一维周期性δ函数势场中束缚态能级的研究①

田路遥，张澜旭，裴魏魏,*，张海丰

(佳木斯大学a.理学院,b.机械工程学院,黑龙江 佳木斯 154007)

0 引 言

在初等量子力学中，求解一维薛定谔方程能够给出量子体系的严格的能级分布和波函数，其关键在于知道体系的势能函数分布，δ函数势场是典型的势能函数之一，因而被广泛的研究与应用[1-4]。例如，黄明举对有限长周期δ势阱和势垒中的原子链模型的薛定谔方程进行了递推法求解，给出了计算机计算时确定能级的递推公式[5]；井孝功等在给定的极限条件下，方势垒(阱)的本征解与δ势垒(阱)的本征解一致[6]；唐义甲等通过对添加δ势垒的一维半无限深势阱的薛定谔方程进行求解，得到了粒子运动的波函数和能级的相关公式[7]；唐世清等求解了一维δ势阱的束缚态问题[8]。旨在通过求解一维周期性δ函数势所满足的薛定谔方程，给出系数方程组的系数矩阵，进而给出束缚态能级。

1 一维势场中的波函数

设质量为m的粒子约束在一维势V(x)中，在某些区域V(x)是常数V(x)=V。在此区域内，E>V，E

易知，体系的定态波函数满足的薛定谔方程为

(1)

E>V时，令ћ2k2/2m=E-V，于是有

(2)

该方程的解可以写成

φ(x)=Aeikx+A'e-ikx

(3)

的形式，这里的A是A'是任意复常数。

E

(4)

上式的一般解是

φ(x)=Beρx+B′e-ρx

(5)

这里B和B'是任意复常数。

E=V时，可得

(6)

上式的解为

φ(x)=Cx+C′

(7)

这里C是C'是复常数。

2 一维δ函数势场中束缚态本征函数的跃变条件

设质量为m，能量E>0的粒子被束缚在一维势-V0δ(x-a)中，下边讨论取极限ε→0时的定态薛定谔方程，进而给出束缚态波函数的跃变条件。

易知，体系的薛定谔方程可以写为

(8)

对上式在a-ε和a+ε之间进行积分

(9)

根据波函数φ(x)的自然条件，在区间[a-ε,a+ε]上，当ε→0时，可得

(10)

在x=a处，φ(x)的导数发生跃变

2mV0φ(x)/ћ2

(11)

由φ(x)在x=a连续性条件，可以得到

(12)

由式(11)和(12)可得

(13)

所以可以得到系数满足的方程组为

(14)

因而，有

(15)

3 周期性的δ函数势场中粒子的束缚态能级

设质量为m的粒子被束缚在周期性的δ函数势场中，周期势表示为

(16)

对于每一个na

φn(x)=Bneik(x-na)+Cne-ik(x-na)

(17)

则在n+1区域内的系数关系矩阵为

(18)

根据T的非奇异性，可以得到矩阵T的本征向量为

(19)

式中：β1和β2是复数。

在n和n+1两个区域的x=(n+1)a处按照边界条件可得

(20)

其中系数满足如下矩阵

(21)

(22)

由于

(23)

可见T不是奇异矩阵detT≠0。 根据T的非奇异性，令C2的本征值为α1和α2，则有

(24)

则由式(18)可以得到

(25)

当|α1|≤1时

(26)

当|α2|≤1时

(27)

对于n→-∞的情况，可得

(28)

当|α1|=|α2|=1时，T的本征值方程为

det(T-eiφI)=0

(29)

式中：φ是实常数，I为单位矩阵，于是

(30)

整理上式可得

(31)

上式的实部为

(32)

由cos(2φ)=2cos2φ-1及可以得到

(33)

4 结 语

(34)

可以通过对函数

(35)

描点法给出相应的能级。当k→∞时，函数f(k)近似为cos(ka)。可见相应的能量E并不对应一个可能的态，而是被|f(k)|≥1区域隔开的可能能量分布；当E→∞，能级分布的禁带将变得很窄，从而可以得到能级的连续谱。