故障率则随着贮备部件数量的增加而减少,并趋于平缓。

根据上述分析,研究人员在对相关装备进行可靠性设计时,可以根据实际需要,确定所需贮备的部件,以最低的成本获得所需的可靠性指标。

6 结 论

本文采用PH分布为基本建模工具,研究了核动力装置中的温贮备系统可靠性建模问题,以冗余泵组为算例给出了系统平均故障前时间、故障率、稳态可用度等指标,分析了相关指标与部件数量N的关系。在控制成本、效率、安全性等因素的情况下,对工程实践中科学设计温贮备系统具有一定的借鉴作用。