考虑广告促销的供应链捆绑销售产品博弈模型

汪峻萍,吴思卓

(合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230601)

在激烈的市场竞争中,企业想要占得一席之地,除了需要不断对产品类型进行更新换代、推陈出新外,还会采取不同的营销手段以增加产品销售量。在众多营销手段中,捆绑销售作为一种行之有效的共生营销模式,正在被越来越多的企业所采用。比如手机+便携式照片打印机、手机+充电宝、手机+延保服务、手环手表+笔记本电脑等捆绑销售。在众多捆绑销售产品中,有不少产品的销售高度依赖广告投入等宣传策略。例如2018年小米官方旗舰店通过在网络上投放广告片、印发折页宣传册等方式来宣传小米手环3,使得该款手环受到年轻人的青睐,销售量大幅提升。同年,小米官方旗舰店推出了小米手环3+小米Air 12.5笔记本电脑捆绑销售,用户订购上述组合商品,即可享受一定的折扣。

近年来,捆绑销售在供应链研究中越来越受到重视。文献[1]研究了知名品牌与新品牌捆绑销售问题,发现将不知名品牌和知名品牌捆绑销售可以提升消费者对不知名品牌产品质量的认同感;文献[2]以制造商主导的Bertrand博弈模型为框架,研究了制造商与零售商分别采取产品单独与纯捆绑2种营销模式对互补性产品进行销售问题;文献[3]探讨了在无捆绑、纯捆绑和混合捆绑3种捆绑策略下,2种互补性产品的最优定价和质量决策问题;文献[4]在假定捆绑产品基本估值相互依赖的前提下,研究了捆绑产品的最优定价策略问题;文献[5]在以供应商为主导的背景下,分别研究了产品单独销售、纯捆绑销售和混合捆绑销售3种模式,得出了混合捆绑销售是最优捆绑方式的结论;文献[6]在假定需求依赖销售价格的前提下,研究了供应链中零售商互补产品捆绑销售最优决策问题;文献[7]同样在假定需求依赖销售价格的前提下,研究了强势供应商把畅销品和滞销品进行捆绑销售对供应链产生的影响。文献[8]以零售商可以向消费者提供“产品+延保服务”捆绑服务为背景,分别探讨了产品与延保服务单独销售和捆绑销售2种策略下制造商和零售商的最优决策问题。

上述文献在探讨捆绑销售模式时,均没有考虑广告投入对市场需求和供应链供销双方最优决策的影响。然而在现实中,无论是制造商还是销售商的广告投入,都会对市场需求产生积极的激励作用。文献[9]以供应商直销和通过销售商分销2种销售渠道为背景,研究了供应链中供应商主导下的最优定价和广告投入决策问题;文献[10]在假定零售商同时销售自有品牌产品和制造商品牌产品下,探讨了制造商和零售商的最优广告投入决策以及制造商对零售商广告投入最优分担率问题;文献[11]建立了单制造商多竞争零售商的垂直合作广告模型,给出了3种营销模式下零售商的最优广告投入和制造商的最优广告补贴率;文献[12]以不确定市场需求为研究背景,探讨了制造商全国性品牌广告和零售商地方性促销广告时的最优广告投入决策,得出了供应链上下游实施Nash合作博弈时,系统期望利润要高于Stakelberg博弈下系统期望利润的结论;文献[13]建立了随机需求情形下单制造商两竞争零售商销售报童型产品的合作广告模型;文献[14]在假定需求依赖销售价格、制造商全国性广告投入以及零售商地方性广告投入的前提下,建立了制造商主导的Stakelberg广告投入博弈模型和合作广告模型。

文献[9-14]虽然将广告促销因素引入到供应链决策模型中,但均没有考虑产品捆绑销售问题;文献[15]分别研究了互补产品单独销售、无广告投入捆绑销售和有广告投入捆绑销售3种情形,但将制造商和零售商视为同一家企业;文献[16]以单制造商单零售商销售互补品两层供应链为研究对象,建立了零售商捆绑销售互补品策略下最优广告投入模型;文献[17]将互补品需求交叉弹性和广告促销引入到捆绑销售供应链模型中,建立了供应链互补产品广告投入和捆绑销售联合决策模型。

文献[15-17]均以互补品为研究对象,即一种商品的消费必须与另一种商品的消费相配套。互补品之间存在需求交叉弹性,即某种商品互补品价格上升,将会因为互补品需求量的下降而导致该商品需求量下降。与上述文献不同,本文以畅销品和滞销品捆绑销售为研究对象,在假定产品需求受市场规模和零售商广告投入影响前提下,建立带有零售商广告投入的供应链捆绑产品博弈模型,分别推导出供应商占主导和零售商占主导时的产品单独销售和捆绑销售模式下最优策略,研究了零售商广告投入对产品批发价、博弈参与者利润及销售策略的影响。

1 问题描述和假设

考虑由一个供应商和一个零售商组成的2级供应链系统。供应商分别将滞销品和畅销品这2种产品批发给零售商,零售商再将这两种产品出售给消费者。为了提高市场需求和收益水平,零售商可以选择广告促销和捆绑销售策略。令a1、a2分别为滞销品、畅销品潜在的市场规模;c1、c2分别为滞销品、畅销品的单位成本;D1、D2分别为单独销售时滞销品、畅销品的市场需求;p1、p2分别为单独销售时滞销品、畅销品的零售价;w1、w2分别为单独销售时滞销品、畅销品的批发价;D1b、D2b分别为捆绑销售时滞销品、畅销品的市场需求;p1b、p2b分别为捆绑销售时滞销品、畅销品的零售价;wb为捆绑销售时滞销品、畅销品的总批发价,qi(i=1,2,b)为滞销品、畅销品的订货量;β1、β2分别为影响滞销品、畅销品市场需求的广告投入效应因子;k1、k2分别为滞销品、畅销品零售商广告投入成本能力系数;g1、g2分别为单独销售时零售商广告投入努力;g1b、g2b分别为捆绑销售时零售商广告投入努力。

为了便于模型建立,作如下假设:

假设1 滞销品、畅销品均面临线性市场需求,即D1=a1+β1g1,D2=a2+β2g2,其中:0

假设3 零售商对滞销品和畅销品存在单独销售和纯捆绑销售2种销售模式。

2 2种产品单独销售最优决策

在2种产品单独销售情形下,零售商按市场需求制定订货量qi(i=1,2),因此,零售商的利润函数为:

πr(g1,g2)=(p1-w1)(α1+β1g1)+

(1)

供应商的利润函数为:

(2)

下面分别研究供应商和零售商各自为主导时的Stackelberg博弈模型。

2.1 供应商占主导的Stackelberg模型

在供应商占主导的Stackelberg博弈中,博弈过程为:第一阶段,作为领导者的供应商确定批发价格w1与w2;第二阶段,作为追随者的零售商,根据供应商的批发价格来确定广告投入努力g1和g2。

定理1 零售商利润函数是关于广告投入努力g1、g2的联合上凸函数;供应商利润函数是关于批发价w1、w2的联合上凸函数。

由定理1可知,令πr(g1,g2)关于g1、g2的一阶偏导数为0,可得广告投入努力均衡解为:

(3)

另外,由定理1知πm(w1,w2)存在最优解。令πm(w1,w2)分别关于w1、w2的一阶偏导数为0,可得滞销品和畅销品的最优批发价分别为:

(4)

将(4)式代入(3)式可得单独销售情形下的最优广告投入成本为:

(5)

将(4)式、(5)式分别代入(2)式、(1)式，可得供应商最大利润为:

零售商最大利润:

2.2 零售商占主导的Stackelberg模型

在单独销售下,考虑以零售商为主导,供应商为追随者的Stackelberg博弈(简记为RS博弈)。

与上一节类似,令pi=wi+gi+vi,其中，vi为零售商销售滞销品与畅销品的利润。将gi=pi-wi-vi(i=1,2)代入(2)式得供应商利润函数为:

πm(w1,w2)=(w1-c1)[α1+β1(p1-w1-

v1)]+(w2-c2)[α2+β2(p2-w2-v2)]

(6)

定理2 供应商利润函数是关于批发价w1与w2的联合上凸函数;零售商利润函数是关于广告投入努力g1和g2的联合上凸函数。

由定理2可知,令πm(w1,w2)关于批发价wi(i=1,2)一阶偏导数为0,可得滞销品和畅销品的批发价格均衡解为:

(7)

由定理2知零售商利润函数πr(g1,g2)存在最优解。令πr(g1,g2)分别关于g1、g2的一阶偏导数为0,可得零售商滞销品和畅销品的最优广告投入为:

(8)

将(8)式代入(7)式可得单独销售情形下最优批发价格为:

(9)

将(8)式、(9)式分别代入(1)式、(6)式，可得供应商的最大利润为:

零售商的最大利润为:

2.3 2种产品捆绑销售最优决策

与2.2节类似,在捆绑销售策略下,滞销品、畅销品面临的线性市场需求分别为D1b=a1+β1g1b,D2b=a2+β2g2b。不失一般性,令捆绑比例为1∶1,滞销品与畅销品的订货量一致,即qb=a1+β1g1b=a2+β2g2b。

供应商利润函数为:

πm(wb)=(wb-c1-c2)(a1+β1g1)

(10)

由qb=a1+β1g1b=a2+β2g2b可得:

将其代入零售商利润函数可得:

(11)

2.3.1 供应商占主导的Stackelberg模型

在滞销品、畅销品捆绑销售下,考虑以供应商为主导者、零售商为追随者的Stackelberg博弈(简记为MB博弈)。

定理3 零售商利润函数是关于广告投入努力gib(i=1,2)的严格上凸函数;供应商利润函数是关于总批发价wb的严格上凸函数。

由定理3知,令供应商利润函数关于批发价的一阶导数为0,可得最优批发价为

(12)

类似地,令零售商利润函数关于广告投入努力gib的一阶偏导数为0,可得最优广告投入成本为:

(13)

(14)

将(12)～(14)式分别代入(10)式、(11)式,可得供应商最大利润为:

零售商最大利润:

2.3.2 零售商占主导的Stackelberg模型

在滞销品、畅销品捆绑销售下,考虑以零售商为主导者、供应商为追随者的Stackelberg博弈(简称为RB博弈)。

由qb=a1+β1g1b=a2+β2g2b可得:

(15)

将(15)式代入(11)式可得:

πr(g1b,g2b)=(pb-wb)(a1+β1g1)-

(16)

令pb=wb+g1b+g2b+v,其中，v为零售商利润。将g2b代入可得g1b与wb的关系为:

(17)

将(17)式代入(10)式可得供应商利润函数为:

(18)

(19)

将(15)式、(19)式代入(16)式,容易验证:

因此零售商利润函数有最优解。

(20)

将(20)式代入(15)式，可得畅销品最优广告投入为:

(21)

将(20)式代入(19)式，可得供应商最优批发价为:

(22)

3 定理证明

3.1 定理1的证明

证明利用逆向归纳法求解,令πr(g1,g2)关于g1与g2求一阶和二阶导数,可得关于g1与g2的Hessian矩阵为:

因为-k1<0,k1k2>0,所以πr(g1,g2)是关于g1、g2的联合上凸函数。令πr(g1,g2)关于g1,g2的一阶偏导数为0,即

求πm(w1,w2)关于w1与w2的Hessian矩阵为:

3.2 定理2的证明

证明供应商利润函数关于w1一阶导数、二阶导数为:

由此可得，供应商利润函数关于批发价w1与w2的Hessian矩阵为:

因为-2β1<0,4β1β2>0,所以供应商利润函数是关于批发价w1的联合上凸函数。

令供应商利润函数一阶导数为0,可得滞销品和畅销品的批发价格均衡解为:

将产品批发价格均衡解代入至零售商利润函数:

求零售商利润函数关于g1的一阶导数，可得:

求零售商利润函数关于g1的二阶导数，可得:

零售商利润函数关于广告投入努力的Hessian矩阵为:

因为-2β1-k1<0,(-2β1-k1)(-2β2-k2)>0,所以零售商利润函数是关于广告投入努力g1和g2的联合上凸函数。综上,供应商利润函数、零售商利润函数均有最优解。证毕。

3.3 定理3的证明

证明零售商利润函数关于g1b分别求一阶偏导、二阶偏导数，可得:

由此可知，零售商利润函数是关于广告投入努力的严格上凸函数,故有最优解。

又由零售商利润函数的一阶最优条件可得广告投入努力与批发价的关系，即

将其代入供应商利润函数后,求其关于批发价的二阶偏导后,可得供应商利润函数是关于批发价的严格上凸函数。综上可得，供应商与零售商利润函数皆有最优解。证毕。

4 数值仿真分析

下面通过数值仿真计算分析2种销售情形下零售商广告投入对供应链产品定价、市场需求、双方利润的影响。

4.1 单独销售情形下的供应链均衡解

模型中参数取值为a1=10,c1=5,p1=15,k1=1,a2=20,c2=10,p2=25,k2=2。

通过Matlab进行编程计算,得到单独销售下2种权力结构的供应链最优决策和最大利润以及广告投入效应因子对需求和利润的影响,见表1所列。

表1 单独销售下零售商广告投入最优决策

从表1可以看出,当供应商处于主导地位时,供应商为了增加产品需求量,会迫使零售商进行广告投入。由于采取定价销售,供应商会尽量提高批发价,从而提高自身利益。当零售商处于主导地位时,由于处于充分竞争的市场,销售价格无法改变,为降低自身市场风险,零售商会减少广告投入。但随着广告投入的减少,广告带来的需求效应也相应减少,从而导致供应链利润低于供应商占主导时的利润。

从表1还可以发现,供应商和零售商都在各自占主导时获得最大利润;并且,供应商在MS情形获得的利润总是大于在RS情形获得的利润,零售商在MS情形获得的利润也总是大于在RS情形获得的利润。

启示1 单独销售情形下,供应商和零售商都会选择供应商占主导的Stackelberg博弈。

当滞销品广告投入效应因子β1增大(即市场需求对广告投入的敏感度增大),畅销品广告投入效应因子β2不变时,无论是何种博弈,滞销品广告投入努力g1都随之增大,滞销品批发价格w1有轻微波动,而畅销品广告投入努力g2、批发价格w2保持不变,这也说明供应链双方都能够做出理性分析,在保持畅销品销量的前提下,适当根据广告能够产生的效应对滞销品进行广告投入,使得滞销品销量增加,从而获得更多利润。MS博弈下的滞销品广告投入努力随着效应因子增长的幅度较大,而RS博弈下的滞销品广告投入努力虽然也在增长,但是并不明显,这也再一次说明了当供应商处于主导地位时会更加注重广告产生的影响,并且广告投入是由零售商承担,而供应商并不会考虑零售商利益,因此会更愿意进行广告投入,但是由表1不难发现,供应商主导时的供应链双方利润皆大于零售商主导时的双方利润。

当畅销品广告投入效应因子β2增大,滞销品广告投入效应因子β1不变时,MS博弈下的滞销品广告投入努力g1、滞销品批发价格w1以及需求量D1皆保持不变,而畅销品广告投入努力g2、需求量D2都有明显提升,畅销品批发价格w2却有所降低,这说明当畅销品对广告效应敏感时,供应商会促使零售商进行广告投入,以此来增加畅销品需求量,从而达到提高效益的作用。同时,畅销品批发价格的下降意味着供应商根据供应链的整体情况进行定价，而不是一味地增加自身利益。同样地,RS博弈下滞销品广告投入努力g1、滞销品批发价格w1以及需求量D1不变,而畅销品广告投入努力g2、需求量D2虽有提升,但是变化并不是特别剧烈,并且与MS博弈相比,产品的广告投入、需求量、整体利润都较低,这也说明了零售商为了节省开支,减少广告投入,却导致自身利益未达到理想状态,得不偿失。

4.2 捆绑销售情形下的供应链均衡解

参数取值分别为a1=10,c1=5,k1=1,a2=20,c2=10,pb=25,k2=2。通过Matlab进行赋值计算,得到捆绑销售下2种权力结构的供应链最优决策和最大利润以及广告投入效应因子对需求、利润的影响,见表2所列。

表2 捆绑销售下零售商广告投入最优决策

从表2可以看出,MB博弈下零售商广告投入努力、捆绑批发价格、产品需求量均高于RB博弈下相应的量,且MB博弈下供应商利润也高于RB博弈下的供应商利润,但是MB博弈下的零售商利润却低于RB博弈下的零售商利润。MB情形下,供应商通过提高批发价来获得更高的利润,这让零售商处于劣势,不仅需要付出较高的广告努力,而且由于在零售价格上不能随意涨价,导致零售商仅仅能够得到极少的利润。

启示2 当供应商处于主导地位时,零售商的最佳选择是放弃捆绑销售方式,而是采用单独销售方式来出售产品。

从表2还可以发现,供应商和零售商都在各自占主导时获得最大利润;并且,供应商在MB情形获得的利润总是大于在RB情形获得的利润,零售商在RB情形获得的利润总是大于在MB情形获得的利润。

启示3 在捆绑销售情形下,供应商和零售商都会选择各自占主导的Stackelberg博弈。

当滞销品广告投入效应因子β1b增加,畅销品广告投入效应因子β2b不变时,MB博弈下:滞销品广告投入努力g1b明显下降,畅销品广告投入努力g2b也有轻微下降,捆绑批发价wb在上涨,总需求量Db受到广告投入的影响减少,零售商利润增加,供应商利润先增后减;捆绑时,供应商会考虑到产品是一起进行销售,只要对其中一种产品进行广告投入就可以带动另一种产品的销量,因此在对畅销品进行广告投入之后,就不愿意对滞销品进行过多的广告投入,即使滞销品对广告的投入越来越敏感,也没有使供应商在广告方面进行投入,但是恰恰是因为产品需求量对广告投入敏感,一旦减少广告投入,需求量也会随之减少,从而导致整体利益减少。RB博弈下:与MB博弈相反,滞销品广告投入努力g1b有少量下降,而畅销品广告投入努力g2b却有所提升;捆绑批发价wb下降幅度不大,基本处于平稳状态,总需求量Db增加,零售商利润与供应商利润都呈增长趋势,零售商主导时,供应链双方的利润都得到了保障,并没有出现“一边倒”的情况,而且零售商并没有因为处于主导地位而迫使供应商提供过低的批发价格。

当畅销品广告投入效应因子β2b增加,滞销品广告投入效应因子β1b不变时,MB博弈下:滞销品广告投入努力g1b和畅销品广告投入努力g2b明显上升,捆绑批发价wb降低,总需求量Db增加,零售商利润和供应商利润都在增加,与参数β1b增长时的情形不同,此时的供应商对2种产品都进行了广告投入,但是零售商仍然处于不利地位,从中获利远低于供应商。RB博弈下:滞销品广告投入努力g1b和畅销品广告投入努力g2b都仅有轻微上升,捆绑批发价wb基本保持稳定,总需求量Db增加,零售商利润与供应商利润都呈增长趋势,此时的零售商利润虽然高于供应商,但是零售商并没有过分使用自身权力使得供应商处于不利地位。

启示4 当供应商占主导时,供应商都会迫使零售商增加广告投入,以增加自身收益;当零售商占主导时,零售商则会降低广告投入,以减小自身风险。

5 结 论

本文在考虑单一供应商和单一零售商出售滞销品与畅销品的情形下,研究了需求受零售商广告投入的独立销售和捆绑销售下供应商和零售商分别占主导的Stackelberg博弈,对各个模型下的供应商批发价、零售商广告投入以及供应链利润进行了分析,得到了一些的管理启示。进一步的研究方向包括将本模型推广到考虑需求同时受价格和广告投入影响情形、单供应商多零售商生产出售滞销品和畅销品情形等。