基于Simpson公式的灰色模型钢轨大修周期研究

于 杰，王齐荣

(1.西南交通大学高速铁路线路工程教育部重点实验室，成都 610031；2.西南交通大学土木工程学院，成都 610031)

钢轨是轨道结构的重要组成部分，是列车运行的基础，其强度和状态直接关系到铁路列车运行安全[1]。2000年因断轨引起的英国哈特菲德尔事故损失近7.3亿英镑[2]，因此对钢轨的大修周期进行科学预测具有重要意义。影响直线段(R≥2 000 m)钢轨使用寿命的关键因素是钢轨滚动接触疲劳伤损，而影响钢轨接触疲劳的因素除了材料自身材质外还与外界条件密切相关，如：轨温变化.运输密度.养护打磨技术.车辆轴重.雨天行车等因素[2]。目前，我国普通铁路钢轨的大修标准主要依据TG/GW 102—2019《普速铁路线路修理规则》，但我国幅员辽阔不同地区的不同铁路工务段的维修养护.运营条件差异较大，因此有必要针对不同地区的钢轨实际运营情况制定相应的大修周期。

国内外学者对于钢轨的修理周期进行了大量的研究，其主要分为两大类：第1类从钢轨病害发展机理分析的角度，采用断裂力学.疲劳理论.断裂理论.临界平面法.Archard磨耗理论.建立车辆-轨道动力学仿真等方法，建立钢轨型面磨耗及疲劳裂纹预测模型，预测钢轨磨耗量进而预测钢轨使用寿命及修理周期[4-7]；第2类从钢轨伤损数据统计分析角度，Bozyslaw Bogdaniuk等[8]依据钢轨伤损的统计数据进行多项式拟合，颜秉善.习年生.徐爱民.李军等[9-12]，依据钢轨伤损统计数据利用威布尔函数预测钢轨大修周期；白文飞等[13]将钢轨划分为多个钢轨单元，基于泊松-威布尔过程对钢轨单元的修理周期进行预测；侯炳麟等[14]通过灰色模型以及模糊贴近法预测任意一段钢轨的伤损趋势，为线路修理周期的研究提供参考；田常海[15-16]利用钢轨伤损加权统计法，结合经济学原理提出钢轨最佳经济下道时机，提出累计通过总重与钢轨伤损相结合的大修周期模式；张文生.王军.刘勇等[17-19]对钢轨伤损及更换数据进行统计分析，进而得到钢轨大修周期及提出修理建议。

钢轨伤损及使用寿命是一个古老而又基础的问题，目前的计算机仿真模型多以轮轨静态接触模型为主，难以反映出轮轨在实际运营条件下的状态，且线路上发生的主要伤损绝大多数与钢轨的线路状况.钢轨养护维修和机车起动及制动等使用条件有关，并非是钢轨母材所受应力达到钢轨材料疲劳极限造成的，不能应用材料疲劳极限观点确定大修周期[15]。本文通过Simpson公式的对灰色模型背景值进行改进并建立预测模型，再利用西南山区某多雨工务段的2条普通线路的钢轨伤损统计数据验证模型合理性，并与灰色模型预测结果进行对比分析。

1 研究方法

1.1 灰色模型GM(1，1)

1982年邓聚龙教授提出灰色系统的概念，经过30多年的发展灰色预测已经成为一个特色鲜明的研究领域，并且成功应用于各个领域[20]。

对原始数据进行累加后，弱化了原数据的随机性，若原始数据X(0)和一阶累加生成序列X(1)满足准光滑性检验[21]

准指数规律检验

级比检验

则序列X(1)具有指数增长的规律，可进行建模。若原始数据不满足上述条件，则还需对原始数据进行预处理，弱化序列的随机性，可以首先施加常用的对数算子或幂函数算子，使其满足条件，获得预测值后再用逆运算还原[22]，具体处理方法见下一节预测实例。本文根据文献[20]对系统的研究，建立GM(1，1)的预测模型，首先建立灰微分方程

(1)

(2)

则公式(2)可以化为

x(0)(k)+a1z(1)(k)=b1

(3)

若u1=[a1，b1]T为参数列，则利用最小二乘法参数列满足

(4)

矩阵B1可以表示为：B1=[-(Z1)(n-1)×n，e(n-1)×1]，e(n-1)×1表示(n-1)×1的单位矩阵，其中Z1表示为

则GM(1，1)模型的时间序列为

k=1，2，…，n

(5)

还原后x(0)的预测值为

1.2 基于Simpson公式的灰色模型[20]

公式(1)考虑在[k-1，k+1]上积分则有

(6)

利用Simpson数值积分公式可得

4x(1)(k)+x(1)(k+1)]

(7)

则公式(6)可转化为

4x(1)(k)+x(1)(k+1)]=2b2

(8)

设u2=[a2，b2]T为参数列，利用最小二乘法参数列满足

(9)

矩阵B2可以表示为：B2=[-(Z2)(n-1)×n，e(n-1)×1]e(n-1)×1表示(n-1)×1维的单位矩阵，则Z2表示为

1.3 模型检验[20]

为了检验模型的预测精度，采用预测值与实际值的相对误差检验。PRE记作预测值与实际值的相对误差；APRE为预测值与实际值的相对平均误差，则

(10)

(11)

2 预测实例

2.1 钢轨伤损数据统计及相关性分析

我国西南山区某工务段管辖线路地形复杂，铁路线路等级偏低，桥隧占比高，坡度大，空气潮湿，阴雨天气占全年天气的7成，因此雨天行车的占比大。研究表明：若在车轮碾压前裂纹中存在部分液体(如雨水)，当车轮经过时，进入裂纹的雨水在裂纹口处形成“进液加压”，使裂纹表面承受垂直压力阻止裂纹闭合，进而加速裂纹扩展，影响钢轨使用寿命，此结论已经得到了有限元仿真结果的证实[23]。因此，针对不同的运营情况对钢轨大修周期进行预测研究十分有必要。

为防止单一数据具有偶然性，本文选取同一工务段的2条普通铁路线路作为研究对象。为确保自然地理条件一致，两条线路均为客货共线，有砟轨道，有缝钢轨，允许通过速度为80 km/h，其他参数均保持一致，钢轨的具体参数信息见表1。

表1 线路钢轨基本参数

文献[24]依照钢轨伤损程度将钢轨伤损分成轻伤.重伤和折断三类。其中钢轨折断是重伤的进一步发展。因此，钢轨的失效体现主要为重伤和折断。大量的观察结果表明，随着列车车速.列车轴重.行车密度的提高和高强耐磨钢轨的应用，钢轨表面的波状磨耗和钢轨侧磨耗逐渐减轻，而由接触疲劳损伤导致的块状剥落现象日益加重[11]。因此，本文选取的两段典型客货共线且行车密度较大的普通铁路线路，使其钢轨使用寿命受限于钢轨的接触疲劳寿命。工务实践表明，直线段(R≥2 000 m)的钢轨寿命取决于疲劳寿命，小半径曲线段主要受磨损寿命控制，加之直线段与小半径曲线段的钢轨材质和加工方式本就不同，因此，仅对实测数据的直线段钢轨的重伤与折断进行统计分析。

以我国西南山区某工务段内2条普通线路2009年～2018年的钢轨伤损.累计通过总重以及雨天行车数据进行统计，其中天气数据来源于国家气象科学数据中心，得到表2数据。

表2 2条线路钢轨重伤统计

影响钢轨大修周期的因素较多，选取列车累计通过总重与累计雨天行车2个因素，作为影响钢轨伤损的主要因素，引入皮尔森(Pearson)相关系数用以度量累计通过总重.累计雨天行车天数与钢轨重伤数的相关程度。利用MATLAB软件进行Pearson相关性分析，得到相关系数(表3)。

表3 Pearson相关系数

Pearson相关系数通过以下取值范围判断变量之间的相关强度：0.8～1.0极强相关，0.6～0.8强相关，0.4～0.6中等程度相关，0.2～0.4弱相关，0.0～0.2极弱相关或无相关。根据表3可知，计算获得的相关系数值均在0.8～1.0，可见累计通过总重.雨天行车天数均与钢轨的重伤数具有极强相关性。由累计通过总重于与钢轨的重伤数的相关系数可知，使用累计通过总重作为钢轨大修周期的度量标准是科学的；由雨天行车天数与钢轨重伤数的相关系数可知，对多雨铁路工务段的钢轨制定相应的大修周期具有重要意义。

2.2 预测模型

2.2.1 GM(1，1)灰色模型求解

本文以线路Ⅰ的详细计算过程为例，线路Ⅱ的计算同理。

首先，对原始数据进行检验，即原始数据X(0)和一阶累加生成的序列X(1)是否满足级比.准指数规律.准光滑性的要求，计算获得的参数数据如表4所示。

表4 原始数据合理性验证

线路Ⅰ原始数据需满足σx(k)∈(0.846，1.181)，δk∈[1，1.5]，ρk<0.5，由表4可以看出原始数据并不满足建模条件，因此需对原始数据添加合适的算子进行弱化处理。原始数值中存在数值1，不适合采用对数算子，且原始数据的差异性较大，因此采用幂函数算子对原始数据预处理，令X(0)′=(X(0))0.1处理后各项参数数值见表5。

表5 处理后的数据合理性验证

处理后的原始数据，级比数值满足σx(k)∈(0.846，1.181)，且在k>3时，δk.ρk均满足建模取值要求。

对线路数据建立灰色模型，得到线路Ⅰ.Ⅱ的发展系数和灰色作用量分别为：a1=-0.055 8，-0.044 4，b1=1.031 7，1.125 7；线路Ⅰ.Ⅱ的GM(1，1)的时间序列分别为

k=1，2，3，…，n

2.2.2 Simpson公式的GM(1，1)模型求解

计算获得线路Ⅰ.Ⅱ的发展系数a2=-0.059，-0.048 8；灰色作用量b2=1.018 6，1.092 8；线路Ⅰ.Ⅱ基于Simpson公式的GM(1，1)的时间序列分别为

2.2.3 预测结果及精度检验

将GM(1，1)与基于Simpson公式的GM(1，1)模型的计算数值进行逆运算，得到相应累计通过总重分组的重伤数量，换算为累计重伤率并与实际值进行比较得到表6。

表6 预测值与实际累计重伤率比较

由表6分析可得，线路ⅠSimpson-GM(1，1)相对误差(RPE)小于GM(1，1)的相对误差数量占比为73%，计算获得GM(1，1)的平均相对误差(ARPE)为19.106%，Simpson-GM(1，1)的平均相对误差为16.575%；线路ⅡSimpson-GM(1，1)的相对误差小于GM(1，1)的相对误差数量占比为75%，且计算获得GM(1，1)的平均相对误差为33.462%，Simpson-GM(1，1)的平均相对误差为20.654%。可见基于Simpson公式的改进灰色模型预测精度有明显提高。

为了便捷直观地展示2个模型的预测效果，图1给出了钢轨累计重伤率实际值与预测值之间的关系，以及随着累计通过总重不断增加的后续预测曲线。

图1 基于不同模型预测效果

从图1可以看到，在累计通过总重0～300 Mt时，由于钢轨累计重伤率的实际值与预测值自身数值较小且均介于0～0.2，因此两模型预测值与实际值的数值差距在图中表现不明显；在350～600 Mt时，预测值与实际值的差距逐渐显现。基于Simpson公式的改进灰色模型的预测曲线相较于GM(1，1)与实际值更为接近，具有更高的预测精度；且基于Simpson公式的改进灰色模型的预测曲线更陡峭，则相应转换为以累计通过总重度量的钢轨大修周期的数值也更保守。

钢轨疲劳可靠度取97.5%时，对应累计重伤率F(t)=(0.025)×80=2处/km，符合TG/GW 102—2019《普速铁路线路修理规则》规定：当钢轨每千米重伤数量达到2～4处时，应及时更换钢轨的要求数值下限；因上述预测公式的输入值是以每50 Mt为一组的分段钢轨重伤数值，为使得到钢轨预测伤损量为整数2，采用在相应预测区间线性内插的方式获得对应的钢轨累计通过总重，结果见表7。

表7 钢轨重伤率达到2处/km时累计通过总重 Mt

工务实践中钢轨大修周期通常以100的整数倍形式表示，为确保铁路运营的安全，数值应取下限500 Mt。TG/GW 102—2019《普速铁路线路修理规则》规定：碎石混凝土枕的60 kg/m普通线路钢轨大修周期为600 Mt。依据两种预测模型的综合结果表明：本文铁路工务段的钢轨大修周期应调整为500 Mt。

3 结论

在现有钢轨大修周期的研究基础上，为防止单一数据的偶然性，对西南山区2条普速铁路钢轨伤损数据进行统计分析。首先，引入Pearson相关系数，验证以累计通过总重度量钢轨大修周期的科学性，以及雨天行车对钢轨修理周期的影响。其次，验证原始数据合理性，对不满足建模条件的原始数据引入幂函数算子弱化原数据序列的随机性，再代入基于Simpson公式改进背景值的灰色模型的中计算，将结果逆运算还原进而预测普通铁路钢轨大修周期。结论如下。

(1)对比两线路的Pearson相关系数可知，累计通过总重和雨天行车两个因素与钢轨重伤数量存在着极强的相关性，因此以累计通过总重来度量钢轨大修周期的是科学的，对多雨工务段应结合实际情况调整钢轨的大修周期。

(2)对比两线路基于Simpson公式的改进灰色模型与GM(1，1)的预测结果表明，基于Simpson公式的改进灰色模型将两线路的平均相对误差(ARPE)由原来的19.106%.33.462%下降至16.575%和20.654%，可见改进后的模型具有较高的预测精度，能够充分挖掘钢轨伤损数据的内在规律性。

(3)两种预测模型的综合结果表明，多雨地区铁路工务段的普速铁路钢轨大修周期应调整为500 Mt。